Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Первая часть.

Материал, изложенный здесь, опирается на сведения, представленные в теме "Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на простейшие (элементарные) дроби".

Напомню, что простейшими (элементарными) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

\(\displaystyle{\frac{A}{x-a}}\);
\(\displaystyle{\frac{A}{(x-a)^n}}\) (\(\displaystyle{n=2,3,4, \ldots}\));
\(\displaystyle{\frac{Mx+N}{x^2+px+q}}\) (\(\displaystyle{p^2-4q \lt 0}\));
\(\displaystyle{\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}}\) (\(\displaystyle{p^2-4q \lt {0}}\); \(\displaystyle{n=2,3,4,\ldots}\)).

Каждый из четырёх типов простейших дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже.

\[ \begin{equation} \int\frac{A}{x-a}dx =A\ln|x-a|+C \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \int\frac{A}{(x-a)^n}dx =-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \int\frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx =\frac{M}{2}\ln\left(x^2+px+q\right)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C \end{equation} \]

Для \(\displaystyle{\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx}\) делается замена \(\displaystyle{t=x+\frac{p}{2}}\), после чего полученный интерал разбивается на два. Первый находится с помощью внесения под знак дифференциала, а второй будет иметь вид \(\displaystyle{I_n=\int\frac{dt}{(t^2+a^2)^n}}\). Этот интеграл берётся с помощью рекуррентного соотношения

\[ \begin{equation} I_{n+1} =\frac{1}{2na^2}\frac{t}{(t^2+a^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n, \; n\in N \end{equation} \]

Вычисление такого интеграла разобрано в задаче №2 третьей части.

В целом, схема нахождения интегралов от рациональных функций (рациональных дробей) довольно проста. Если подынтегральная дробь является простейшей, то применяем формулы (1)-(4). Если подынтегральная дробь не является простейшей, то раскладываем её на простейшие дроби (если заданная дробь правильная) или на сумму многочлена и простейших дробей (если заданная дробь неправильная). После разложения интегрируем, используя формулы (1)-(4).

Указанный выше алгоритм интегрирования рациональных дробей имеет неоспоримое достоинство – он универсален. Пользуясь этим алгоритмом можно проинтегрировать любую рациональную дробь. Именно поэтому многие замены переменных в неопределённом интеграле (подстановки Эйлера, Чебышёва, универсальная тригонометрическая подстановка и т.д.) делаются с таким расчётом, чтобы после замены получить под интегралом рациональную дробь.

Задача №1

Условие

Найти интегралы:

\(\displaystyle{\int\frac{7dx}{x+9}}\);
\(\displaystyle{\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx}\).

Решение

Пункт №1

Для нахождения заданного интеграла можно сразу применить формулу (1):

\[ \int\frac{7dx}{x+9} =7\ln|x+9|+C \]

В принципе, этот интеграл несложно получить и без механического применения готовой формулы. Если вынести константу \(\displaystyle{7}\) за знак интеграла и учесть, что \(\displaystyle{dx=d(x+9)}\), то получим:

\[ \int\frac{7dx}{x+9} =7\int\frac{dx}{x+9} =7\int\frac{d(x+9)}{x+9} =7\ln|x+9|+C \]

Для детальной информации рекомедую посмотреть тему "Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)". Там подробно поясняется, как решаются подобные интегралы. Кстати, формулы (1) и (2) доказываются теми же преобразованиями, что были применены в этом пункте при решении "вручную".

Пункт №2

Нам нужно проинтегрировать дробь \(\displaystyle{\frac{4x+7}{x^2+10x+34}}\). Эта дробь имеет структуру \(\displaystyle{\frac{Mx+N}{x^2+px+q}}\), где \(\displaystyle{M=4}\), \(\displaystyle{N=7}\), \(\displaystyle{p=10}\), \(\displaystyle{q=34}\). Так как \(\displaystyle{p^2-4q=-16\lt{0}}\), то мы действительно имеем дело с интегрированием простейшей дроби третьего типа. Первый путь нахождения интеграла – банально использовать формулу (3):

\[ \int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx =\frac{4}{2}\cdot\ln\left(x^2+10x+34\right)+\frac{2\cdot{7}-4\cdot{10}}{\sqrt{4\cdot{34}-10^2}} \arctg\frac{2x+10}{\sqrt{4\cdot 34-10^2}}+C=\\ =2\ln\left(x^2+10x+34\right) -\frac{13}{3} \arctg\frac{x+5}{3}+C \]

Второй путь предполагает решение без использования готовой формулы. Выделим в числителе производную знаменателя. Мы знаем, что \(\displaystyle{\left(x^2+10x+34\right)'=2x+10}\). Именно выражение \(\displaystyle{2x+10}\) нам и предстоит вычленить в числителе, а затем разбить интеграл на два:

\[ \int\frac{4x+7}{x^2+10x+34} dx = \int\frac{2\cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx =2\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13\int\frac{dx}{x^2+10x+34} \]

Для первого интеграла учтём, что \(\displaystyle{d\left(x^2+10x+34\right)=(2x+10)dx}\), а для второго интеграла заметим, что \(\displaystyle{x^2+10x+34=(x+5)^2+9}\) и, кроме того, \(\displaystyle{dx=d(x+5)}\).

\[ 2\int\frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13\int\frac{dx}{x^2+10x+34}=\\ =2\int \frac{d\left(x^2+10x+34\right)}{x^2+10x+34}-13\int\frac{d(x+5)}{(x+5)^2+9} =2\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{13}{3}\arctg\frac{x+5}{3}+C \]

Мы получили тот же ответ, что и при применении формулы (3), что, собственно говоря, неудивительно. Вообще, формула (3) доказывается теми же методами, кои мы применяли для нахождения данного интеграла.

Ответ:

\(\displaystyle{7\ln|x+9|+C}\);
\(\displaystyle{2\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{13}{3}\arctg\frac{x+5}{3}+C.}\)

Задача №2

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx}\).

Решение

На первый взгляд подынтегральная дробь \(\displaystyle{\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}}\) похожа на простейшую дробь третьего типа, однако это сходство кажущееся. Для дроби \(\displaystyle{\frac{Mx+N}{x^2+px+q}}\) обязательным является условие \(\displaystyle{p^2-4q \lt {0}}\), которое гарантирует, что знаменатель неразложим на множители. Однако дискриминант квадратного трёхчлена \(\displaystyle{3x^2-5x-2}\) положителен, т.е. его можно представить в виде произведения двух многочленов первой степени. Разложим на множители знаменатель:

\[ 3x^2-5x-2=0\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot 3}=-\frac{1}{3}\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot 3}=2\\ \end{aligned}\\ \]

\[ 3x^2-5x-2 =3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2) \]

Подынтегральную дробь представим в таком виде:

\[ \frac{7x+12}{3x^2-5x-2} =\frac{7x+12}{3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)} =\frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)} \]

Теперь разложим полученную дробь на простейшие:

\[ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)} =\frac{A}{x+\frac{1}{3}}+\frac{B}{x-2} =\frac{A(x-2)+B\left( x+\frac{1}{3}\right)}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)} \]

\[ \frac{7}{3}x+4=A(x-2)+B\left( x+\frac{1}{3}\right) \]

Для нахождения параметров \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) применим метод подстановки частных значений – подставляем \(\displaystyle{x=2}\), а затем \(\displaystyle{x=-\frac{1}{3}}\):

\[ \begin{aligned} & x=2 \Rightarrow \frac{26}{3}=\frac{7}{3}B; \; B=\frac{26}{7}.\\ & x=-\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{29}{9}=-\frac{7}{3}A; \; A=-\frac{29}{21}. \end{aligned} \]

Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:

\[ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)} =-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2} \]

Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два и к каждому применим формулу (1):

\[ \int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx =\int\left(-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)dx=\\ =-\frac{29}{21}\int\frac{dx}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\int\frac{dx}{x-2}dx =-\frac{29}{21}\ln\left|x+\frac{1}{3}\right|+\frac{26}{7}\ln|x-2|+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{29}{21}\ln\left|x+\frac{1}{3}\right|+\frac{26}{7}\ln|x-2|+C}\).

Задача №3

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx}\).

Решение

Разложение подынтегральной дроби на простейшие было получено в задаче №2 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на простейшие дроби:

\[ \frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)} =-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9} \]

Нам остаётся только разбить заданный интеграл на три и к каждому применить формулу (1):

\[ \int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx =\int\left(-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9} \right)dx=\\ =-3\int\frac{dx}{x-1}+5\int\frac{dx}{x+4}-\int\frac{dx}{x-9} =-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x-9|+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x-9|+C}\).