Некоторые разделы высшей математики
Здесь я выкладываю обучающие материалы по классическому курсу высшей математики.
Несколько слов от автора
Я не ставлю себе целью сделать некий "всеохватывающий курс" (или нечто подобное) по высшей математике, математическому анализу или некоему иному предмету. Таких книг сейчас хватает, хоть и разбираются в большинстве из них, к слову говоря, те же стандартные примеры, что и у их предшественников. Есть и хорошие методички, в которых рассматриваются отдельные вопросы математических дисциплин.
Размещённые ниже темы – просто подборка материалов, написанных мной в разные годы. Бо́льшая часть перекочевала со старого сайта: например, операции над матрицами или формулы для вычислений определителей второго и третьего порядков. Никакой особенной новизны или прорывных методических идей в них нет, – обычная сжатая теория, проиллюстрированная стандартными примерами. Наследие той эпохи, когда интернет был наводнён личными сайтами, среди которых был и мой.
Некоторые темы добавлялись позже. Например, если я видел, что многие студенты путаются в обилии методов нахождения стандартных неопределённых интегралов или же не знают, как работать с суммами, то добавлял соответствующие материалы на сайт.
Впрочем, мне кажется, что в преподавании университетского курса математики ещё много моментов, которые стоит рассмотреть, даже учитывая современные реалии в виде нейросетей, которые могут быть прекрасным подспорьем для обучения (но при этом большей частью используются как интерактивный решебник). Например, интегралы, зависящие от параметра; существование и единственность решений дифференциальных уравнений; равномерная непрерывность и немало иных тем, которые зачастую вызывают проблемы у студентов, ибо не столь явно сводятся к банальным рецептам.
Именно такие темы, с моей точки зрения, нужны изучающим математику. А стандартные пределы, производные и интегралы может пояснить и ChatGPT.
Матрицы и определители
- Матрицы. Виды матриц. Основные термины.
- Операции над матрицами.
- Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.
- Определители. Их свойства и методы вычисления.
- Некоторые свойства определителей.
- Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков.
- Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).
- Разложение определителя с предварительным преобразованием (метод эффективного понижения порядка).
- Вычисление определителя методом сведения к треугольному виду.
- Обратная матрица. Способы нахождения обратных матриц.
- Ранг матрицы.
Системы линейных алгебраических уравнений
- Система линейных алгебраических уравнений. Терминология. Матричная форма записи.
- Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
- Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
- Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса – Жордана.
- Теорема Кронекера – Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.
- Общее и базисное решения системы.
- Однородные системы. Фундаментальная система решений.
Пределы
- Предел отношения двух многочленов.
- Пределы с иррациональностями.
- Первый замечательный предел.
- Второй замечательный предел.
- Следствия из второго замечательного предела.
Функции нескольких переменных
- Экстремум функции двух переменных.
- Условный экстремум функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.
- Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Неопределённые интегралы
- Понятие неопределённого интеграла.
- Непосредственное интегрирование.
- Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала).
- Интегрирование по частям.
- Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей).
- Универсальная тригонометрическая подстановка.
- Подстановки Эйлера.
- Алгоритм нахождения стандартных неопределённых интегралов.
Числовые ряды
- Основные понятия. Запись нескольких первых членов ряда. Свойства числовых рядов.
- Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам.
- Нахождение суммы числового ряда.
- Необходимый признак сходимости числового ряда.
- Признаки сравнения числовых рядов.
- Признак Д'Аламбера.
- Радикальный признак Коши.
- Интегральный признак Коши – Маклорена.
- Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- Выбор признака сходимости числовых рядов.
Функциональные ряды
- Вычисление определённых интегралов с помощью функциональных рядов.
Линейно зависимые и линейно независимые функции
- Определение. Примеры исследования линейной зависимости функций по определению.
- Определитель Грама (грамиан).
- Определитель Вронского (вронскиан).
Разное (схема Горнера, деление многочленов, и т.д.)
- Понятие множества. Способы задания множеств.
- Сокращённая запись сумм: краткое введение.
- Перестановки, размещения и сочетания. Формулы.
- Производная сложной функции.
- Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.
- Схема Горнера.
- Деление многочленов "столбиком" ("уголком").