содержащую \(\displaystyle{m}\) уравнений и \(\displaystyle{n}\) неизвестных \(\displaystyle{\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)}\). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.
Параметры \(\displaystyle{a_{ij}}\) (\(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\),\(\displaystyle{j=\overline{1,n}}\)) называют коэффициентами, а \(\displaystyle{b_i}\) (\(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\)) – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «\(\displaystyle{m\times{n}}\) система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит \(\displaystyle{m}\) уравнений и \(\displaystyle{n}\) неизвестных.
Если все свободные члены \(\displaystyle{b_i=0}\) (\(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\)), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.
Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел \(\displaystyle{\left(\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n\right)}\), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных \(\displaystyle{\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)}\), обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.
Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. \(\displaystyle{x_1=x_2=\ldots=x_n=0}\).
Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Имеем СЛАУ, содержащую \(\displaystyle{3}\) уравнения и \(\displaystyle{5}\) неизвестных: \(\displaystyle{x_1}\),\(\displaystyle{x_2}\),\(\displaystyle{x_3}\),\(\displaystyle{x_4}\),\(\displaystyle{x_5}\). Можно, сказать, что задана система \(\displaystyle{3\times 5}\) линейных уравнений.
Коэффициентами системы (2) есть числа, стоящие перед неизвестными. Например, в первом уравнении эти числа таковы: 3, -4, 1, 7, -1. Свободные члены системы представлены числами 11, -65, 0. Так как среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то СЛАУ (2) является неоднородной.
Упорядоченная совокупность \(\displaystyle{(4;-11;5;-7;1)}\) является решением данной СЛАУ. В этом несложно убедиться, если подставить \(\displaystyle{x_1=4}\),\(\displaystyle{x_2=-11}\),\(\displaystyle{x_3=5}\),\(\displaystyle{x_4=-7}\),\(\displaystyle{x_5=1}\) в уравнения заданной системы:
Система (3) является СЛАУ, содержащей \(\displaystyle{5}\) уравнений и \(\displaystyle{3}\) неизвестных: \(\displaystyle{x_1}\),\(\displaystyle{x_2}\),\(\displaystyle{x_3}\). Так как все свободные члены данной системы равны нулю, то СЛАУ (3) является однородной. Несложно проверить, что совокупность \(\displaystyle{(0;0;0)}\) является решением данной СЛАУ. Подставляя \(\displaystyle{x_1=0}\),\(\displaystyle{x_2=0}\),\(\displaystyle{x_3=0}\), например, в первое уравнение системы (3), получим верное равенство:
\[4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0-0=0\]
Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.
С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:
Матрица \(\displaystyle{A}\) называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.
Матрица \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены \(\displaystyle{b_1,b_2,\ldots,b_m}\). Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.
Матрица-столбец \(\displaystyle{B}\) называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец \(\displaystyle{X}\) – матрицей неизвестных.
Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: \(\displaystyle{A\cdot{X}=B}\).
Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков (см. задачу №2).
Задача №1
Условие
Записать СЛАУ \(\displaystyle{
\left \{ \begin{aligned}
& 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\
& 4x_1-x_3=0;\\
& 14x_2+8x_3+x_4=-11.
\end{aligned} \right.
}\) в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.
Решение
Имеем четыре неизвестных, которые в каждом уравнении следуют в таком порядке: \(\displaystyle{x_1}\),\(\displaystyle{x_2}\),\(\displaystyle{x_3}\),\(\displaystyle{x_4}\). Матрица неизвестных будет такой: \(\displaystyle{\left( \begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)}\).
Свободные члены данной системы выражены числами -5, 0, -11, посему матрица свободных членов имеет вид: \(\displaystyle{B=\left( \begin{array} {c} -5 \\ 0 \\ -11 \end{array} \right)}\).
Перейдем к составлению матрицы системы. В первую строку данной матрицы будут занесены коэффициенты первого уравнения: 2, 3, -5, 1.
Во вторую строку запишем коэффициенты второго уравнения: 4, 0, -1, 0. При этом следует учесть, что коэффициенты системы при переменных \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_4}\) во втором уравнении равны нулю (ибо эти переменные во втором уравнении отсутствуют).
В третью строку матрицы системы запишем коэффициенты третьего уравнения: 0, 14, 8, 1. Учитываем при этом равенство нулю коэффициента при переменной \(\displaystyle{x_1}\) (эта переменная отсутствует в третьем уравнении). Матрица системы будет иметь вид:
Записать СЛАУ \(\displaystyle{
\left \{\begin{aligned}
& 3y+4a=17;\\
& 2a+4y+7c=10;\\
& 8c+5y-9a=25; \\
& 5a-c=-4.
\end{aligned}\right.}\) в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.
Решение
Как видите, порядок следования неизвестных в уравнениях данной СЛАУ различен. Например, во втором уравнении порядок таков: \(\displaystyle{a}\),\(\displaystyle{y}\),\(\displaystyle{c}\), однако в третьем уравнении: \(\displaystyle{c}\),\(\displaystyle{y}\),\(\displaystyle{a}\). Перед тем, как записывать СЛАУ в матричной форме, порядок следования переменных во всех уравнениях нужно сделать одинаковым.
Упорядочить переменные в уравнениях заданной СЛАУ можно разными способами (количество способов расставить три переменные составит \(\displaystyle{3!=6}\)). Я разберу два способа упорядочивания неизвестных.
Способ №1
Введём такой порядок: \(\displaystyle{c}\),\(\displaystyle{y}\),\(\displaystyle{a}\). Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке:
Как видите, изменение порядка следования неизвестных равносильно перестановке столбцов матрицы системы. Но каким бы этот порядок расположения неизвестных ни был, он должен совпадать во всех уравнениях заданной СЛАУ.