Второй замечательный предел

Решение

Сразу отметим, что основание степени (т.е. \(\displaystyle{\frac{3x+1}{3x-5}}\)) стремится к единице:

При этом показатель степени (выражение \(\displaystyle{4x+7}\)) стремится к бесконечности, т.е. \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty}\).

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью \(\displaystyle{1^\infty}\). Применим формулу (3) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (3) расположено выражение \(\displaystyle{1+\frac{1}{f(x)}}\), а в рассматриваемой нами задаче основание степени таково: \(\displaystyle{\frac{3x+1}{3x-5}}\). Посему первым действием станет формальная подгонка выражения \(\displaystyle{\frac{3x+1}{3x-5}}\) под вид \(\displaystyle{1+\frac{1}{f(x)}}\). Для начала прибавим и вычтем единицу:

Продолжим «подгонку». В выражении \(\displaystyle{1+\frac{1}{f(x)}}\) в формуле (3) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении \(\displaystyle{1+\frac{6}{3x-5}}\) в числителе находится \(\displaystyle{6}\). Чтобы получить \(\displaystyle{1}\) в числителе, опустим \(\displaystyle{6}\) в знаменатель с помощью следующего преобразования:

Таким образом,

Итак, основание степени, т.е. \(\displaystyle{1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}}\), подогнано под вид \(\displaystyle{1+\frac{1}{f(x)}}\), где \(\displaystyle{f(x)=\frac{3x-5}{6}}\). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (3) выражения, стоящие в показателе степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашей задаче показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение \(\displaystyle{f(x)=\frac{3x-5}{6}}\), просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на \(\displaystyle{\frac{6}{3x-5}}\). Итак, имеем:

Предел выражения, находящеося в показателе степени, найти можно устно. Рассмотрим этот предел отдельно, чтобы не загромождать основное решение:

Согласно формуле (3) имеем \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right )^{\frac{3x-5}{6}}=e}\). Кроме того, \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}=8}\), поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать третью формулу. Если учесть, что \(\displaystyle{\frac{6}{3x-5}\to{0}}\) при \(\displaystyle{x\to\infty}\), то применяя формулу (4), получим:

Решение

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. \(\displaystyle{7-6x}\), стремится к единице при условии \(\displaystyle{x\to{1}}\), т.е. \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}(7-6x)=7-6\cdot1=1}\). Для показателя степени, т.е. \(\displaystyle{\frac{x}{3x-3}}\), получаем: \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{x}{3x-3}=\infty}\). Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида \(\displaystyle{1^\infty}\), которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Можно начать производить стандартные преобразования в основании степени:

Обратите внимание, что \(\displaystyle{6(1-x)\to{0}}\) при \(\displaystyle{x\to{1}}\). Сугубо для сокращения записи введём новую переменную \(\displaystyle{y=1-x}\). Введение новой переменной, разумеется, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Выражение в основании степени примет вид \(\displaystyle{1+6y}\). Так как \(\displaystyle{x\to{1}}\), то \(\displaystyle{{1-x}\to{0}}\), т.е. \(\displaystyle{y\to{0}}\). Подставляя \(\displaystyle{x=1-y}\) в рассматриваемый пример, и учитывая \(\displaystyle{y\to{0}}\), получим:

Применим формулу (4). В нашем случае \(\displaystyle{g(y)=6y}\), а в показателе степени должно быть выражение \(\displaystyle{\frac{1}{g(y)}}\), т.е. \(\displaystyle{\frac{1}{6y}}\).

Так как \(\displaystyle{\lim_{y\to{0}}\biggl(1+6y\biggr)^{\frac{1}{6y}}=e}\) и \(\displaystyle{\lim_{y\to{0}}(2(y-1))=-2}\), то получим:

Полное решение без пояснений таково:

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}(\cos{2x})=1}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\sin^2{3x}}=\infty}\), то мы имеем дело с неопределённостью вида \(\displaystyle{1^{\infty}}\). Преобразования, аналогичные рассмотренным в задачах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

Так как \(\displaystyle{\sin^2x=\frac{1-\cos{2x}}{2}}\), то \(\displaystyle{\cos{2x}-1=-2\sin^2x}\), поэтому:

Здесь мы учли, что \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{x}}{\sin^2{3x}}=\frac{1}{9}}\). Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.

Решение

Так как при \(\displaystyle{x>0}\) имеем \(\displaystyle{\ln(x+1)-\ln{x}=\ln\frac{x+1}{x}}\), то:

Раскладывая дробь \(\displaystyle{\frac{x+1}{x}}\) на сумму дробей \(\displaystyle{\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}}\) получим:

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{2}}(3x-5)=6-5=1}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{2}}\frac{2x}{x^2-4}=\infty}\), то мы имеем дело с неопределенностью вида \(\displaystyle{1^{\infty}}\). Подробные пояснения даны в задаче №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену \(\displaystyle{t=x-2}\), получим:

Можно решить данную задачу и по-иному, используя замену: \(\displaystyle{t=\frac{1}{x-2}}\). Разумеется, ответ будет тем же:

Решение

Выясним, к чему стремится выражение \(\displaystyle{\frac{2x^2+3}{2x^2-4}}\) при условии \(\displaystyle{x\to\infty}\):

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида \(\displaystyle{1^{\infty}}\), которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

Решение

Разумеется, в каждом из заданных пределов, содержащих неопределённость \(\displaystyle{1^{\infty}}\), можно пойти стандартным путём, рассмотренным в предыдущих задачах. Но здесь мы поступим немного по-иному. При решении первого предела учтём, что \(\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{-n}}\):

А для решения второго предела сперва разделим числитель и знаменатель дроби в основании степени на \(\displaystyle{3x}\), за затем используем формулу \(\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}}\).