Разложение рациональных дробей на простейшие (элементарные) дроби. Первая часть.

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени называют выражение вида

\[P_n(x) =\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i} =a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n \]

Например, \(\displaystyle{P_{9}(x)=4x^{9}-3x^2+4x-11}\) – многочлен, степень которого равна 9.

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется функция вида \(\displaystyle{\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}\), где \(\displaystyle{P_n(x)}\) и \(\displaystyle{Q_m(x)}\) – многочлены степени \(\displaystyle{n}\) и \(\displaystyle{m}\) соответственно, причём \(\displaystyle{Q_{m}(x)\neq{0}}\). Если \(\displaystyle{n\lt{m}}\), то рациональная дробь называется правильной, если же \(\displaystyle{n\ge{m}}\) – неправильной.

Если говорить более точно, то данное выше определение задаёт дробно-рациональную функцию одной переменной. В общем случае рациональная дробь может зависеть и от большего числа переменных.

Примеры рациональных дробей.

Функция \(\displaystyle{\frac{3x^2+5\sin{x}-4}{2x+5}}\) не является рациональной дробью переменной \(\displaystyle{x}\) ввиду наличия \(\displaystyle{\sin{x}}\) в числителе.

Функции \(\displaystyle{\frac{4}{x^2+x+1}}\) и \(\displaystyle{\frac{5x^2+x-1}{3x^9+2x^2-4}}\) являются правильными рациональными дробями, так как для каждой из них степень многочлена в числителе меньше, нежели степень многочлена в знаменателе.

Теперь перейдём к понятию простейших рациональных дробей (их ещё именуют элементарными дробями). Обычно выделяют четыре типа простейших дробей:

\(\displaystyle{\frac{A}{x-a}}\);
\(\displaystyle{\frac{A}{(x-a)^n}}\) (\(\displaystyle{n=2,3,4,\ldots}\));
\(\displaystyle{\frac{Mx+N}{x^2+px+q}}\) (\(\displaystyle{p^2-4q \lt 0}\));
\(\displaystyle{\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}}\) (\(\displaystyle{p^2-4q \lt 0}\); \(\displaystyle{n=2,3,4,\ldots}\)).

Примечание (желательное для более полного понимания текста)

Зачем нужно условие \(\displaystyle{p^2-4q \lt {0}}\) в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратный трёхчлен \(\displaystyle{x^2+px+q}\), дискриминант которого \(\displaystyle{D=p^2-4q}\). Условие \(\displaystyle{p^2-4q \lt {0}}\) означает, что \(\displaystyle{D \lt {0}}\). Так как \(\displaystyle{D \lt {0}}\), то многочлен \(\displaystyle{x^2+px+q}\) неразложим на множители. Эта неразложимость (или, как говорят, неприводимость) нас и интересует.

Задача состоит в следующем: заданную правильную рациональную дробь \(\displaystyle{\frac{P}{Q}}\) представить в виде суммы простейших рациональных дробей. Мы будем полагать, что старший коэффициент (коэффициент при наибольшей степени переменной) многочлена \(\displaystyle{Q}\) равен 1. Если это условие не выполняется, то достаточно разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на старший коэффициент.

Алгоритм разложения правильной рациональной дроби на простейшие (элементарные) дроби

Для начала нужно многочлен \(\displaystyle{Q}\) в знаменателе разложить на неприводимые множители, т.е. на многочлены, неразложимые на многочлены меньшей степени. Иными словами, многочлен \(\displaystyle{Q}\) должен быть представлен в такой форме:

\[ Q =p_{1}^{k_1}\cdot{p}_{2}^{k_2}\cdot\ldots\cdot{p_{r}^{k_r}} \]

Многочлены \(\displaystyle{p_i}\) могут иметь вид только \(\displaystyle{x-a}\) или \(\displaystyle{x^2+px+q}\), где \(\displaystyle{p^2-4q \lt {0}}\). При этом среди многочленов \(\displaystyle{p_i}\) не должно быть одинаковых, т.е. \(\displaystyle{p_i\neq{p_j}}\) при \(\displaystyle{i\neq{j}}\).

Далее, каждому множителю в разложении многочлена \(\displaystyle{Q}\) будет соответствовать ровно столько простейших дробей, какова степень этого множителя.

Каждой скобке типа \(\displaystyle{(x-a)}\) будет соответствовать дробь \(\displaystyle{\frac{A}{x-a}}\), а скобке \(\displaystyle{\left(x^2+px+q\right)}\) – дробь \(\displaystyle{\frac{Cx+D}{x^2+px+q}}\). Каждой скобке \(\displaystyle{(x-a)^n}\), где \(\displaystyle{n\ge{2}}\), соответствует сумма из \(\displaystyle{n}\) дробей такого вида:

\[ \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\frac{A_3}{(x-a)^3}+\ldots+\frac{A_n}{(x-a)^n} \]

Каждой скобке \(\displaystyle{(x^2+px+q)^n}\) (\(\displaystyle{p^2-4q \lt {0}}\)) соответствует сумма из \(\displaystyle{n}\) дробей такого вида:

\[ \frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n} \]

Отмечу, что если заданная рациональная дробь является неправильной, то перед применением вышеизложенной схемы следует разбить дробь на сумму многочлена (именуемого также целой частью) и правильной рациональной дроби.

Задача №1

Условие

Разложить заданные рациональные дроби на простейшие (без нахождения параметров):

\(\displaystyle{\frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 \left(x^2+3x+10\right)\left(x^2+11\right)^5}}\);
\(\displaystyle{\frac{x^2+10}{(x-2)^3\left(x^3-8\right)(3x+5)\left(3x^2-x-10\right)}}\);
\(\displaystyle{\frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}}\).

Решение

Пункт №1

Имеем рациональную дробь. В числителе этой дроби расположен многочлен 4-й степени, а в знаменателе многочлен, степень которого равна \(\displaystyle{17}\). Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то данная дробь является правильной.

Проанализируем заменатель. Многочлены, расположенные в скобках, имеют вид лишь \(\displaystyle{x-a}\) или \(\displaystyle{x^2+px+q}\). При этом многочлены вида \(\displaystyle{x^2+px+q}\), т.е. \(\displaystyle{x^2+3x+10}\) и \(\displaystyle{x^2+11}\), удовлетворяют условию \(\displaystyle{p^2-4q\lt{0}}\). Например, для многочлена \(\displaystyle{x^2+3x+10}\) имеем \(\displaystyle{3^2-4\cdot{10}\lt{0}}\). Кроме того, среди многочленов в скобках нет одинаковых. Следовательно, многочлен в знаменателе удовлетворяет всем необходимым условиям.

Приступим к собственно разложению заданной дроби на простейшие. Множителю \(\displaystyle{(x-5)}\) будет соответствовать дробь \(\displaystyle{\frac{A}{x-5}}\). Множителю \(\displaystyle{(x+2)^4}\) будет соответствовать сумма четырёх дробей:

\[\frac{A_1}{x+2}+\frac{A_2}{(x+2)^2}+\frac{A_3}{(x+2)^3}+\frac{A_4}{(x+2)^4}\]

Множителю \(\displaystyle{\left(x^2+3x+10\right)}\) будет соответствовать дробь \(\displaystyle{\frac{Cx+D}{x^2+3x+10}}\). И, наконец, множителю \(\displaystyle{\left(x^2+11\right)^5}\) соответствует сумма пяти дробей:

\[ \frac{C_1x+D_1}{x^2+11}+\frac{C_2x+D_2}{\left(x^2+11\right)^2}+\frac{C_3x+D_3}{\left(x^2+11\right)^3}+\frac{C_4x+D_4}{\left(x^2+11\right)^4}+\frac{C_5x+D_5}{\left(x^2+11\right)^5} \]

Более множителей в знаменателе нет, посему запишем готовое разложение:

\[ \frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 \left(x^2+3x+10\right)\left(x^2+11\right)^5} =\frac{A}{x-5}+\frac{A_1}{x+2}+\frac{A_2}{(x+2)^2}+\frac{A_3}{(x+2)^3}+\frac{A_4}{(x+2)^4}+\\ +\frac{Cx+D}{x^2+3x+10}+\frac{C_1x+D_1}{x^2+11}+\frac{C_2x+D_2}{\left(x^2+11\right)^2}+\frac{C_3x+D_3}{\left(x^2+11\right)^3}+\frac{C_4x+D_4}{\left(x^2+11\right)^4}+\frac{C_5x+D_5}{\left(x^2+11\right)^5} \]

Пункт №2

Степень многочлена в числителе (т.е. 2) меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 9), поэтому данная дробь – правильная.

Многочлен \(\displaystyle{x^3-8}\) требуется разложить на множители, ибо он не подпадает ни под вид \(\displaystyle{x-a}\), ни под вид \(\displaystyle{x^2+px+q}\):

\[ x^3-8 =x^3-2^3 =(x-2)\left(x^2+2x+4\right) \]

В скобке \(\displaystyle{(3x+5)}\) вынесем число 3 за скобку: \(\displaystyle{(3x+5)=3\cdot\left(x+\frac{5}{3}\right)}\).

Обратимся к скобке \(\displaystyle{\left(3x^2-x-10\right)}\). Многочлен \(\displaystyle{3x^2-x-10}\) можно разложить на множители, что несложно сделать, решив соответствующее квадратное уравнение:

\[ 3x^2-x-10=0;\\ D=121; \; x_1=-\frac{5}{3}; \; x_2=2.\\ 3x^2-x-10 =3\cdot\left(x+\frac{5}{3}\right)(x-2). \]

С учётом вышеизложенного, представим заданную дробь в таком виде:

\[ \frac{x^2+10}{(x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10)}=\\ =\frac{x^2+10}{9\cdot (x-2)^5\left(x^2+2x+4\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)^2} =\frac{\frac{1}{9}x^2+\frac{10}{9}}{(x-2)^5\left(x^2+2x+4\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)^2} \]

Теперь можно перейти непосредственно к простейшим дробям. Действуя точно так же, как и в пункте №1 этой задачи, будем иметь:

\[ \frac{\frac{1}{9}x^2+\frac{10}{9}}{(x-2)^5\left(x^2+2x+4\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)^2}=\\ =\frac{A_1}{x-2}+\frac{A_2}{(x-2)^2}+\frac{A_3}{(x-2)^3}+\frac{A_4}{(x-2)^4}+\frac{A_5}{(x-2)^5}+ \frac{Cx+D}{x^2+2x+4}+\frac{B_1}{x+\frac{5}{3}}+\frac{B_2}{\left(x+\frac{5}{3}\right)^2} \]

Пункт №3

Имеем рациональную дробь. Степень могочлена в числителе (т.е. 5) не меньше степени многочлена в знменателе (т.е. 3), посему данная дробь является неправильной. Следовательно, перед тем, как раскладывать данную рациональную дробь на простейшие, придётся выделить целую часть (некий многочлен). Разделим многочлен, расположенный в числителе, на многочлен в знаменателе. Используем способ деления "уголком":

Полученный результат можно записать так:

\[ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22 =\left(x^3-2x^2+4x-8\right)\left(3x^2+x\right)+4x^2+x+22 \]

Тогда заданная дробь представима в иной форме:

\[ \frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8} =\frac{\left(x^3-2x^2+4x-8\right)\left(3x^2+x\right)+4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\\ =\frac{\left(x^3-2x^2+4x-8\right)\left(3x^2+x\right)}{x^3-2x^2+4x-8}+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8} =3x^2+x+\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8} \]

Дробь \(\displaystyle{\frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}}\) является правильной рациональной дробью, ибо степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Теперь обратимся к знаменателю данной дроби. В знаменателе расположен многочлен, который нужно разложить на множители. Иногда для разложения на множители полезна схема Горнера, но в нашем случае проще обойтись стандартным "школьным" методом группировки слагаемых:

\[ x^3-2x^2+4x-8 =x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2) =(x-2)\cdot\left(x^2+4\right) \]

Применяя те же методы, что и в предыдущих пунктах, получим:

\[ \frac{4x^2+x+22}{(x-2)\cdot\left(x^2+4\right)} =\frac{A}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} \]

Итак, окончательно имеем

\[ \frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+\frac{A}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+4} \]

В дальнейших примерах этой темы не станем рассматривать неправильные дроби, так как любую неправильную рациональную дробь можно представить как сумму многочлена и некоей правильной дроби.

Задача №2

Условие

Разложить рациональную дробь \(\displaystyle{\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}}\) на простейшие дроби.

Решение

Здесь мы подробно расмотрим два классических способа решения подобных задач. Начало у этих способов совершенно одинаковое. Выполним разложение заданной дроби аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче:

\[ \frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)} =\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{x+4}+\frac{A_3}{x-9} \]

Теперь приведём правую часть полученного равенства к одному знаменателю:

\[ \frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{x+4}+\frac{A_3}{x-9} =\frac{A_1(x+4)(x-9)+A_2(x-1)(x-9)+A_3(x-1)(x+4)}{(x-1)(x+4)(x-9)} \]

Итак, мы получили следующее равенство:

\[ \frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)} =\frac{A_1(x+4)(x-9)+A_2(x-1)(x-9)+A_3(x-1)(x+4)}{(x-1)(x+4)(x-9)} \]

Имеем равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями. Из этого равенства следует равенство числителей:

\[ \begin{equation} x^2-38x+157 =A_1(x+4)(x-9)+A_2(x-1)(x-9)+A_3(x-1)(x+4) \tag{2.1} \end{equation} \]

Почему из равенства дробей следует равенство многочленов в числителях?

Две рациональные дроби \(\displaystyle{\frac{f_1}{g_1}}\) и \(\displaystyle{\frac{f_2}{g_2}}\) полагаются равными, если выполнено равенство \(\displaystyle{f_1 g_2 = f_2 g_1}\). В данном случае мы имеем равенство вида \(\displaystyle{\frac{f_1}{g}=\frac{f_2}{g}}\), откуда следует \(\displaystyle{f_1 g = f_2 g}\), что означает \(\displaystyle{f_1 = f_2}\).

Именно из этого равенства нам предстоит найти \(\displaystyle{A_1}\), \(\displaystyle{A_2}\), \(\displaystyle{A_3}\). Как упоминалось ранее, для сей цели есть два стандартных способа.

Метод неопределённых коэффициентов

Для начала раскроем скобки в правой части равенства (2.1):

\[ A_1(x+4)(x-9)+A_2(x-1)(x-9)+A_3(x-1)(x+4)=\\ A_1\cdot(x^2-5x-36)+A_2\cdot(x^2-10x+9)+A_3\cdot(x^2+3x-4)=\\ =A_1 x^2-5A_1x-36A_1+A_2x^2-10A_2x+9A_2+A_3x^2+3A_3x-4A_3. \]

Перегруппируем слагаемые по степеням переменной \(\displaystyle{x}\). Это означает, что мы соберём воедино слагаемые с \(\displaystyle{x^2}\), потом слагаемые с \(\displaystyle{x}\), а последними запишем слагаемые, которые не содержат \(\displaystyle{x}\) в явном виде:

\[ A_1 x^2-5A_1x-36A_1+A_2x^2-10A_2x+9A_2+A_3x^2+3A_3x-4A_3=\\ =\left(A_1+A_2+A_3\right)x^2+(-5A_1-10A_2+3A_3)x-36A_1+9A_2-4A_3. \]

Перепишем равенство (2.1) в такой форме:

\[ x^2-38x+157 =(A_1+A_2+A_3)x^2+(-5A_1-10A_2+3A_3)x-36A_1+9A_2-4A_3 \]

Имеем равенство двух многочленов, из которого следует равенство коэффициентов при одинаковых степенях \(\displaystyle{x}\):

\[ \left\{ \begin{aligned} & A_1+A_2+A_3=1;\\ & -5A_1-10A_2+3A_3=-38;\\ & -36A_1+9A_2-4A_3=157. \end{aligned} \right. \]

Решать эту систему можно разными способами. Применим, например, метод Гаусса:

\[ \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ -5 & -10 & 3 & -38\\ -36 & 9 & -4 & 157 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2+5\cdot {r_1}\\ r_3+36r_1 \end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -5 & 8 & -33\\ 0 & 45 & 32 & 193 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_3+9r_2 \end{array} \rightarrow \\ \rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -5 & 8 & -33\\ 0 & 0 & 104 & -104 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \frac{1}{104}\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -5 & 8 & -33\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-r_3 \\ r_2-8r_3 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \\ \rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & -5 & 0 & -25\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ -\frac{1}{5}\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-r_2 \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \]

Итак, из последней матрицы имеем: \(\displaystyle{A_1=-3}\), \(\displaystyle{A_2=5}\), \(\displaystyle{A_3=-1}\).

Метод подстановки частных значений

Вновь вернёмся к полученному нами ранее равенству (2.1). Это равенство должно выполняться при любых значениях \(\displaystyle{x}\). А если оно выполняется при всех значениях \(\displaystyle{x}\), то будет выполняться, например, и при \(\displaystyle{x=1}\). Подставим \(\displaystyle{x=1}\) в обе части рассматриваемого равенства:

\[ 1^2-38\cdot 1+157=A_1(1+4)(1-9)+A_2(1-1)(1-9)+A_3(1-1)(1+4);\\ 120=-40A_1; \; A_1=\frac{120}{-40}=-3. \]

Полагаю, логика сделанной подстановки ясна: мы обнулили все скобки в правой части равенства, кроме одной, что позволило сразу найти \(\displaystyle{A_1}\).

Теперь осуществим ещё две подстановки. Подставляя \(\displaystyle{x=-4}\) в (2.1), будем иметь:

\[ (-4)^2-38\cdot (-4)+157=A_1(-4+4)(-4-9)+A_2(-4-1)(-4-9)+A_3(-4-1)(-4+4);\\ 325=65A_2; \; A_2=\frac{325}{65}=5. \]

Теперь в (2.1) подставим \(\displaystyle{x=9}\):

\[ 9^2-38\cdot {9}+157=A_1(9+4)(9-9)+A_2(9-1)(9-9)+A_3(9-1)(9+4);\\ -104=104A_3; \; A_3=\frac{-104}{104}=-1. \]

Итак, \(\displaystyle{A_1=-3}\), \(\displaystyle{A_2=5}\), \(\displaystyle{A_3=-1}\). Отмечу, что в методе подстановки частных значений мы могли вообще подставить три произвольных числа. Например, подставляя \(\displaystyle{x=0}\) в равенство (2.1), получили бы уравнение \(\displaystyle{-36A_1+9A_2-4A_3=157}\). Потом осуществили бы ещё две подстановки и пришли к системе с тремя уравнениями и тремя неизвестными. Однако, конечно, такой выбор подстановок гораздо менее удобен, не говоря уж о том, что выбирая случайные числа можно получить линейно зависимые уравнения.

Подводим итоги: числители \(\displaystyle{A_1}\), \(\displaystyle{A_2}\), \(\displaystyle{A_3}\) найдены двумя различными способами. Осталось лишь записать разложение исходной дроби на простейшие:

\[ \frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)} =\frac{-3}{x-1}+\frac{5}{x+4}+\frac{-1}{x-9}=-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9} \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9}}\).

Рассмотренный нами в задаче №2 тип рациональной дроби, в знаменателе которой расположены лишь множители вида \(\displaystyle{(x-a)}\), является, пожалуй, самым банальным для разложения. В этом случае для нахождения числителей простейших дробей можно даже не составлять равенство многочленов, – существуют готовые формулы (см., например, задачу 1578). Проблема возникает тогда, когда знаменатель имеет более сложную структуру. Такие примеры будут рассмотрены во второй и третьей частях.