Высшая математика » Системы линейных алгебраических уравнений » Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. \(\Delta\neq 0\).
Для каждой переменной \(x_i\)(\(i=\overline{1,n}\)) необходимо составить определитель \(\Delta_{x_i}\), полученный из определителя \(\Delta\) заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
Найти значения неизвестных по формуле \(x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}\) (\(i=\overline{1,n}\)).

Перед переходом к чтению задач рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Задача №1

Условие

Решить СЛАУ \(\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end{aligned}\right.\) методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: \( A=\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right)\). Определитель этой матрицы:

\[\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17.\]

Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: \(\Delta_{x_1}\) и \(\Delta_{x_2}\). Определитель \(\Delta_{x_1}\) получаем из определителя \(\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|\) заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при \(x_1\)) столбцом свободных членов \(\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)\):

\[ \Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc}-11&2\\15&5\end{array}\right|=-55-30=-85. \]

Аналогично, заменяя второй столбец в \(\Delta=\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&5\end{array}\right|\) столбцом свободных членов, получим:

\[ \Delta_{x_2}=\left|\begin{array} {cc} 3 & -11\\ -1 & 15\end{array}\right|=45-11=34. \]

Теперь можно найти значения неизвестных \(x_1\) и \(x_2\).

\[x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{-85}{17}=-5;\;x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{34}{17}=2.\]

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ \(x_1=-5\), \(x_2=2\):

\[\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=3\cdot(-5)+2\cdot{2}=-11;\\ & -x_1+5x_2=-(-5)+5\cdot{2}=15. \end{aligned}\right.\]

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Ответ:

\(x_1=-5\), \(x_2=2\).

Задача №2

Условие

Решить СЛАУ \( \left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end{aligned} \right.\), используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы:

\[\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5.\]

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в \(\Delta\) столбцом свободных членов, получим \(\Delta_{x_1}\):

\[ \Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\\ -7 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right|=6-4-4+7=5. \]

Заменяя второй столбец в \(\Delta\) столбцом свободных членов, получим \(\Delta_{x_2}\):

\[ \Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ 3 & -7 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=-14+6+6-7-9+8=-10. \]

Заменяя третий столбец в \(\Delta\) столбцом свободных членов, получим \(\Delta_{x_3}\):

\[ \Delta_{x_3}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\\ 3 & 2 & -7 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right|=-8-7-6+6=-15. \]

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

\[ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{5}{5}=1;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-10}{5}=-2; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{-15}{5}=-3. \]

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения \(x_1=1\), \(x_2=-2\) и \(x_3=-3\) в заданную СЛАУ:

\[\left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=2\cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=3\cdot{1}+2\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-7;\\ & x_1+x_3=1+(-3)=-2. \end{aligned} \right.\]

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ:

\(x_1=1\), \(x_2=-2\), \(x_3=-3\).

Задача №3

Условие

Решить СЛАУ \(\left\{\begin{aligned} & 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\right.\) используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы \( \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) \) не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную \(x_3\) в правые части уравнений:

\[ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2=x_3+15;\\ & -9x_1-2x_2=-5x_3-7. \end{aligned} \right. \]

Теперь матрица системы \( \left( \begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) \) стала квадратной, и определитель её \(\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|=-4+27=23\) не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим задачам:

\[ \begin{aligned} & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {cc} x_3+15 & 3\\ -5x_3-7 & -2 \end{array}\right| =-2x_3-30-\left(-15x_3-21\right) =13x_3-9;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {cc} 2 & x_3+15\\ -9 & -5x_3-7 \end{array}\right| =-10x_3-14-\left(-9x_3-135\right) =-x_3+121. \end{aligned} \]

\[ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{13x_3-9}{23};\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-x_3+121}{23}. \]

Ответ можно записать в таком виде: \(\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\ & x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\ & x_3\in R. \end{aligned}\right.\) Переменные \(x_1\), \(x_2\) – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная \(x_3\) – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих задачах.

Ответ:

\(\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\ & x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\ & x_3\in R. \end{aligned}\right.\)

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ \(\left\{\begin{aligned} & 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\ & -4x_1+10x_2-7x_3=5. \end{aligned}\right.\). Если перенести в правые части уравнений \(x_3\), получим: \( \left\{\begin{aligned} & x_1-5x_2=-10x_3+14;\\ & 4x_1+10x_2=7x_3+5. \end{aligned}\right.\). Определитель данной системы \(\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|=20-20=0\). Однако если перенести в правые части уравнений переменную \(x_2\), то получим систему \( \left\{\begin{aligned} & x_1+10x_3=5x_2+14;\\ & 4x_1-7x_3=-10x_2+5. \end{aligned}\right.\), определитель которой \(\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|=-14+40=26\) не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в задаче №3.

Задача №4

Условие

Решить СЛАУ

\[\left\{\begin{aligned} &x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ &2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ &-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end{aligned}\right.\]

методом Крамера.

Решение

Матрица системы \(\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end{array}\right)\) не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные \(x_4\), \(x_5\) в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

\[ \left\{\begin{aligned} & x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\\ & 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \\ & -x_1+4x_2+5x_3=3x_4. \end{aligned}\right.\]

\[ \begin{aligned} & \Delta =\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1\\ 2 & -6 & 1\\-1 & 4 & 5 \end{array}\right| =19;\\ \\ & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1\\ 4x_4+2x_5 & -6 & 1\\3x_4 & 4 & 5 \end{array}\right| =-17x_4+144x_5;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1\\ 2 & 4x_4+2x_5 & 1\\-1 & 3x_4 & 5 \end{array}\right| =-15x_4+41x_5;\\ \\ & \Delta_{x_3} =\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5\\ 2 & -6 & 4x_4+2x_5\\-1 & 4 & 3x_4 \end{array}\right| =20x_4-4x_5. \end{aligned} \]

Ответ таков: \(\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.\) Переменные \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) – базисные, переменные \(x_4\), \(x_5\) – свободные.

Ответ:

\(\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.\)

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в задаче №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл задачу №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.