Сокращённая запись сумм: краткое введение

Использование знака \(\displaystyle{\Sigma}\) для записи сумм.

В математике нередко приходится иметь дело с суммами, состоящими из слагаемых, которые подчинены некоей закономерности, т.е. формируются по единому для всех слагаемых правилу или, говоря несколько неформально, по одному "шаблону". Такие суммы встречаются столь часто, что для них имеется особая запись, – с использованием греческой буквы \(\displaystyle{\Sigma}\) ("сигма"). Эта запись была предложена в 1820 году Жозефом Фурье. Подробнейшее изложение данной нотации, как и её свойств, имеется в прекрасной книге Дональда Кнута, Роналда Грэхема и Орена Паташника "Конкретная математика. Основание информатики", а также в не менее великолепном первом томе Дональда Кнута "Искусство программирования". Здесь же мы обсудим лишь некоторые аспекты данной темы, которых, впрочем, хватит для стандартного курса высшей математики или математического анализа.

Допустим, мы хотим записать сумму квадратов целых чисел от -1 до 3. Конечно же, эту сумму можно написать без всяких сокращений, вот так:

Такая запись вполне хороша, ибо количество слагаемых невелико, однако же если число слагаемых станет существенно бо́льшим, то в полную силу проявится существеннейший недостаток развёрнутой записи – громоздкость.

Конечно, можно сократить подобные выражения, используя многоточие, которое заменяет словосочетание "и так далее". Например, вот так можно записать сумму всех натуральных чисел от 9 до 100:

Подразумевается, что скрытые многоточием члены суммы должны быть ясны из контекста, т.е. читатель сумеет догадаться по первым двум слагаемым (9 и 10), что следующим слагаемым будет 11, за ним 12 и так далее – до 100.

Запись с многоточием уже покороче, однако всё же несколько не то, что нужно в общем случае ввиду могущих возникнуть неоднозначных трактовок. Например, рассмотрим сумму такого вида:

Что означает эта запись? Сумму всех нечётных чисел от 3 до 19? Или сумму всех простых чисел от 3 до 19? Разумеется, что авторы математической литературы избегают подобных неопределённостей, предваряя такие сокращённые записи дополнительными пояснениями, однако же эта запись всё же не столь удобна, как хотелось бы.

Вернёмся к сумме квадратов целых чисел от -1 до 3. Каждое слагаемое в этой сумме имеет вид \(\displaystyle{i^2}\), где параметр \(\displaystyle{i}\) принимает все целочисленные значения от -1 до 3. Для записи такой суммы можно воспользоваться структурой \(\displaystyle{\sum\limits_{i=-1}^{3}i^2}\). Чуть позже мы дадим более общее определение, а пока что немного обсудим эту структуру.

Чтобы получить слагаемые суммы, записанной в виде \(\displaystyle{\sum\limits_{i=-1}^{3}i^2}\), нужно подставить в выражение \(\displaystyle{i^2}\) все целые числа от -1 до 3. Если \(\displaystyle{i=-1}\), то \(\displaystyle{i^2=(-1)^2}\) – это первое слагаемое. Далее подставляем \(\displaystyle{i=0}\), получив второе слагаемое, т.е. \(\displaystyle{i^2=0^2}\). Для записи третьего слагаемого подставим следующее значение \(\displaystyle{i}\), т.е. \(\displaystyle{i=1}\), получив при этом \(\displaystyle{i^2=1^2}\). И, наконец, для чтобы получить четвёртое и пятое слагаемое, потребуется в выражение \(\displaystyle{i^2}\) подставить соответственно \(\displaystyle{i=2}\) и \(\displaystyle{i=3}\). Результатом проделанной работы станет такое равенство:

Обратите внимание, что вместо буквы \(\displaystyle{i}\) мы могли бы использовать любое иное обозначение: \(\displaystyle{k}\), \(\displaystyle{j}\) и так далее:

Конечно, такую сумму легко вычислить, банально сложив полученные числа, однако для нас в рамках этой темы представляет интерес именно запись суммы, а не её значение.

В данной теме мы будем рассматривать лишь конечные суммы, т.е. суммы, содержащие конечное количество слагаемых (бесконечные суммы тоже существуют, но изучаются в специальных разделах математического анализа). А теперь перейдём к определению.

Параметр \(\displaystyle{k}\) именуется индексом суммирования (или индексной переменной) и, как было указано выше, принимает все целочисленные значения, удовлетворяющие неравенству \(\displaystyle{m\le{k}\le{n}}\). Выражение \(\displaystyle{f(k)}\) называется общим членом суммы, а элементы суммы, т.е. слагаемые \(\displaystyle{f(m)}\), \(\displaystyle{f(m+1)}\) и т.д. – членами суммы. Целые числа \(\displaystyle{m}\) и \(\displaystyle{n}\) называют пределами суммирования или границами суммирования. Зачастую уточняют, что \(\displaystyle{m}\) – нижний предел (нижняя граница) суммирования, а \(\displaystyle{n}\) – верхний предел (верхняя граница).

Немного оcтановимся на случае \(\displaystyle{n\lt{m}}\). Для наглядности рассмотрим конкретную сумму \(\displaystyle{\sum\limits_{k=5}^{-1}k^3}\). Запись \(\displaystyle{\sum\limits_{k=5}^{-1}k^3}\) подразумевает, что в качестве значений индекса суммирования \(\displaystyle{k}\) мы должны взять все целые числа, удовлетворяющие неравенству \(\displaystyle{5\le{k}\le{-1}}\). Однако таких чисел нет, посему вполне логично принять \(\displaystyle{\sum\limits_{k=5}^{-1}k^3 = 0}\).

Добавлю, что \(\displaystyle{f(k)}\), то бишь общий член суммы, вовсе не обязан принимать лишь числовые значения. Например, полагая \(\displaystyle{f(k) = kx^{3k+1}}\), получим:

Кроме того, выражение \(\displaystyle{f(k)}\) вообще может не содержать параметр \(\displaystyle{k}\) в явном виде. В этом случае получим сумму вида \(\displaystyle{\sum\limits_{k=m}^{n}C}\), где выражение \(\displaystyle{C}\) не содержит \(\displaystyle{k}\). Такая сумма (при \(\displaystyle{m\gt{n}}\)) будет состоять из \(\displaystyle{m-n+1}\) одинаковых слагаемых, каждое из которых равно \(\displaystyle{C}\), т.е. сумма будет равна \(\displaystyle{(m-n+1)C}\). Например,

Если речь идёт о сумме именно чисел (например, элементов матрицы или членов некоей числовой последовательности), то вместо \(\displaystyle{\sum\limits_{k=m}^{n}f(k)}\) часто пишут \(\displaystyle{\sum\limits_{k=m}^{n}a_k}\), т.е.

Например, если \(\displaystyle{a_k = 2k-1}\), то

Мы получили сумму пяти первых нечётных натуральных чисел.

Математики нередко модифицируют указанное выше обозначение для суммы, однако такие модификации интуитивно понятны, причём обычно они поясняются перед использованием. Например, запись \(\displaystyle{\sum\limits_{x\in{S}}f(x)}\) означает сумму значений функции \(\displaystyle{f}\), рассчитанных для всех элементов множества \(\displaystyle{S}\). Для наглядности рассмотрим множество \(\displaystyle{S=\{-1,\, 2, \, 10 \}}\) и \(\displaystyle{f(x)=\sin(2x+3)}\):

Часто используется запись вида \(\displaystyle{\sum\limits_{P(k)}a_k}\), где \(\displaystyle{P(k)}\) – некое утверждение (предикат) относительно индекса \(\displaystyle{k}\). При этом суммирование ведётся по всем тем целочисленным значениям \(\displaystyle{k}\), для которых условие \(\displaystyle{P(k)}\) является истинным. Например, запись \(\displaystyle{\sum\limits_{\begin{array}{c}4\lt{k}\le{17}\\k-\text{простое число} \end{array}}\frac{1}{k^2}}\) означает сумму всех дробей вида \(\displaystyle{\frac{1}{k^2}}\), где \(\displaystyle{k}\) является простым числом, заключённым в промежутке \(\displaystyle{(4;17]}\):

Бывает, что знак суммы вообще используют без указания пределов (границ) суммирования, – если эти пределы ясны из контекста. Например, запись \(\displaystyle{\sum\limits_{k}a_k}\) означает, что суммирование ведётся по тому диапазону значений \(\displaystyle{k}\), который предполагается очевидным из ранее изложенного материала книги.

Некоторые свойства сумм, записанных с помощью \(\displaystyle{\Sigma}\).

Как уже отмечалось ранее, сумма не зависит от того, какой именно буквой обозначить индекс суммирования, т.е., например,

Далее, константу можно выносить за знак суммы:

По сути, это свойство равносильно вынесению общего множителя за скобки. Например,

Операция суммирования обладает свойством линейности, т.е. для любых чисел \(\displaystyle{\alpha}\) и \(\displaystyle{\beta}\) имеем

Записанные выше свойства довольно банальны. Гораздо интереснее, с моей точки зрения, свойство, позволяющее изменять пределы суммирования:

Попросту говоря, формула (1) означает следующее: если требуется прибавить число \(\displaystyle{p}\) к нижнему и верхнему пределам суммирования, то в общий член суммы нужно вместо \(\displaystyle{k}\) подставить \(\displaystyle{k-p}\).

Это свойство довольно полезно при преобразованиях сумм. Рассмотрим пример, в котором применим данное свойство для изменения пределов суммирования.

Если нам требуется изменить не пределы суммирования, а общий член суммы, то формула (1) также может быть полезна. Её можно интерпретировать и так: если вместо \(\displaystyle{k}\) в общий член суммы подставить \(\displaystyle{k-p}\), то к пределам суммирования нужно прибавить число \(\displaystyle{p}\).

Можно сформулировать и следствие из формулы (1), которое позволит вместо \(\displaystyle{k-p}\) в общем члене суммы сразу подставлять \(\displaystyle{k}\):

Говоря неформально, формула (2) означает следующее: если общий член суммы имеет вид \(\displaystyle{f(k-p)}\), то вместо \(\displaystyle{k-p}\) можно подставить \(\displaystyle{k}\), однако при этом из нижнего и верхнего пределов суммирования нужно вычесть \(\displaystyle{p}\). Рассмотрим пример на применение формул (1) и (2).

Бывает, что сумму приходится "расширять", увеличивая область изменения индекса, или же наоборот – "сужать" сумму, забирая некоторые члены. Для примера рассмотрим сумму \(\displaystyle{\sum\limits_{k=4}^{9}\ln(3k+1)}\) и на её примере проиллюстрируем вышесказанное.

Данная сумма состоит из 6 элементов. Сузим диапазон значений \(\displaystyle{k}\), сделав его таким: \(\displaystyle{7\le{k}\le{9}}\). Для этого уберём из \(\displaystyle{\Sigma}\) те члены, для которых \(\displaystyle{k=4}\), \(\displaystyle{k=5}\) и \(\displaystyle{k=6}\):

А теперь расширим диапазон значений \(\displaystyle{k}\), сделав его таким: \(\displaystyle{4\le{k}\le{11}}\). Для этого нам потребуются внести в \(\displaystyle{\Sigma}\) те члены, у которых \(\displaystyle{k=10}\) и \(\displaystyle{k=11}\). Не забываем, что если мы прибавляем некие элементы, то тут же должны их и вычесть:

Рассмотрим ещё одну сумму: \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{x^{2k}}{3k+1}}\), предполагая, что \(\displaystyle{n\ge{3}}\), т.е. сумма содержит не менее трёх слагаемых. Заберём последние два слагаемых, т.е. слагаемые, для которых \(\displaystyle{k=n-1}\) и \(\displaystyle{k=n}\). Для индекса оставшейся суммы получим \(\displaystyle{1\le{k}\le{n-2}}\):

А теперь "расширим" эту сумму, внеся в неё ещё один элемент, для которого \(\displaystyle{k=n+1}\):

Далее рассмотрим ещё одно полезное свойство. Пусть общий член ряда можно представить в виде разности \(\displaystyle{f(k+1)-f(k)}\), тогда получим:

Доказательство этой формулы я скрыл под примечание. Если удастся представить общий член суммы в виде указанной разности, то сумму можно существенно упростить. Далее мы рассмотрим задачу, в которой разберём пример такого упрощения.

В решебнике есть задачи, в которых используются упомянутые выше формулы. Например, 1891, 1895, 1897, 2452, 2453.

Двойные суммы. Некоторые свойства двойных сумм.

Бывает, что суммировать приходится не по одному индексу, а по двум или даже большему их количеству. Такие суммы называют кратными. Мы обсудим частный случай – двойную сумму, которая имеет вид \(\displaystyle{\sum\limits_{i=m}^{n}\sum\limits_{j=k}^{p}f(i,j)}\), где \(\displaystyle{f(i,j)}\) – некое выражение, зависящее от индексов \(\displaystyle{i}\) и \(\displaystyle{j}\). Здесь предполагается, что каждый из индексов независимо от другого принимает свои значения: \(\displaystyle{i}\) изменяется от \(\displaystyle{m}\) до \(\displaystyle{n}\), а \(\displaystyle{j}\) – от \(\displaystyle{k}\) до \(\displaystyle{p}\). Мы можем записать эту сумму и с помощью одного знака \(\displaystyle{\Sigma}\), вот так: \(\displaystyle{\sum\limits_{\begin{array}{c}m\le{i}\le{n}\\k\le{j}\le{p}\end{array}}f(i,j)}\). А если индексы \(\displaystyle{i}\) и \(\displaystyle{j}\) изменяются в одном диапазоне (например, от \(\displaystyle{m}\) до \(\displaystyle{n}\)), то эту запись можно сделать ещё короче: \(\displaystyle{\sum\limits_{m\le{i,j}\le{n}}f(i,j)}\).

По сути, запись \(\displaystyle{\sum\limits_{i=m}^{n}\sum\limits_{j=k}^{p}f(i,j)}\) есть сокращение записи \(\displaystyle{\sum\limits_{i=m}^{n}\left(\sum\limits_{j=k}^{p}f(i,j)\right)}\). Вместо \(\displaystyle{f(i,j)}\) можно писать \(\displaystyle{a_{ij}}\), хотя такое обозначение может приводить к некоторому недопониманию. Например, как трактовать запись \(\displaystyle{a_{214}}\)? Как член суммы, у которого \(\displaystyle{i=2}\) и \(\displaystyle{j=14}\) или же как член суммы, для которого \(\displaystyle{i=21}\) и \(\displaystyle{j=4}\)? Дабы не было таких коллизий, можно разделять индексы запятой: \(\displaystyle{a_{i,j}}\).

Для наглядности раскроем сумму \(\displaystyle{\sum\limits_{i=2}^{4}\sum\limits_{j=3}^{6}a_{i,j}}\). Сперва раскроем внутреннюю сумму, проведя сумирование по \(\displaystyle{j}\), а затем внешнюю, осуществив суммирование по \(\displaystyle{i}\):

Обратите внимание, что индексы \(\displaystyle{i}\) и \(\displaystyle{j}\) изменяются независимо друг от друга, "пробегая" все доступные им диапазоны значений: для \(\displaystyle{i}\) от 2 до 4, а для \(\displaystyle{j}\) от 3 до 6. Естественным образом возникает вопрос – а что будет, если при таких условиях поменять порядок суммирования? Мы исследуем этот вопрос, однако сперва советую глянуть небольшое примечание.

Вернёмся к сумме \(\displaystyle{\sum\limits_{i=2}^{4}\sum\limits_{j=3}^{6}a_{i,j}}\) и вновь раскроем её, только для наглядности запишем результат в три строки:

Теперь рассмотрим "столбцы" полученной суммы. Для наглядности я выделил их разными цветами.

Складываем полученные суммы:

Мы доказали, что \(\displaystyle{\sum\limits_{i=2}^{4}\sum\limits_{j=3}^{6}a_{i,j} = \sum\limits_{j=3}^{6}\sum\limits_{i=2}^{4}a_{i,j}}\). Этот результат можно и обобщить:

Доказательство формулы (4) в общем виде полностью аналогично рассмотренному выше частному случаю, посему особого интереса не представляет. Если общий член суммы представляет собой произведение вида \(\displaystyle{a_i b_j}\), то для таких сумм тоже есть интересное свойство, которое мы рассмотрим на конкретном примере:

В общем случае, который доказывается совершенно аналогично, имеем

Предыдущие два свойства были сформулированы нами для тех случаев, когда диапазоны значений индексов \(\displaystyle{i}\) и \(\displaystyle{j}\) не зависят друг от друга. Однако бывает и так, что диапазон значений индекса внутренней суммы зависит от значений индексной переменной внешней суммы:

К слову, рассмотренную сумму можно было бы записать и в иной форме: \(\displaystyle{\sum\limits_{2\le{i}\lt{j}\le{4}}a_{i,j}}\). В подобных случаях тоже можно изменить порядок суммирования, однако сделать это несколько сложнее. Например,

В решебнике имеются примеры задач на вычисление двойных сумм: 1902, 1903, 1904, 1905.