Задача №1
Условие
Найти ранг матрицы \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{ccccc} -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)}\).
Решение
Данная матрица не является нулевой, а значит её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.
Первый шаг
На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки \(\displaystyle{k=1}\). Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4, 1, 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть \(\displaystyle{k_{\min}=1}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(\displaystyle{k_{\min}}\). Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы третьей, четвёртой и пятой строк.
В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число -2. Чтобы заменить "неудобное" число единицей (или числом (-1)) есть несколько вариантов. Можно, например, умножить первую строку на 2, а затем от первой строки вычесть пятую. А можно просто поменять местами первый и третий столбцы. После перестановки столбцов №1 и №3 получим новую матрицу, эквивалентную заданной матрице \(\displaystyle{A}\):
Ведущим элементом первой строки стала единица. Номер ведущего элемента первой строки не поменялся: \(\displaystyle{k=1}\). Номера ведущих элементов строк, расположенных ниже первой, таковы: 4, 1, 2, 1. Наименьший номер \(\displaystyle{k_{\min}=1}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(\displaystyle{k_{\min}}\). Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и пятой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.
Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:
Запись \(\displaystyle{r_3+5r_1}\) означает, что к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место третьей строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:
Действие \(\displaystyle{r_5-r_1}\) выполняется аналогично. В результате преобразований строк получим такую матрицу:
На этом первый шаг можно считать законченным. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу. Единственный нюанс: в третьей строке полученной матрицы все элементы делятся нацело на 2. Чтобы уменьшить числа и упростить себе расчёты, умножим элементы третьей строки на \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\), а затем уже перейдём ко второму шагу:
Второй шаг
На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки \(\displaystyle{k=4}\). Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 2, 2 и 2. Наименьшим из этих номеров есть \(\displaystyle{k_{\min}=2}\). Так как \(\displaystyle{k\gt{k_{\min}}}\), то нужно поменять местами текущую вторую строку с одной из тех строк, у которых номер ведущего элемента равен \(\displaystyle{k_{\min}}\). Иными словами, надо поменять вторую строку с третьей, четвёртой или пятой. Я выберу пятую строку (это позволит избежать появления дробей), т.е. поменяю местами пятую и вторую строки:
Опять обратимся ко второй строке. Теперь ведущим в ней является второй элемент (он выделен красным цветом), т.е. \(\displaystyle{k=2}\). Наименьшим из номеров ведущих элементов нижележащих строк (т.е. из чисел 2, 2 и 4) будет \(\displaystyle{k_{\min}=2}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(\displaystyle{k_{\min}}\). Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.
Отмечу, что на предыдущем шаге ведущим элементом текущей строки с помощью перестановки столбцов была сделана единица. Это было выполнено, чтобы избежать работы с дробями. Здесь тоже можно поставить единицу на место ведущего элемента второй строки: например, поменяв местами второй и четвёртый столбцы. Однако делать это мы не станем, так как дробей и так не возникнет. Действия со строками будут такими:
Выполняя указанные операции, придём к такой матрице:
Второй шаг закончен. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то переходим к третьему шагу.
Третий шаг
На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. В третьей строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента третьей строки \(\displaystyle{k=4}\). Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4 и 4, наименьший из которых \(\displaystyle{k_{\min}=4}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(\displaystyle{k_{\min}}\). Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы четвёртой и пятой строк. Преобразования, которые выполняются с этой целью, полностью аналогичны тем, что осуществлялись ранее:
Под третьей строкой остались лишь нулевые строки. Это значит, что преобразования закончены. Мы привели матрицу к ступенчатому виду. Так как приведённая матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. \(\displaystyle{\rang A=3}\). Полное решение без пояснений таково: