Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:
- Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. \(\displaystyle{\Delta\neq{0}}\).
- Для каждой переменной \(\displaystyle{x_i}\)(\(\displaystyle{i=\overline{1,n}}\)) необходимо составить определитель \(\displaystyle{\Delta_{x_i}}\), полученный из определителя \(\displaystyle{\Delta}\) заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
- Найти значения неизвестных по формулам \(\displaystyle{x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}}\) (\(\displaystyle{i=\overline{1,n}}\)).
Задача №1
Условие
Решить СЛАУ \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned}
& 3x_1+2x_2=-11;\\
& -x_1+5x_2=15.
\end{aligned}\right.}\) методом Крамера.
Решение
Матрица системы такова: \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right)}\). Определитель этой матрицы:
\[\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17.\]
Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение. Вычислим значения двух определителей: \(\displaystyle{\Delta_{x_1}}\) и \(\displaystyle{\Delta_{x_2}}\). Определитель \(\displaystyle{\Delta_{x_1}}\) получаем из определителя \(\displaystyle{\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|}\) заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при \(\displaystyle{x_1}\)) столбцом свободных членов \(\displaystyle{\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)}\):
\[
\Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc}-11&2\\15&5\end{array}\right|=-55-30=-85.
\]
Аналогично, заменяя второй столбец в \(\displaystyle{\Delta}\) столбцом свободных членов, получим:
\[
\Delta_{x_2}=\left|\begin{array} {cc} 3 & -11\\ -1 & 15\end{array}\right|=45-11=34.
\]
Теперь можно найти значения неизвестных \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\).
\[x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{-85}{17}=-5;\;x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{34}{17}=2.\]
В принципе, можно проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ \(\displaystyle{x_1=-5}\), \(\displaystyle{x_2=2}\):
\[\left\{\begin{aligned}
& 3x_1+2x_2=3\cdot(-5)+2\cdot{2}=-11;\\
& -x_1+5x_2=-(-5)+5\cdot{2}=15.
\end{aligned}\right.\]
Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.
Ответ:
\(\displaystyle{x_1=-5}\), \(\displaystyle{x_2=2}\).
Задача №2
Условие
Решить СЛАУ \(\displaystyle{
\left\{\begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=3;\\
& 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\
& x_1+x_3=-2.
\end{aligned} \right.}\), используя метод Крамера.
Решение
Определитель системы:
\[\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5.\]
Заменяя первый столбец в \(\displaystyle{\Delta}\) столбцом свободных членов, получим \(\displaystyle{\Delta_{x_1}}\):
\[
\Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\\ -7 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right|=6-4-4+7=5.
\]
Заменяя второй столбец в \(\displaystyle{\Delta}\) столбцом свободных членов, получим \(\displaystyle{\Delta_{x_2}}\):
\[
\Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ 3 & -7 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=-14+6+6-7-9+8=-10.
\]
Заменяя третий столбец в \(\displaystyle{\Delta}\) столбцом свободных членов, получим \(\displaystyle{\Delta_{x_3}}\):
\[
\Delta_{x_3}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\\ 3 & 2 & -7 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right|=-8-7-6+6=-15.
\]
Учитывая все вышеизложенное, имеем:
\[
x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{5}{5}=1;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-10}{5}=-2; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{-15}{5}=-3.
\]
Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения \(\displaystyle{x_1=1}\), \(\displaystyle{x_2=-2}\) и \(\displaystyle{x_3=-3}\) в заданную СЛАУ:
\[\left\{\begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=2\cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\\
& 3x_1+2x_2+2x_3=3\cdot{1}+2\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-7;\\
& x_1+x_3=1+(-3)=-2.
\end{aligned} \right.\]
Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.
Ответ:
\(\displaystyle{x_1=1}\), \(\displaystyle{x_2=-2}\), \(\displaystyle{x_3=-3}\).
Задача №3
Условие
Решить СЛАУ \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned}
& 2x_1+3x_2-x_3=15;\\
& -9x_1-2x_2+5x_3=-7.
\end{aligned}\right.}\) используя метод Крамера.
Решение
Матрица системы \(\displaystyle{ A = \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) }\) не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Перенесём какую-либо переменную в правые части уравнений так, чтобы у новой системы определитель матрицы системы был ненулевым.
Чтобы выбрать переменную для переноса, рассмотрим минор матрицы, расположенный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 (эти столбцы соответствуют переменным \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\)):
\[
\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|
=-4+27
=23
\]
Этот минор не равен нулю, поэтому переменные \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\) останутся в левых частях равенства, а переменная \(\displaystyle{x_3}\) – перейдёт направо:
\[
\left \{ \begin{aligned}
& 2x_1+3x_2=x_3+15;\\
& -9x_1-2x_2=-5x_3-7.
\end{aligned} \right.
\]
Теперь матрица системы \(\displaystyle{ \left(\begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) }\) стала квадратной. Её определитель \(\displaystyle{\Delta=23}\) не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим задачам:
\[
\begin{aligned}
& \Delta_{x_1}
=\left| \begin{array} {cc} x_3+15 & 3\\ -5x_3-7 & -2 \end{array}\right|
=-2x_3-30-\left(-15x_3-21\right)
=13x_3-9;\\
\\
& \Delta_{x_2}
=\left| \begin{array} {cc} 2 & x_3+15\\ -9 & -5x_3-7 \end{array}\right|
=-10x_3-14-\left(-9x_3-135\right)
=-x_3+121.
\end{aligned}
\]
\[
x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{13x_3-9}{23};\;
x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-x_3+121}{23}.
\]
Ответ можно записать в таком виде:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\
& x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\
& x_3\in R.
\end{aligned}\right.
\]
Переменные \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\) – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная \(\displaystyle{x_3}\) – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих задачах.
Ответ:
\(\displaystyle{\left\{\begin{aligned}
& x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\
& x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\
& x_3\in R.
\end{aligned}\right.}\)
Чтобы выяснить, какие переменные оставить в левых частях равенств, а какую – перенести, мы рассматривали минор матрицы системы, который оказался ненулевым. Однако он мог и равняться нулю. Для примера рассмотрим такую СЛАУ:
\[\left\{\begin{aligned}
& 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\
& -4x_1+10x_2-7x_3=5.
\end{aligned}\right.\]
Матрица системы: \(\displaystyle{ A = \left( \begin{array} {ccc} 2 & -5 & 10\\ -4 & 10 & -7 \end{array} \right)}\). Минор матрицы \(\displaystyle{A}\), расположенный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2, будет равен нулю:
\[
\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|
=20-20
=0
\]
Однако минор, расположенный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №3, ненулевой:
\[
\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|
=-14+40
=26
\]
Это значит, что в левых частях равенств можно оставить переменные \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_3}\), а переменную \(\displaystyle{x_2}\) перенести в правую часть равенств:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1+10x_3=5x_2+14;\\
& 4x_1-7x_3=-10x_2+5.
\end{aligned}\right.\]
Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в задаче №3. К слову, может возникнуть ситуация, когда все рассматриваемые миноры матрицы системы равны нулю. Такая ситуация означает, что либо в матрице системы есть нулевая строка, либо как минимум одно уравнение системы является линейной комбинацией остальных уравнений. В этом случае лучше воспользоваться, например, методом Гаусса.
Задача №4
Условие
Решить СЛАУ
\[\left\{\begin{aligned}
& x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\
& 2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\
&-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0.
\end{aligned}\right.\]
методом Крамера.
Решение
Матрица системы \(\displaystyle{\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\
2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\
-1 & 4 & 5 & -3 & 0
\end{array}\right)}\) не является квадратной. Рассмотрим минор этой матрицы, расположенный на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2 и №3:
\[
\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1\\ 2 & -6 & 1\\-1 & 4 & 5 \end{array}\right|
=19
\]
Этот минор не равен 0, поэтому в левых частях равенств оставим переменные \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_3}\), а переменные \(\displaystyle{x_4}\) и \(\displaystyle{x_5}\) перенесём в правые части уравнений. После этого решим полученную систему методом Крамера.
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\\
& 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \\
& -x_1+4x_2+5x_3=3x_4.
\end{aligned}\right.\]
\[
\begin{aligned}
& \Delta = 19;\\
\\
& \Delta_{x_1}
=\left| \begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1\\ 4x_4+2x_5 & -6 & 1\\3x_4 & 4 & 5 \end{array}\right|
=-17x_4+144x_5;\\
\\
& \Delta_{x_2}
=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1\\ 2 & 4x_4+2x_5 & 1\\-1 & 3x_4 & 5 \end{array}\right|
=-15x_4+41x_5;\\
\\
& \Delta_{x_3}
=\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5\\ 2 & -6 & 4x_4+2x_5\\-1 & 4 & 3x_4 \end{array}\right|
=20x_4-4x_5.
\end{aligned}
\]
\[
x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\;
x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\;
x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}.
\]
Переменные \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\), \(\displaystyle{x_3}\) базисные, переменные \(\displaystyle{x_4}\), \(\displaystyle{x_5}\) – свободные.
Ответ:
\(\displaystyle{\left\{\begin{aligned}
& x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\
& x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\
& x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\
& x_4\in R; \; x_5\in R.
\end{aligned}\right.}\)
Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в задаче №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Гораздо удобнее в таком случае использовать, например, метод Гаусса. Я привёл задачу №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.