Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.
Для работы с понятием ранга матрицы нам понадобятся сведения из темы "Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений". В первую очередь это касается термина "минор матрицы", так как ранг матрицы станем определять именно через миноры.
Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.
Эквивалентные матрицы – матрицы, ранги которых равны между собой.
Поясним подробнее. Допустим, среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. А все миноры, порядок которых выше двух, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 2. Или, к примеру, среди миноров десятого порядка есть хоть один, не равный нулю. А все миноры, порядок которых выше 10, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 10.
Обозначается ранг матрицы \(A\) так: \(\rang A\) или \(r(A)\). Ранг нулевой матрицы \(O\) полагают равным нулю, \(\rang O=0\). Напомню, что для образования минора матрицы требуется вычёркивать строки и столбцы, – однако вычеркнуть строк и столбцов более, чем содержит сама матрица, невозможно. Например, если матрица \(F\) имеет размер \(5\times 4\) (т.е. содержит 5 строк и 4 столбца), то максимальный порядок её миноров равен четырём. Миноры пятого порядка образовать уже не удастся, так как для них потребуется 5 столбцов (а у нас всего 4). Это означает, что ранг матрицы \(F\) не может быть больше четырёх, т.е. \(\rang F≤4\).
В более общей форме вышеизложенное означает, что если матрица содержит \(m\) строк и \(n\) столбцов, то её ранг не может превышать наименьшего из чисел \(m\) и \(n\), т.е. \(\rang A≤\min(m,n)\).
В принципе, из самого определения ранга следует метод его нахождения. Процесс нахождения ранга матрицы по определению можно схематически представить так:
Поясню эту схему более подробно. Начнём рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка некоторой матрицы \(A\).
- Если все миноры первого порядка (т.е. элементы матрицы \(A\)) равны нулю, то \(\rang A=0\). Если среди миноров первого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то \(\rang A \ge 1\). Переходим к проверке миноров второго порядка.
- Если все миноры второго порядка равны нулю, то \(\rang A=1\). Если среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то \(\rang A≥ 2\). Переходим к проверке миноров третьего порядка.
- Если все миноры третьего порядка равны нулю, то \(\rang A=2\). Если среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то \(\rang A≥ 3\). Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
- Если все миноры четвёртого порядка равны нулю, то \(\rang A=3\). Если среди миноров четвёртого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то \(\rang A≥ 4\). Переходим к проверке миноров пятого порядка и так далее.
Что ждёт нас в конце этой процедуры? Возможно, что среди миноров k-го порядка найдётся хоть один, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка будут равны нулю. Это значит, что k – максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю, т.е. ранг будет равен k. Может быть иная ситуация: среди миноров k-го порядка будет хоть один не равный нулю, а миноры (k+1)-го порядка образовать уже не удастся. В этом случае ранг матрицы также равен k. Короче говоря, порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы.
Перейдём к задачам, в которых процесс нахождения ранга матрицы по определению будет проиллюстрирован наглядно. Ещё раз подчеркну, что в задачах данной темы мы станем находить ранг матриц, используя лишь определение ранга. Иные методы (вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров, вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований) рассмотрены в следующих темах.
Кстати, вовсе не обязательно начинать процедуру нахождения ранга с миноров самого малого порядка, как это сделано в задачах №1 и №2. Можно сразу перейти к минорам более высоких порядков (см. задачу №3).
Условие
Найти ранг матрицы \(A=\left(\begin{array}{ccccc}
5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\
7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\
2 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array} \right)\).
Решение
Данная матрица имеет размер \(3\times 5\), т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы \(A\) не больше 3, т.е. \(\rang A≤ 3\). И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, – для них нужно 4 строки, а у нас всего 3. Перейдём непосредственно к процессу нахождения ранга заданной матрицы.
Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы \(A\)) есть ненулевые. Например, 5, -3, 2, 7. Вообще, нас не интересует общее количество ненулевых элементов. Есть хотя бы один не равный нулю элемент – и этого достаточно. Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что \(\rang A≥ 1\) и переходим к проверке миноров второго порядка.
Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: \(\left|\begin{array}{cc}
5 & 0 \\
7 & 0 \end{array} \right|\). У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. \(\left|\begin{array}{cc}
5 & 0 \\
7 & 0 \end{array} \right|=0\) (см. свойство №3 в теме свойства определителей). Или же можно банально вычислить сей определитель, используя формулу №1 из раздела по вычислению определителей второго и третьего порядков:
\[
\left|\begin{array}{cc}
5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0.
\]
Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: \(\left|\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
7 & 3 \end{array} \right|\). Найдём значение этого минора второго порядка:
\[
\left|\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
7 & 3 \end{array} \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1.
\]
Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно \(\rang A≥ 2\). Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.
Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:
\[
\left|\begin{array}{ccc}
5 & -3 & 2 \\
7 & -4 & 3 \\
2 & -1 & 1
\end{array} \right|=-20-18-14+16+21+15=0.
\]
Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, \(\rang A=2\).
Условие
Найти ранг матрицы \(A=\left( \begin{array} {cccc}
-1 & 3 & 2 & -3\\
4 & -2 & 5 & 1\\
-5 & 0 & -4 & 0\\
9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)\).
Решение
Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. \(\rang A≤ 4\). Приступим к нахождению ранга матрицы.
Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы \(A\)) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому \(\rang A≥ 1\). Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: \(\left| \begin{array} {cc}
4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|\). Вычислим его:
\[
\left| \begin{array} {cc}
4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|=0-10=-10.
\]
Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому \(\rang A≥ 2\).
Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:
\[
\left | \begin{array} {cccc}
-1 & 3 & -3\\
-5 & 0 & 0\\
9 & 7 & -7 \end{array} \right|=105-105=0.
\]
Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:
\[
\left| \begin{array} {ccc}
-2 & 5 & 1\\
0 & -4 & 0\\
7 & 8 & -7 \end{array} \right|=-28.
\]
Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому \(\rang A≥ 3\). Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы \(A\). Иными словами, минор четвёртого порядка – это определитель матрицы \(A\), так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в задаче №2 темы "Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)", поэтому просто возьмём готовый результат:
\[
\left| \begin{array} {cccc}
-1 & 3 & 2 & -3\\
4 & -2 & 5 & 1\\
-5 & 0 & -4 & 0\\
9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=86.
\]
Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: \(\rang A=4\).
Условие
Найти ранг матрицы \(A=\left( \begin{array} {cccc}
-1 & 0 & 2 & -3\\
4 & -2 & 5 & 1\\
7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)\).
Решение
Сразу отметим, что данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому \(\rang A≤ 3\). В предыдущих задачах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Здесь же попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы \(A\) такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:
\[
\left| \begin{array} {ccc}
0 & 2 & -3\\
-2 & 5 & 1\\
-4 & 0 & -5 \end{array} \right|=-8-60-20=-88.
\]
Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. \(\rang A=3\).
Вообще, нахождение ранга матрицы по определению – в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера \(5\times 4\) имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как метод окаймляющих миноров или метод эквивалентных преобразований, которые рассмотрены в следующих частях данной темы.