Решение
Нам известны первые шесть членов ряда. Запишем их:
\[u_1=5;\; u_2=7;\; u_3=12;\; u_4=14;\; u_5=19; \; u_6=21.\]
В этой последовательности можно выделить члены с чётными и нечётными номерами. Члены с нечётными номерами таковы:
\[u_1=5;\; u_3=12;\; u_5=19.\]
Числа 5, 12, 19 образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен \(\displaystyle{a_1=5}\), а разность \(\displaystyle{d=7}\). Когда станем применять формулу (1), то для нумерации членов используем букву \(\displaystyle{k}\), а не \(\displaystyle{n}\). Дело в том, что в предыдущих примерах мы не выделяли чётные или нечётные номера, поэтому там новая буква была не нужна. Здесь же, дабы избежать путаницы, введём новую букву:
\[
a_k
=5+7(k-1)
=7k-2
\]
Итак, мы можем записать следующее:
\[
u_1=a_1;\; u_3=a_2;\; u_5=a_3.
\]
Как связаны между собой номера членов \(\displaystyle{u_n}\) и \(\displaystyle{a_k}\)? Они связаны простым соотношением: \(\displaystyle{n=2k-1}\). Например, если мы хотим записать пятый член ряда, у которого \(\displaystyle{n=5}\), мы должны приравнять его к члену прогрессии, номер которого \(\displaystyle{5=2k-1}\), \(\displaystyle{k=3}\). Иными словами, \(\displaystyle{u_5=a_3}\).
Члены ряда с чётными номерами, т.е. \(\displaystyle{u_2=7}\), \(\displaystyle{u_4=14}\), \(\displaystyle{u_6=21}\), образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен \(\displaystyle{b_1=7}\), знаменатель \(\displaystyle{d=7}\). Общий член этой прогрессии:
\[
b_k
=7+7(k-1)
=7k
\]
Как связаны между собой номера членов \(\displaystyle{u_n}\) и \(\displaystyle{b_k}\)? Они связаны соотношением: \(\displaystyle{n=2k}\). Например, если мы хотим записать четвёртый член ряда, у которого \(\displaystyle{n=4}\), мы должны приравнять его к члену прогрессии, номер которого \(\displaystyle{4=2k}\), \(\displaystyle{k=2}\). Иными словами, \(\displaystyle{u_4=b_2}\).
Теперь мы можем записать общее соотношение:
\[
u_n=\left\{\begin{aligned}
& 7k-2,\; n=2k-1;\\
& 7k,\; n=2k.
\end{aligned}\right.
\]
Запишем найденное выражение в иной форме. Если \(\displaystyle{n=2k-1}\), то \(\displaystyle{u_n=7k-2}\). Из выражения \(\displaystyle{n=2k-1}\) имеем: \(\displaystyle{k=\frac{n+1}{2}}\). Тогда
\[
u_n
=7\cdot\frac{n+1}{2}-2
=\frac{7n+3}{2}
\]
Если \(\displaystyle{n=2k}\), то \(\displaystyle{k=\frac{n}{2}}\) и \(\displaystyle{u_n=7k=\frac{7n}{2}}\). Итак, полученное выше выражение общего члена можно записать так:
\[
u_n=\left\{\begin{aligned}
& \frac{7n+3}{2},\; n=2k-1;\\
& \frac{7n}{2},\; n=2k.
\end{aligned}\right.
\]
В принципе, это уже есть готовый ответ. Однако запишем выражение для общего члена в одну строку. Нам нужно придумать некий "переключатель", который бы для членов с чётными номерами позволил выражению общего члена равняться \(\displaystyle{\frac{7n}{2}}\), а для членов с нечётными номерами выражение общего члена должно быть равным \(\displaystyle{\frac{7n+3}{2}}\). В качестве подобных "переключателей" послужат выражения \(\displaystyle{\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}}\) и \(\displaystyle{\frac{1+(-1)^n}{2}}\):
\[
u_n
=\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}\cdot\frac{7n+3}{2}+\frac{1+(-1)^n}{2}\cdot\frac{7n}{2}
\]
Как работают эти "переключатели"? Если \(\displaystyle{n}\) – чётное число, то \(\displaystyle{\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}=0}\), а \(\displaystyle{\frac{1+(-1)^n}{2}=1}\). В этом случае \(\displaystyle{u_n=\frac{7n}{2}}\). Если же число \(\displaystyle{n}\) нечётное, то \(\displaystyle{\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}=1}\), а \(\displaystyle{\frac{1+(-1)^n}{2}=0}\), поэтому \(\displaystyle{u_n=\frac{7n+3}{2}}\). Упростим полученное выражение:
\[
u_n=\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}\cdot\frac{7n+3}{2}+\frac{1+(-1)^n}{2}\cdot\frac{7n}{2}=\\
=\frac{1}{4}\left(7n+3+(-1)^{n+1}\cdot 7n+3\cdot (-1)^{n+1}+7n+7n\cdot (-1)^n\right)=\\
=\frac{1}{4}\left(14n+3-(-1)^{n}\cdot 7n+3\cdot (-1)^{n+1}+7n\cdot (-1)^n\right)=\\
=\frac{1}{4}\left(14n+3+3\cdot (-1)^{n+1}\right)=\frac{14n+3+3\cdot (-1)^{n+1}}{4}.
\]
Итак, \(\displaystyle{u_n=\frac{14n+3+3\cdot (-1)^{n+1}}{4}}\). Проверка осуществляется так же, как и в задачах предыдущих частей.