Высшая математика » Неопределённые интегралы » Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей) » Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Первая часть

Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Первая часть.

Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме "Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби". Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов.

Напомню пару терминов. О их шла речь в соответствующей теме, посему тут ограничусь краткой формулировкой.

Отношение двух многочленов \(\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\) называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной, если \(n \lt m\), т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если \(n \ge m\)) дробь называется неправильной.

Элементарными (простейшими) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

\(\frac{A}{x-a}\);
\(\frac{A}{(x-a)^n}\) (\(n=2,3,4, \ldots\));
\(\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\) (\(p^2-4q \lt 0\));
\(\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}\) (\(p^2-4q \lt 0\); \(n=2,3,4,\ldots\)).

Примечание (желательное для более полного понимания текста)

Зачем нужно условие \(p^2-4q \lt 0\) в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2+px+q=0\). Дискриминант этого уравнения \(D=p^2-4q\). По сути, условие \(p^2-4q \lt 0\) означает, что \(D \lt 0\). Если \(D \lt 0\), то уравнение \(x^2+px+q=0\) не имеет действительных корней. Т.е. выражение \(x^2+px+q\) неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, для выражения \(x^2+5x+10\) получим: \(p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15\). Так как \(p^2-4q=-15 \lt 0\), то выражение \(x^2+5x+10\) нельзя разложить на множители.

Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед \(x^2\) равнялся 1. Например, для \(5x^2+7x-3=0\) получим: \(D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109\). Так как \(D \gt 0\), то выражение \(5x^2+7x-3\) разложимо на множители.

Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти тут. Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже. Напомню, что при интегрировании дробей типа (2) и (4) предполагается \(n=2,3,4,\ldots\). Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия \(p^2-4q \lt 0\).

\[ \begin{equation} \int \frac{A}{x-a} dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \int\frac{A}{(x-a)^n}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \int\frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C \end{equation} \]

Для \(\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx\) делается замена \(t=x+\frac{p}{2}\), после полученный интерал разбивается на два. Первый будет вычисляться с помощью внесения под знак дифференциала, а второй будет иметь вид \(I_n=\int\frac{dt}{(t^2+a^2)^n}\). Этот интеграл берётся с помощью рекуррентного соотношения

\[ \begin{equation} I_{n+1}=\frac{1}{2na^2}\frac{t}{(t^2+a^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n, \; n\in N \end{equation} \]

Вычисление такого интеграла разобрано в задаче №7 (см. третью часть).

Схема вычисления интегралов от рациональных функций (рациональных дробей):

Если подынтегральная дробь является элементарной, то применить формулы (1)-(4).
Если подынтегральная дробь не является элементарной, то представить её в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать, используя формулы (1)-(4).

Указанный выше алгоритм интегрирования рациональных дробей имеет неоспоримое достоинство – он универсален. Т.е. пользуясь этим алгоритмом можно проинтегрировать любую рациональную дробь. Именно поэтому почти все замены переменных в неопределённом интеграле (подстановки Эйлера, Чебышева, универсальная тригонометрическая подстановка) делаются с таким расчётом, чтобы после оной замены получить под интералом рациональную дробь. А к ней уже применить алгоритм. Непосредственное применение этого алгоритма разберём на примерах, предварительно сделав небольшое примечание.

Формулы (1)-(4) предполагают, что коэффициент перед \(x\) (в формулах (1) и (2)) и коэффициент перед \(x^2\) (в формулах (3) и (4)) равен единице. Но как быть, если этот коэффициент не равен единице? В этом случае достаточно просто вынести его за скобки:

\[\frac{3x+7}{5x^2+10x+9}=\frac{3x+7}{5\left(x^2+2x+\frac{9}{5}\right)}=\frac{\frac{3}{5}x+\frac{7}{5}}{x^2+2x+\frac{9}{5}}.\]

Кстати сказать, это касается не только элементарных дробей. Например, если требуется разложить дробь \(\frac{4x^2+6x+7}{(2x+9)(3x^2+5x+18)}\), то её представим в такой форме:

\[ \frac{4x^2+6x+7}{(2x+9)(3x^2+5x+18)}=\frac{4x^2+6x+7}{2\cdot\left(x+\frac{9}{2}\right)\cdot 3 \cdot \left(x^2+\frac{5}{3}x+6\right)}= \frac{4x^2+6x+7}{6\cdot\left(x+\frac{9}{2}\right)\left(x^2+\frac{5}{3}x+6\right)}=\\ =\frac{\frac{4}{6}x^2+\frac{6}{6}x+\frac{7}{6}}{\left(x+\frac{9}{2}\right)\left(x^2+\frac{5}{3}x+6\right)} =\frac{\frac{2}{3}x^2+x+\frac{7}{6}}{\left(x+\frac{9}{2}\right)\left(x^2+\frac{5}{3}x+6\right)}. \]

В дальнейших задачах я затрону случай, когда коэффициент перед старшим членом многочлена в знаменателе не равен \(1\). Но каждый раз этот случай будет разрешён по стандартной схеме: вынести "мешающий" коэффициент за скобки и перенести его в числитель (или вообще вынести за знак интеграла).

Перейдём к примерам. Первая задача – тренировочная, на использование формул интегрирования элементарных дробей (пока что без использования формулы №4, она будет рассмотрена отдельно).

Задача №1

Условие

Найти интегралы:

\(\int\frac{7dx}{x+9}\);
\(\int\frac{11dx}{(4x+19)^8}\);
\(\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx\).

Решение

Пункт №1

1) Для нахождения интеграла \(\int\frac{7dx}{x+9}\) можно сразу применить формулу (1):

\[ \int\frac{7dx}{x+9}=7\ln|x+9|+C. \]

В принципе, этот интеграл несложно получить без механического применения формулы (1). Если вынести константу \(7\) за знак интеграла и учесть, что \(dx=d(x+9)\), то получим:

\[ \int\frac{7dx}{x+9}=7\cdot \int\frac{dx}{x+9}=7\cdot \int\frac{d(x+9)}{x+9}=|u=x+9|=7\cdot\int\frac{du}{u}=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. \]

Для детальной информации рекомедую посмотреть тему "Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)". Там подробно поясняется, как решаются подобные интегралы. Кстати, формула (1) доказывается теми же преобразованиями, что были применены в этом пункте при решении "вручную".

Пункт №2

Вновь есть два пути: применить готовую формулу или обойтись без неё. Если применять формулу (2), то следует учесть, что коэффициент перед \(x\) (число 4) придется убрать. Для этого оную четвёрку просто вынесем за скобки:

\[ \int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=\int\frac{11dx}{\left(4\left(x+\frac{19}{4}\right)\right)^8}= \int\frac{11dx}{4^8\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}=\int\frac{\frac{11}{4^8}dx}{\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}. \]

Теперь настал черёд и для применения формулы (2):

\[ \int\frac{\frac{11}{4^8}dx}{\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}=-\frac{\frac{11}{4^8}}{(8-1)\left(x+\frac{19}{4} \right)^{8-1}}+C= -\frac{\frac{11}{4^8}}{7\left(x+\frac{19}{4} \right)^7}+C=-\frac{11}{7\cdot 4^8 \left(x+\frac{19}{4} \right)^7}+C. \]

Можно обойтись и без применения формулы (2). И даже без вынесения константы \(4\) за скобки. Если учесть, что \(dx=\frac{1}{4}d(4x+19)\), то получим:

\[ \int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=11\int\frac{dx}{(4x+19)^8}=\frac{11}{4}\int\frac{d(4x+19)}{(4x+19)^8}=|u=4x+19|=\\ =\frac{11}{4}\int\frac{du}{u^8}=\frac{11}{4}\int u^{-8}\;du=\frac{11}{4}\cdot\frac{u^{-8+1}}{-8+1}+C=\\ =\frac{11}{4}\cdot\frac{u^{-7}}{-7}+C=-\frac{11}{28}\cdot\frac{1}{u^7}+C=-\frac{11}{28(4x+19)^7}+C. \]

Подробные пояснения по нахождению подобных интегралов даны в теме "Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)".

Пункт №3

3) Нам нужно проинтегрировать дробь \(\frac{4x+7}{x^2+10x+34}\). Эта дробь имеет структуру \(\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\), где \(M=4\), \(N=7\), \(p=10\), \(q=34\). Однако чтобы убедиться, что это действительно элементарная дробь третьего типа, нужно проверить выполнение условия \(p^2-4q \le 0\). Так как \(p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 \le 0\), то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения \(\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx\). Первый путь – банально использовать формулу (3). Подставив в неё \(M=4\), \(N=7\), \(p=10\), \(q=34\) получим:

\[ \int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx = \frac{4}{2}\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{2\cdot 7-4\cdot 10}{\sqrt{4\cdot 34-10^2}} \arctg\frac{2x+10}{\sqrt{4\cdot 34-10^2}}+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{-26}{\sqrt{36}} \arctg\frac{2x+10}{\sqrt{36}}+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{-26}{6} \arctg\frac{2x+10}{6}+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x+34)-\frac{13}{3} \arctg\frac{x+5}{3}+C. \]

Решим этот же пример, но без использования готовой формулы. Попробуем выделить в числителе производную знаменателя. Что это означает? Мы знаем, что \((x^2+10x+34)'=2x+10\). Именно выражение \(2x+10\) нам и предстоит вычленить в числителе. Пока что числитель содержит лишь \(4x+7\), но это ненадолго. Применим к числителю такое преобразование:

\[ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10)-13. \]

Теперь в числителе появилось требуемое выражение \(2x+10\). И наш интеграл можно переписать в таком виде:

\[ \int\frac{4x+7}{x^2+10x+34} dx= \int\frac{2\cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx. \]

Разобьём подынтегральную дробь на две. Ну и, соответственно, сам интеграл тоже "раздвоим":

\[ \int\frac{2\cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx=\int \left( \frac{2\cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}-\frac{13}{x^2+10x+34} \right)\; dx=\\ =\int \frac{2\cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}dx-\int\frac{13dx}{x^2+10x+34}=2\cdot\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{dx}{x^2+10x+34}. \]

Поговорим сперва про первый интеграл, т.е. про \(\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}\). Так как

\[d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)'dx=(2x+10)dx,\]

то в числителе подынтегральной дроби расположен дифференциал знаменателя. Короче говоря, вместо выражения \((2x+10)dx\) запишем \(d(x^2+10x+34)\).

Теперь скажем пару слов и о втором интеграле. Выделим в знаменателе полный квадрат: \(x^2+10x+34=(x+5)^2+9\). Кроме того, учтём \(dx=d(x+5)\). Теперь полученную нами ранее сумму интегралов можно переписать в несколько ином виде:

\[ 2\cdot\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{dx}{x^2+10x+34} =2\cdot\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{d(x+5)}{(x+5)^2+9}. \]

Если в первом интеграле сделать замену \(u=x^2+10x+34\), то он примет вид \(\int\frac{du}{u}\) и возьмётся простым применением второй формулы из таблицы неопределенных интегралов. Что же касается второго интеграла, то для него осуществима замена \(u=x+5\), после которой он примет вид \(\int\frac{du}{u^2+9}\). Это чистейшей воды одиннадцатая формула из таблицы неопределенных интегралов. Итак, возвращаясь к сумме интегралов, будем иметь:

\[ 2\cdot\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{d(x+5)}{(x+5)^2+9} =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac{13}{3}\arctg\frac{x+5}{3}+C. \]

Мы получили тот же ответ, что и при применении формулы (3), что, собственно говоря, неудивительно. Вообще, формула (3) доказывается теми же методами, кои мы применяли для нахождения данного интеграла. Полагаю, что у внимательного читателя тут может возникнуть один вопрос, посему рассмотрю его.

Если к интегралу \(\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}\) применять вторую формулу из таблицы неопределенных интегралов, то мы получим следующее:

\[ \int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}=|u=x^2+10x+34|=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. \]

Почему же в решении отсутствовал модуль?

Вопрос совершенно закономерный. Модуль отсутствовал лишь потому, что выражение \(x^2+10x+34\) при любом \(x\in R\) больше нуля. Это совершенно несложно показать несколькими путями. Например, так как \(x^2+10x+34=(x+5)^2+9\) и \((x+5)^2 \ge 0\), то \((x+5)^2+9 \gt 0\). Можно рассудить и по-иному, не привлекая выделение полного квадрата. Так как \(10^2-4\cdot 34=-16 \lt 0\), то \(x^2+10x+34 \gt 0\) при любом \(x\in R\) (если эта логическая цепочка вызывает удивление, советую посмотреть графический метод решения квадратных неравенств). В любом случае, так как \(x^2+10x+34 \gt 0\), то \(|x^2+10x+34|=x^2+10x+34\), т.е. вместо модуля можно использовать обычные скобки.

Ответ:

\(\int\frac{7dx}{x+9}=7\ln|x+9|+C\);
\(\int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=-\frac{11}{28(4x+19)^7}+C\);
\(\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac{13}{3}\arctg\frac{x+5}{3}+C.\)

Задача №2

Условие

Найти интеграл \(\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx\).

Решение

На первый взгляд подынтегральая дробь \(\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}\) очень похожа на элементарную дробь третьего типа, т.е. на \(\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\). Кажется, что единcтвенное отличие – это коэффициент \(3\) перед \(x^2\), но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Для дроби \(\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\) обязательным является условие \(p^2-4q \lt 0\), которое гарантирует, что знаменатель \(x^2+px+q\) нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена \(3x^2-5x-2\).

У нас коэффициент перед \(x^2\) не равен единице, посему проверить условие \(p^2-4q \lt 0\) напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение \(p^2-4q\). Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\). Если дискриминант меньше нуля, то выражение \(x^2+px+q\) на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена \(3x^2-5x-2\), расположенного в знаменателе нашей дроби: \(D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49\). Итак, \(D > 0\), посему выражение \(3x^2-5x-2\) можно разложить на множители. А это означает, что дробь \(\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}\) не является элементаной дробью третьего типа, и применять к интегралу \(\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx\) формулу (3) нельзя.

Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться схемой интегрирования рациональных дробей. Начнём с того, что разложим на множители знаменатель:

\[ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{5-7}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3};\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2.\\ \end{aligned}\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\cdot (x-2)=3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2). \]

Подынтеральную дробь представим в таком виде:

\[ \frac{7x+12}{3x^2-5x-2}=\frac{7x+12}{3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=\frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}. \]

Теперь разложим дробь \(\frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}\) на элементарные:

\[ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)} =\frac{A}{x+\frac{1}{3}}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B\left( x+\frac{1}{3}\right)}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)};\\ \frac{7}{3}x+4=A(x-2)+B\left( x+\frac{1}{3}\right). \]

Чтобы найти коэффициенты \(A\) и \(B\) есть два стандартных пути: метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Применим метод подстановки частных значений, подставляя \(x=2\), а затем \(x=-\frac{1}{3}\):

\[ \frac{7}{3}x+4=A(x-2)+B\left( x+\frac{1}{3}\right).\\ x=2;\; \frac{7}{3}\cdot 2+4=A(2-2)+B\left( 2+\frac{1}{3}\right); \; \frac{26}{3}=\frac{7}{3}B;\; B=\frac{26}{7}.\\ x=-\frac{1}{3};\; \frac{7}{3}\cdot \left(-\frac{1}{3} \right)+4=A\left(-\frac{1}{3}-2\right)+B\left( -\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right); \; \frac{29}{9}=-\frac{7}{3}A;\; A=-\frac{29\cdot 3}{9\cdot 7}=-\frac{29}{21}.\\ \]

Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:

\[ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=\frac{-\frac{29}{21}}{x+\frac{1}{3}}+\frac{\frac{26}{7}}{x-2}. \]

В принципе, можно такую запись оставить, но мне по душе более аккуратный вариант:

\[ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}. \]

Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

\[ \int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx =\int\left(-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)dx=\\ =\int\left(-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}\right)dx+\int\left(\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)dx =-\frac{29}{21}\cdot\int\frac{dx}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\int\frac{dx}{x-2}dx=\\ =-\frac{29}{21}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{3}\right|+\frac{26}{7}\cdot\ln|x-2|+C. \]

Ответ:

\(\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx=-\frac{29}{21}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{3}\right|+\frac{26}{7}\cdot\ln|x-2|+C\).

Задача №3

Условие

Найти интеграл \(\int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx\).

Решение

Нам нужно проинтегрировать дробь \(\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}\). В числителе расположен многочлен второй степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. \(2 \lt 3\), то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в задаче №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

\[ \frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}=-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9}. \]

Нам останется только разбить заданный интеграл на три, и к каждому применить формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

\[ \int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=\int\left(-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9} \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac{dx}{x-1}+ 5\cdot\int\frac{dx}{x+4}-\int\frac{dx}{x-9}=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x-9|+C. \]

Ответ:

\(\int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x-9|+C\).

Часть №1

Часть №2

Часть №3