Приближённые вычисления определённых интегралов с помощью рядов. Вторая часть.

Продолжим тему вычисления определённых интегралов с помощью функциональных рядов, начатую в первой части. Как и в первой части нам понадобится документ с рядами Маклорена. Схема решения остаётся неизменной: разложить подынтегральную функцию в ряд (чаще всего – ряд Маклорена) и проинтегрировать почленно.

Задача №1

Условие

Вычислить интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{8+x^3}}dx}\) с точностью до \(\displaystyle{\varepsilon=0{,}001}\).

Решение

Чтобы вычислить интеграл с точностью \(\displaystyle{\varepsilon}\), как и ранее, будем использовать ряды Маклорена. С целью разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена применим формулу разложения функции \(\displaystyle{(1+x)^\alpha}\). Для начала подгоним подынтегральную функцию под вид \(\displaystyle{(1+x)^\alpha}\):

\[\frac{1}{\sqrt[3]{8+x^3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8\left(1+\frac{x^3}{8}\right)}}=\frac{1}{2\sqrt[3]{1+\frac{x^3}{8}}}=\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{x^3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}\]

Разложение для \(\displaystyle{(1+x)^\alpha}\) верно при условии \(\displaystyle{-1 \lt x \lt 1}\). Т.е. чтобы применить формулу разложения для \(\displaystyle{(1+x)^\alpha}\) с целью разложить выражение \(\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{x^3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}}\), потребуется выполнение условия \(\displaystyle{-1 \lt \frac{x^3}{8} \lt 1}\), \(\displaystyle{-2 \lt x \lt 2}\). Отрезок интегрирования, т.е. \(\displaystyle{[0;1]}\), лежит внутри интервала \(\displaystyle{(-2;2)}\), поэтому можем применять почленное интегрирование. В задачах первой части данное замечание не требовалось, так как использованные там разложения были верны при \(\displaystyle{x\in{R}}\).

Нам надо получить разложение подынтегральной функции \(\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{x^3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}}\) в ряд Маклорена. Запишем для начала разложение функции \(\displaystyle{(1+x)^{-1/3}}\) в ряд Маклорена. Здесь сокращённый вариант записи будет несколько неудобен, поэтому запишем развёрнуто:

\[(1+x)^{-1/3}=1+\frac{-\frac{1}{3}}{1!}x+\frac{-\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}-1\right)}{2!}x^2+\ldots= 1-\frac{1}{3}x+\frac{2}{9}x^2-\ldots \]

Подставим вместо \(\displaystyle{x}\) дробь \(\displaystyle{\frac{x^3}{8}}\):

\[ \left(1+\frac{x^3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}=1-\frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{8}+\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{x^3}{8}\right)^2-\ldots= 1-\frac{x^3}{24}+\frac{x^6}{288}-\ldots \]

Домножая на \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\) получим разложение подынтегральной функции:

\[ \frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{x^3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}-\frac{x^3}{48}+\frac{x^6}{576}-\ldots \]

Интегрируем полученный ряд на отрезке \(\displaystyle{[0;1]}\):

\[\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{8+x^3}}dx=\int\limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}-\frac{x^3}{48}+\frac{x^6}{576}-\ldots\right)dx=\\ =\left.\left(\frac{x}{2}-\frac{x^4}{192}+\frac{x^7}{4032}-\ldots\right)\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{192}+\frac{1}{4032}-\ldots\]

Так как \(\displaystyle{\frac{1}{4032}\lt\varepsilon}\), то для вычисления интеграла с точностью \(\displaystyle{\varepsilon}\) достаточно первых двух членов полученного числового ряда:

\[\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{8+x^3}}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{192}=\frac{95}{192}\approx{0{,}495}.\]

Ответ:

0,495.

Задача №2

Условие

Вычислить интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{1/8}\sin\sqrt[3]{x}dx}\) с точностью до \(\displaystyle{\varepsilon=0{,}001}\).

Решение

Иногда перед тем, как разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена, удобно осуществить предварительную замену переменной. Чтобы избавиться от корня сделаем замену \(\displaystyle{t=\sqrt[3]{x}}\). При этом получим:

\[ \int\limits_{0}^{1/8}\sin\sqrt[3]{x}dx=\left|\begin{aligned}& t=\sqrt[3]{x};\;x=t^3;\;dx=3t^2dt.\\ &\begin{array}{c|c|c}x & 0 & 1/8\\\hline{t} & 0 & 1/2\end{array}\end{aligned}\right|=\int\limits_{0}^{1/2}3t^2\sin{t}dt\]

Дальнейшяя схема решения ранее разобрана подробно, поэтому я лишь кратко запишу основные этапы. Так как \(\displaystyle{\sin{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x^{2n+1}}}{(2n+1)!}}\), то:

\[ 3t^2\sin{t}=3t^2\cdot\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{t^{2n+1}}}{(2n+1)!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3\cdot(-1)^n\cdot{t^{2n+3}}}{(2n+1)!} \]

Подставляем полученное разложение в интеграл:

\[ \int\limits_{0}^{1/2}3t^2\sin{t}dt=\int\limits_{0}^{1/2}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3\cdot(-1)^n\cdot{t^{2n+3}}}{(2n+1)!}dt= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3\cdot(-1)^n}{(2n+1)!}\int\limits_{0}^{1/2}t^{2n+3}dt=\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3\cdot(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot\left.\frac{t^{2n+4}}{2n+4}\right|_{0}^{1/2}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{3\cdot(-1)^n}{(2n+1)!\cdot(2n+4)\cdot{2^{2n+4}}}=\frac{3}{64}-\frac{1}{768}+\frac{1}{81920}-\ldots \]

Так как \(\displaystyle{\frac{1}{81920}\lt\varepsilon}\), то для требуемой точности достаточно ограничиться первыми двумя членами ряда:

\[\int\limits_{0}^{1/2}3t^2\sin{t}dt\approx\frac{3}{64}-\frac{1}{768}\approx{0{,}0469}-0{,}0013\approx{0{,}046}.\]

Замечания по поводу погрешности округления, высказанные при решении задачи №1 первой части остаются в силе. Погрешность округления двух слагаемых до четвертого знака после запятой не превысит \(\displaystyle{0{,}0001+0{,}0001=0{,}0002}\). Суммарная погрешность равенства \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{1/2}3t^2\sin{t}dt\approx{0{,}046}}\) не превысит \(\displaystyle{\frac{1}{81920}+0{,}0002 \lt 0{,}001}\), т.е. не превысит \(\displaystyle{\varepsilon=0{,}001}\).

Ответ:

0,046.

Задача №3

Условие

Вычислить интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{10}^{100}\frac{\ln(1+x)}{x}dx}\) с точностью до \(\displaystyle{\varepsilon=0{,}001}\).

Решение

В рядах Маклорена нетрудно найти разложение для функции \(\displaystyle{\ln(1+x)}\):

\[\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{x^n}}{n}\]

Однако стоит учесть, что записанное разложение имеет место при \(\displaystyle{x\in(-1;1]}\), а для нашего интеграла отрезок интегрирования таков: \(\displaystyle{[10;100]}\). Поэтому непосредственное применение записанной выше формулы невозможно. Осуществим замену переменной:

\[ \int\limits_{10}^{100}\frac{\ln(1+x)}{x}dx =\left[x=\frac{1}{t};\;dx=-\frac{1}{t^2}dt.\right] =\int\limits_{\frac{1}{10}}^{\frac{1}{100}}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)}{\frac{1}{t}}dt=\\ =\int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)dt}{t} =\int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\frac{\ln(1+t)-\ln{t}}{t}dt =\int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\frac{\ln(1+t)dt}{t} - \int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\frac{\ln{t}\,dt}{t} \]

Второй интеграл в полученной разности найти легко:

\[ \int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\frac{\ln{t}\,dt}{t} =\int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\ln{t}\,d(\ln{t}) =-\frac{3\ln^2{10}}{2} \]

Для нахождения первого интеграла сперва разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

\[ \frac{\ln(1+t)}{t} =\frac{1}{t}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{t^n}}{n} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{t^{n-1}}}{n} \]

Подставляя полученное разложение в интеграл, получим:

\[ \int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\frac{\ln(1+t)dt}{t} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}t^{n-1}dt\right) =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{10^n n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{10^n}\right) \right) \]

Так как при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\) имеем \(\displaystyle{1-\frac{1}{10^n}>0}\), то полученный ряд является знакочередующимся. Вернёмся к исходному интегралу:

\[ \int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\frac{\ln(1+t)dt}{t} - \int\limits_{\frac{1}{100}}^{\frac{1}{10}}\frac{\ln{t}\,dt}{t} =\frac{3\ln^2{10}}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{10^n n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{10^n}\right) \right) = \\ = \frac{3\ln^2{10}}{2} + \frac{9}{100} - \frac{99}{40000} + \frac{111}{1000000}-\ldots \approx{\frac{3\ln^2{10}}{2} + \frac{9}{100} - \frac{99}{40000}} \approx{8{,}040}. \]

Ответ:

8,040.