Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению. Методы вычисления ранга матриц.
Для работы с понятием ранга матрицы понадобятся сведения из темы "Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений". В первую очередь это касается терминов "минор матрицы" и "базисный минор".
Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.
Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю. Обозначают ранг матрицы \(\displaystyle{A}\) по-разному: \(\displaystyle{\rang{A}}\), \(\displaystyle{\operatorname{rg}{A}}\), \(\displaystyle{\operatorname{rank}{A}}\), \(\displaystyle{\operatorname{rk}{A}}\) или попросту \(\displaystyle{r(A)}\).
Минор матрицы не может содержать строк и столбцов больше, чем сама матрица, т.е. для матрицы \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\) имеем, что максимальный порядок минора этой матрицы равен наименьшему из чисел \(\displaystyle{m}\) и \(\displaystyle{n}\). А это значит, что для ранга любой матрицы \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\) верно неравенство \(\displaystyle{0\le{\rang{A}}\le\min(m,n)}\).
Записанное выше определение ранга можно переформулировать более коротко: ранг матрицы – это порядок базисного минора. Есть и ещё одно определение ранга матрицы, равносильное данному ранее.
Ранг матрицы – максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы.
Отмечу, что максимальное число линейно независимых строк равно максимальному количеству линейно независимых столбцов, именно поэтому в данном определении можно рассматривать как строки, так и столбцы.
Существует несколько методов нахождения ранга. Первый метод следует из самого определения ранга матрицы как наибольшего порядка её миноров, отличных от нуля.
Нахождение ранга матрицы как наивысшего порядка ненулевого минора
Согласно этому методу, мы должны последовательно проверить миноры заданной матрицы. Если матрица нулевая, то её ранг равен 0. Пусть среди элементов матрицы есть хоть один, отличный от нуля. Это значит, что среди миноров первого порядка существует ненулевой, поэтому \(\displaystyle{\rang{A}\ge{1}}\).
Проверяем миноры второго порядка. Если все они равны нулю, то \(\displaystyle{\rang{A}=1}\). Если же среди них есть хоть один, отличный от нуля, то \(\displaystyle{\rang{A}\ge{2}}\), и мы переходим к следующему шагу.
Исследуем миноры третьего порядка, проверку которых осуществляем по той же логике: если все миноры третьего порядка равны 0, то \(\displaystyle{\rang{A}=2}\). Если же среди них есть хоть один ненулевой, то \(\displaystyle{\rang{A}\ge{3}}\) и нужно проверять миноры четвёртого порядка.
Продолжая эту процедуру, мы неизбежно окажемся в ситуации, когда некий минор k-го порядка будет ненулевым, а все миноры (k+1)-го порядка будут или нулевыми, или же попросту не будут существовать. Если все миноры (k+1)-го порядка нулевые, то нулевыми будут и миноры высших порядков. Это значит, что наивысший порядок ненулевого минора, а следовательно и ранг исследуемой матрицы, равен \(\displaystyle{k}\). Ниже разобраны несколько задач, в которых ранг матрицы вычисляется именно данным способом.
Разумеется, что описанный процесс в общем случае крайне трудоёмок, и хоть на практике его можно слегка упростить, однако же лучше использовать иные методы, описанные ниже.
Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров
Если минор k-го порядка отличен от нуля, то согласно предыдущему методу придётся перебирать один за другим миноры (k+1)-го порядка. В худшем случае потребуется пересчитать их все.
Однако количество рассматриваемых миноров (k+1)-го порядка можно уменьшить. Существует теорема, гласящая, что если некий минор k-го порядка не равен нулю, а все окаймляющие миноры (k+1)-го порядка нулевые или не существуют, то ранг матрицы равен \(\displaystyle{k}\).
Эта теорема позволяет на каждом шаге рассматривать не все миноры (k+1)-го порядка, а лишь миноры, окаймляющие ненулевой минор k-го порядка, полученный на предыдущем шаге. В остальном применение данного метода полностью идентично предыдущему.
Нахождение ранга матриц с использованием метода окаймляющих миноров разобрано в этой теме.
Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований
Этот метод основан на втором определении ранга матрицы. Есть преобразования, которые изменяют саму матрицу, но оставляют неизменным её ранг. Эти преобразования часто называют элементарными: перестановка строк или столбцов, умножение всех элементов строки или столбца на некий ненулевой коэффициент и так далее.
Элементарые преобразования позволяют привести заданную матрицу к ступенчатому виду. А для матрицы, приведённой к ступенчатому виду, максимальное количество линейно независимых строк равно числу ненулевых строк. Соответственно, ранг в этом случае будет просто равен количеству ненулевых строк ступенчатой матрицы.
Нахождение ранга матриц с использованием метода элементарных преобразований разобрано в этой теме.
Задача №1
Условие
Найти ранг матрицы \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{ccccc}
5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\
7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\
2 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array} \right)}\).
Решение
Данная матрица имеет размер \(\displaystyle{3\times 5}\), т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы \(\displaystyle{A}\) не превышает 3, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}\le{3}}\). И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, – для них нужно 4 строки, а у нас всего 3.
Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы \(\displaystyle{A}\)) есть хотя бы один, не равный нулю (например, 5). Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что \(\displaystyle{\rang{A}\ge{1}}\) и переходим к проверке миноров второго порядка.
Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: \(\displaystyle{\left|\begin{array}{cc}
5 & 0 \\
7 & 0 \end{array} \right|}\). У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. \(\displaystyle{\left|\begin{array}{cc}
5 & 0 \\
7 & 0 \end{array} \right|=0}\) (см. свойство №3 в теме свойства определителей).
Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: \(\displaystyle{\left|\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
7 & 3 \end{array} \right|}\). Найдём значение этого минора второго порядка:
\[
\left|\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
7 & 3 \end{array} \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1.
\]
Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно \(\displaystyle{\rang{A}\ge{2}}\). Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.
Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:
\[
\left|\begin{array}{ccc}
5 & -3 & 2 \\
7 & -4 & 3 \\
2 & -1 & 1
\end{array} \right|=-20-18-14+16+21+15=0.
\]
Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, \(\displaystyle{\rang{A}=2}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\rang{A}=2}\).
Задача №2
Условие
Найти ранг матрицы \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {cccc}
-1 & 3 & 2 & -3\\
4 & -2 & 5 & 1\\
-5 & 0 & -4 & 0\\
9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)}\).
Решение
Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}\le{4}}\). Приступим к нахождению ранга.
Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы \(\displaystyle{A}\)) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому \(\displaystyle{\rang{A}\ge{1}}\). Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: \(\displaystyle{\left| \begin{array} {cc}
4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|}\). Вычислим его:
\[
\left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|
=0-10
=-10.
\]
Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому \(\displaystyle{\rang{A}\ge {2}}\).
Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:
\[
\left | \begin{array} {cccc}
-1 & 3 & -3\\
-5 & 0 & 0\\
9 & 7 & -7 \end{array} \right|=105-105=0.
\]
Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:
\[
\left| \begin{array} {ccc}
-2 & 5 & 1\\
0 & -4 & 0\\
7 & 8 & -7 \end{array} \right|=-28.
\]
Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому \(\displaystyle{\rang{A}\ge {3}}\). Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\). Иными словами, минор четвёртого порядка – это определитель матрицы \(\displaystyle{A}\), так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в задаче №2 темы "Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)", поэтому просто возьмём готовый результат:
\[
\left| \begin{array} {cccc}
-1 & 3 & 2 & -3\\
4 & -2 & 5 & 1\\
-5 & 0 & -4 & 0\\
9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=86.
\]
Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: \(\displaystyle{\rang{A}=4}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\rang A=4}\).
Задача №3
Условие
Найти ранг матрицы \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {cccc}
-1 & 0 & 2 & -3\\
4 & -2 & 5 & 1\\
7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)}\).
Решение
Данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому \(\displaystyle{\rang{A}\le{3}}\). В предыдущих задачах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Однако так делать не обязательно.
Попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы \(\displaystyle{A}\) такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:
\[
\left| \begin{array} {ccc}
0 & 2 & -3\\
-2 & 5 & 1\\
-4 & 0 & -5 \end{array} \right|=-8-60-20=-88.
\]
Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}=3}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\rang{A}=3}\).
Нахождение ранга матрицы по определению – в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера \(\displaystyle{5\times{4}}\) имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как упомянутые выше метод окаймляющих миноров или метод элементарных преобразований.