Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи.
Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.
Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему
\[
\begin{equation}
\left \{ \begin{aligned}
& a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1;\\
& a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2;\\
& \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\
& a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\]
содержащую \(m\) уравнений и \(n\) неизвестных (\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.
Параметры \(a_{ij}\) (\(i=\overline{1,m}\), \(j=\overline{1,n}\)) называют коэффициентами, а \(b_i\) (\(i=\overline{1,m}\)) – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «\(m\times n\) система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит \(m\) уравнений и \(n\) неизвестных.
Если все свободные члены \(b_i=0\) (\(i=\overline{1,m}\)), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.
Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел (\(\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n\)), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.
Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. \(x_1=x_2=\ldots=x_n=0\).
Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.
Рассмотрим СЛАУ
\[
\begin{equation}
\left \{ \begin{aligned}
& 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\
& 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\
& 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=0. \\
\end {aligned} \right.
\end{equation}
\]
Имеем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую \(3\) уравнения и \(5\) неизвестных: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), \(x_5\). Можно, сказать, что задана система \(3\times 5\) линейных уравнений.
Коэффициентами системы (2) есть числа, стоящие перед неизвестными. Например, в первом уравнении эти числа таковы: 3, -4, 1, 7, -1. Свободные члены системы представлены числами 11, -65, 0. Так как среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то СЛАУ (2) является неоднородной.
Упорядоченная совокупность \((4;-11;5;-7;1)\) является решением данной СЛАУ. В этом несложно убедиться, если подставить \(x_1=4\), \(x_2=-11\), \(x_3=5\), \(x_4=-7\), \(x_5=1\) в уравнения заданной системы:
\[
\begin{aligned}
& 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\
& 2x_1+10x_4-3x_5=2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\
& 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot (-7)-6\cdot 1=0. \\
\end{aligned}
\]
Естественно, возникает вопрос том, является ли проверенное решение единственным. Вопрос о количестве решений СЛАУ будет затронут в соответствующей теме.
Рассмотрим СЛАУ
\[
\begin{equation}
\left \{ \begin{aligned}
& 4x_1+2x_2-x_3=0;\\
& 10x_1-x_2=0;\\
& 5x_2+4x_3=0; \\
& 3x_1-x_3=0;\\
& 14x_1+25x_2+5x_3=0.
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\]
Система (3) является СЛАУ, содержащей \(5\) уравнений и \(3\) неизвестных: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\). Так как все свободные члены данной системы равны нулю, то СЛАУ (3) является однородной. Несложно проверить, что совокупность \((0;0;0)\) является решением данной СЛАУ. Подставляя \(x_1=0\), \(x_2=0\), \(x_3=0\), например, в первое уравнение системы (3), получим верное равенство:
\[4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0-0=0.\]
Подстановка в иные уравнения делается аналогично.
Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.
С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:
\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}\right);\;
\widetilde{A}=\left(\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right);\;
X=\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\ldots\\
x_n
\end{array}\right);\;
B=\left(\begin{array}{c}
b_1\\
b_2\\
\ldots\\
b_m
\end{array}\right).
\]
Матрица \(A\) называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.
Матрица \(\widetilde{A}\) называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены \(b_1,b_2,\ldots,b_m\). Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.
Матрица-столбец \(B\) называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец \(X\) – матрицей неизвестных.
Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: \(A\cdot X=B\).
Примечание
Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков (см. задачу №4).
Условие
Записать СЛАУ \(
\left \{ \begin{aligned}
& 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\
& 4x_1-x_3=0;\\
& 14x_2+8x_3+x_4=-11.
\end{aligned} \right.
\) в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.
Решение
Имеем четыре неизвестных, которые в каждом уравнении следуют в таком порядке: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\). Матрица неизвестных будет такой: \(\left( \begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)\).
Свободные члены данной системы выражены числами -5, 0, -11, посему матрица свободных членов имеет вид: \(B=\left( \begin{array} {c} -5 \\ 0 \\ -11 \end{array} \right)\).
Перейдем к составлению матрицы системы. В первую строку данной матрицы будут занесены коэффициенты первого уравнения: 2, 3, -5, 1.
Во вторую строку запишем коэффициенты второго уравнения: 4, 0, -1, 0. При этом следует учесть, что коэффициенты системы при переменных \(x_2\) и \(x_4\) во втором уравнении равны нулю (ибо эти переменные во втором уравнении отсутствуют).
В третью строку матрицы системы запишем коэффициенты третьего уравнения: 0, 14, 8, 1. Учитываем при этом равенство нулю коэффициента при переменной \(x_1\) (эта переменная отсутствует в третьем уравнении). Матрица системы будет иметь вид:
\[
A=\left( \begin{array} {cccc} 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end{array} \right)
\]
Чтобы была нагляднее взаимосвязь между матрицей системы и самой системой, я запишу рядом заданную СЛАУ и ее матрицу системы:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \normblue{2}\cdot{x_1}+\normblue{3}\cdot{x_2}+\normblue{(-5)}\cdot{x_3}+\normblue{1}\cdot{x_4}=-5;\\
& \normgreen{4}\cdot{x_1}+\normgreen{0}\cdot{x_2}+\normgreen{(-1)}\cdot{x_3}+\normgreen{0}\cdot{x_4}=0;\\
& \normpurple{0}\cdot{x_1}+\normpurple{14}\cdot{x_2}+\normpurple{8}\cdot{x_3}+\normpurple{1}\cdot{x_4}=-11.
\end{aligned} \right.\;\;
A=\left(\begin{array}{cccc}
\normblue{2} & \normblue{3} & \normblue{-5} & \normblue{1}\\
\normgreen{4} & \normgreen{0} & \normgreen{-1} & \normgreen{0} \\
\normpurple{0} & \normpurple{14} & \normpurple{8} & \normpurple{1}\end{array} \right)
\]
В матричной форме заданная СЛАУ будет иметь вид \(A\cdot X=B\). В развернутой записи:
\[
\left( \begin{array} {cccc} 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end{array} \right) \cdot
\left( \begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) =
\left( \begin{array} {c} -5 \\ 0 \\ -11 \end{array} \right)
\]
Запишем расширенную матрицу системы. Для этого к матрице системы \( A=\left( \begin{array} {cccc} 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end{array} \right) \) допишем столбец свободных членов (т.е. -5, 0, -11). Получим: \(\widetilde{A}=\left( \begin{array} {cccc|c} 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end{array} \right) \).
Условие
Записать СЛАУ \(
\left \{\begin{aligned}
& 3y+4a=17;\\
& 2a+4y+7c=10;\\
& 8c+5y-9a=25; \\
& 5a-c=-4.
\end{aligned}\right.\) в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.
Решение
Как видите, порядок следования неизвестных в уравнениях данной СЛАУ различен. Например, во втором уравнении порядок таков: \(a\), \(y\), \(c\), однако в третьем уравнении: \(c\), \(y\), \(a\). Перед тем, как записывать СЛАУ в матричной форме, порядок следования переменных во всех уравнениях нужно сделать одинаковым.
Упорядочить переменные в уравнениях заданной СЛАУ можно разными способами (количество способов расставить три переменные составит \(3!=6\)). Я разберу два способа упорядочивания неизвестных.
Способ №1
Введём такой порядок: \(c\), \(y\), \(a\). Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке:
\(\left \{\begin{aligned}
& 3y+4a=17;\\
& 7c+4y+2a=10;\\
& 8c+5y-9a=25; \\
& -c+5a=-4.
\end{aligned}\right.\)
Для наглядности я запишу СЛАУ в таком виде: \(\left \{\begin{aligned}
& 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\
& 7\cdot c+4\cdot y+2\cdot a=10;\\
& 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\
& -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4.
\end{aligned}\right.\)
Матрица системы имеет вид: \( A=\left( \begin{array} {ccc} 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end{array} \right) \). Матрица свободных членов: \(B=\left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right)\). При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: \(X=\left( \begin{array} {c} c \\ y \\ a \end{array} \right)\). Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: \(A\cdot X=B\). В развёрнутом виде:
\[
\left( \begin{array} {ccc} 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end{array} \right) \cdot
\left( \begin{array} {c} c \\ y \\ a \end{array} \right) =
\left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right)
\]
Расширенная матрица системы такова: \(\left( \begin{array} {ccc|c} 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end{array} \right) \).
Способ №2
Введём такой порядок: \(a\), \(c\), \(y\). Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке:
\(\left \{ \begin{aligned}
& 4a+3y=17;\\
& 2a+7c+4y=10;\\
& -9a+8c+5y=25; \\
& 5a-c=-4.
\end{aligned}\right.\)
Для наглядности я запишу СЛАУ в таком виде: \(\left \{ \begin{aligned}
& 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\
& 2\cdot a+7\cdot c+4\cdot y=10;\\
& -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\
& 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4.
\end{aligned}\right.\)
Матрица системы имеет вид: \( A=\left( \begin{array} {ccc} 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end{array} \right)\). Матрица свободных членов: \(B=\left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right)\). При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: \(X=\left( \begin{array} {c} a \\ c \\ y \end{array} \right)\). Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: \(A\cdot X=B\). В развёрнутом виде:
\[
\left( \begin{array} {ccc} 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end{array} \right) \cdot
\left( \begin{array} {c} a \\ c \\ y \end{array} \right) =
\left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right)
\]
Расширенная матрица системы такова: \(\left( \begin{array} {ccc|c} 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & -1 & 0 & -4 \end{array} \right) \).
Как видите, изменение порядка следования неизвестных равносильно перестановке столбцов матрицы системы. Но каким бы этот порядок расположения неизвестных ни был, он должен совпадать во всех уравнениях заданной СЛАУ.