Универсальная тригонометрическая подстановка. Вторая часть.

Задача №1

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{5+6\sin{x}}{\sin{x}(4+3\cos{x})}dx}\).

Решение

Под интегралом имеем рациональную функцию от \(\displaystyle{\sin{x}}\) и \(\displaystyle{\cos{x}}\). Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

\[ \int\frac{5+6\sin{x}}{\sin{x}(4+3\cos{x})}dx =\left[\begin{aligned} & t=\tg\frac{x}{2};\; dx=\frac{2dt}{1+t^2};\\ & \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2};\; \cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}.\end{aligned}\right]=\\ =\int\frac{5+6\cdot\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}\cdot\left(4+3\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\cdot\frac{2dt}{1+t^2} =\int\frac{\left(5+\frac{12t}{1+t^2}\right) dt}{t\cdot \left(4+3\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)} =\int\frac{(1+t^2)\cdot\left(5+\frac{12t}{1+t^2}\right) dt}{t\cdot (1+t^2)\left(4+3\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}=\\ \int\frac{5(1+t^2)+12t}{t\cdot \left(4(1+t^2)+3\cdot(1-t^2)\right)}dt =\int\frac{5+5t^2+12t}{t\cdot(4+4t^2+3-3t^2)}dt =\int\frac{5t^2+12t+5}{t(t^2+7)}dt \]

Мы получили интеграл от рациональной функции переменной \(\displaystyle{t}\), т.е. \(\displaystyle{\frac{5t^2+12t+5}{t(t^2+7)}}\). Применим схему интегрирования рациональных функций, описанную тут.

\[ \frac{5t^2+12t+5}{t(t^2+7)}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{t^2+7}=\frac{A(t^2+7)+(Bt+C)t}{t(t^2+7)};\\ 5t^2+12t+5=A(t^2+7)+(Bt+C)t=At^2+7A+Bt^2+Ct=(A+B)t^2+Ct+7A;\\ \left\{ \begin{aligned} & A+B=5;\\ & C=12;\\ & 7A=5. \end{aligned}\right. \\ A=\frac{5}{7}; B=5-A=5-\frac{5}{7}=\frac{30}{7}; C=12.\\ \frac{5t^2+12t+5}{t(t^2+7)}=\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{t}+\frac{\frac{30}{7}t+12}{t^2+7}=\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{t}+\frac{30}{7}\cdot\frac{t}{t^2+7}+\frac{12}{t^2+7}. \]

Учитывая полученное разложение, продолжим нахождение нашего интеграла:

\[ \int\frac{5t^2+12t+5}{t(t^2+7)}dt=\int\left( \frac{5}{7}\cdot\frac{1}{t}+\frac{30}{7}\cdot\frac{t}{t^2+7}+\frac{12}{t^2+7}\right) dt=\\ =\frac{5}{7}\ln|t|+\frac{15}{7}\ln(t^2+7)+\frac{12}{\sqrt{7}}\arctg\frac{t}{\sqrt{7}}+C =\frac{5}{7}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+\frac{15}{7}\ln\left(\tg^2\frac{x}{2}+7\right)+\frac{12}{\sqrt{7}}\arctg\frac{\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{7}}+C. \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{5}{7}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+\frac{15}{7}\ln\left(\tg^2\frac{x}{2}+7\right)+\frac{12}{\sqrt{7}}\arctg\frac{\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{7}}+C}\).

Нередко перед применением универсальной тригонометрической подстановки желательно преобразовать подынтегральную функцию, чтобы уменьшить объём работы над полученной после подстановки рациональной функцией. Рассмотрим такой интеграл в следующих задачах.

Задача №2

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{\cos{x}\,dx}{2+\cos{x}}}\).

Решение

В принципе, тут сразу можно применить универсальную тригонометрическую подстановку:

\[ \int\frac{\cos{x}\,dx}{2+\cos{x}} =\left[\begin{aligned} & t=\tg\frac{x}{2};\; dx=\frac{2dt}{1+t^2};\\ & \cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}.\end{aligned}\right] =\int\frac{2-2t^2}{\left(t^2+1\right)\cdot\left(t^2+3\right)}dt \]

Дальнейшее решение предполагает интегрирование полученной рациональной дроби. Однако есть вариант попроще – перед применением подстановки избавиться от косинуса в числителе:

\[ \int\frac{\cos{x}\,dx}{2+\cos{x}} =\int\frac{2+\cos{x}-2}{2+\cos{x}}dx =\int\frac{2+\cos{x}}{2+\cos{x}}dx-2\int\frac{dx}{2+\cos{x}} =x-2\int\frac{dx}{2+\cos{x}} \]

К полученному интегралу уже можно применить подстановку:

\[ \int\frac{dx}{2+\cos{x}} =\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}} =2\int\frac{dt}{t^2+3} =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg\frac{t}{\sqrt{3}}+C =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg\frac{\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+C \]

Возвращаясь к исходному интегралу будем иметь:

\[ \int\frac{\cos{x}\,dx}{2+\cos{x}} =x-2\int\frac{dx}{2+\cos{x}} =x-\frac{4}{\sqrt{3}}\arctg\frac{\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{x-\frac{4}{\sqrt{3}}\arctg\frac{\tg\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+C}\).

Задача №3

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sin^3{x}\cos^4{x}}}\).

Решение

Здесь можно применить универсальную тригонометрическую подстановку, однако лучше предварительно провести некоторые упрощения. Так как \(\displaystyle{\sin^2{x}+\cos^2{x}=1}\), то получим:

\[ \int\frac{dx}{\sin^3{x}\cos^4{x}} =\int\frac{(\sin^2{x}+\cos^2{x})^2}{\sin^3{x}\cos^4{x}}dx =\int\left(\frac{\sin{x}}{\cos^4{x}} + \frac{2}{\sin{x}\cos^2{x}} + \frac{1}{\sin^3{x}}\right)dx=\\ =\int\left(\frac{\sin{x}}{\cos^4{x}} + 2\cdot\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos^2{x}} + \frac{1}{\sin^3{x}}\right)dx =\int\left(\frac{\sin{x}}{\cos^4{x}} + \frac{2\sin{x}}{\cos^2{x}} + \frac{2}{\sin{x}} + \frac{1}{\sin^3{x}}\right)dx=\\ =-\int\left(\frac{1}{\cos^4{x}} + \frac{2}{\cos^2{x}}\right)d(\cos{x}) + 2\int\frac{dx}{\sin{x}} + \int\frac{dx}{\sin^3{x}} =\frac{1}{3\cos^3{x}} + \frac{2}{\cos{x}} - \frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}} + \frac{5}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C \]

При решении были использованы результаты задачи №1 и задачи №4.

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{1}{3\cos^3{x}} + \frac{2}{\cos{x}} - \frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}} + \frac{5}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C}\).

Вообще, тригонометрические формулы позволяют существенно упростить использование универсальной тригонометрической подстановки. Например, в интеграле вида \(\displaystyle{\int\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}}\) можно, разумеется, применить подстановку, а можно сперва свернуть знаменатель в выражение \(\displaystyle{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)}\), где \(\displaystyle{\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}\) и \(\displaystyle{\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\):

\[ a\sin{x}+b\cos{x} =\sqrt{a^2+b^2}\cdot\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x} + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x} \right)=\\ =\sqrt{a^2+b^2}\cdot\left(\cos\varphi\sin{x} + \sin\varphi\cos{x} \right) =\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi) \]

Рассмотрим данный метод в следующей задаче.

Задача №4

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{2\sin{x}+\cos{x}}}\).

Решение

Преобразуем знаменатель подынтегральной функции:

\[ 2\sin{x}+\cos{x} =\sqrt{5}\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos{x}\right) =\sqrt{5}\sin(x+\varphi) \]

Здесь \(\displaystyle{\varphi = \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}}\). Вернёмся к исходному интегралу, для нахождения которого применим формулу из задачи №1:

\[ \int\frac{dx}{2\sin{x}+\cos{x}} =\frac{1}{\sqrt{5}}\int\frac{dx}{\sin(x+\varphi)} =\left[u=x+\varphi\right] =\frac{1}{\sqrt{5}}\int\frac{du}{\sin{u}}=\\ =\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\left|\tg\frac{u}{2}\right|+C =\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\left|\tg\frac{x+\varphi}{2}\right|+C =\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\left|\tg\frac{x+\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}}{2}\right|+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\left|\tg\frac{x+\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}}{2}\right|+C}\).

Нахождение интеграла описанным выше методом можно найти также в задаче 2358. В заключение второй части рассмотрим один пример, который наглядно иллюстрирует тот факт, что универсальная тригонометрическая подстановка в общем случае приводит к довольно громоздким преобразованиям. Именно поэтому прибегают к данной подстановке лишь тогда, когда иных вариантов не остаётся.

Задача №5

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\sin^6{x}\cos{x} \, dx}\).

Решение

Под интегралом расположена рациональная функция от \(\displaystyle{\sin{x}}\) и \(\displaystyle{\cos{x}}\). Применение универсальной тригонометрической подстановки здесь, конечно же, возможно. Попробуем осуществить подстановку:

\[ \int\sin^6{x}\cos{x} \, dx =\left[t=\tg\frac{x}{2}\right] =\int\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^6\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot\frac{2dt}{1+t^2} =\int\frac{128t^6(1-t^2)dt}{(1+t^2)^8} \]

Чтобы вычислить такой интеграл, необходимо получить разложение подынтегральной дроби на элементарные:

\[ \frac{128t^6(1-t^2)}{(1+t^2)^8} =\frac{A_1+B_1t}{1+t^2}+\frac{A_2+B_2t}{(1+t^2)^2}+\frac{A_3+B_3t}{(1+t^2)^3}+\\ +\frac{A_4+B_4t}{(1+t^2)^4}+\frac{A_5+B_5t}{(1+t^2)^5}+\frac{A_6+B_6t}{(1+t^2)^6}+\frac{A_7+B_7t}{(1+t^2)^7}+\frac{A_8+B_8t}{(1+t^2)^8} \]

Найти все коэффициенты \(\displaystyle{A_i}\) и \(\displaystyle{B_i}\) – довольно-таки нетривиальная задача. Применяя, например, метод неопределённых коэффициентов, мы придём к необходимости составить и решить решить систему линейных уравнений, содержащую 16 неизвестных и 16 уравнений. Однако на этом, разумеется, трудности не закончатся, ведь после того, как коэффициенты будут найдены, потребуется вычислить интегралы вида \(\displaystyle{\int\frac{(A_i+B_i t)dt}{(1+t^2)^i}}\). Для вычисления таких интегралов нужно будет применять рекуррентную формулу, что дело небыстрое. Но, самое главное, ещё и бессмысленное, ибо заданный интеграл решается в одну строчку:

\[ \int\sin^6{x}\cos{x} \, dx =\left[d(\sin{x})=\cos{x}dx\right] =\int\sin^6{x}\,d(\sin{x}) =\frac{\sin^7{x}}{6}+C \]

Я привёл эту задачу лишь с одной целью: показать, что универсальную тригонометрическую подстановку стоит применять лишь в тех случаях, когда других способов просто нет. Подстановка \(\displaystyle{t=\tg\frac{x}{2}}\) приведёт нас к ответу, – но чаще всего результат будет достигнут ценой громоздких и долгих преобразований.

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{\sin^7{x}}{7}+C}\).

В третьей части рассмотрим лишь одну задачу, которая несколько выбивается из общего ряда стандартных случаев применения универсальной тригонометрической подстановки.