Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Вторая часть.

Решение

Точто так же, как и в задачах предыдущей части, применим метод Гаусса:

Нулевую третью строку опустим вниз, а потом продолжим решение методом Гаусса:

Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Так как ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой, но меньше количества переменных (\(\displaystyle{3 \lt 6}\)), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Так как ранги обеих матриц равны \(\displaystyle{r=3}\), то надо выбрать 3 базисных переменных. Вновь составим "ступеньки":

На "ступеньках" стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\), \(\displaystyle{x_5}\).

СЛАУ содержит \(\displaystyle{n=6}\) неизвестных, поэтому количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно \(\displaystyle{n-r=3}\). Свободными переменными, соответственно, будут \(\displaystyle{x_3}\), \(\displaystyle{x_4}\), \(\displaystyle{x_6}\). Столбцы №3, №4 и №6, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки. Нулевые строки уберём и продолжим обратный ход метода Гаусса. Матрица до черты должна стать единичной.

Из последней матрицы получим общее решение: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4+\frac{99}{5}x_6;\\ & x_2=\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4-\frac{3}{5}x_6;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=-4x_6;\\ & x_6\in R. \end{aligned}\right.}\).

Перейдем к нахождению ФСР данной СЛАУ. Для этого запишем таблицу, в первой строке которой перечислим переменные. Так как у нас три свободных переменных, то под свободными переменными запишем матрицу третьего порядка.

Теперь осталось заполнить пустые ячейки так же, как и в задаче №1 этой темы:

Из второй, третьей и четвёртой строк таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: \(\displaystyle{X=\left(\begin{array} {c} x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4 \\x_5 \\x_6 \end{array}\right)}\). В том же порядке, в котором в матрице \(\displaystyle{X}\) перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:

Совокупность \(\displaystyle{\varphi_1=\left(\begin{array} {c} -13/5 \\1/5 \\1 \\0\\0\\0 \end{array}\right)}\), \(\displaystyle{\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -4/5 \\-2/5 \\0 \\1\\0\\0 \end{array}\right)}\), \(\displaystyle{\varphi_3=\left(\begin{array} {c} 99/5 \\-3/5 \\0 \\0\\-4\\1 \end{array}\right)}\) и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: \(\displaystyle{X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2+C_3\cdot \varphi_3}\). Или в развёрнутом виде:

Здесь \(\displaystyle{C_1}\), \(\displaystyle{C_2}\) и \(\displaystyle{C_3}\) – произвольные постоянные.

Решение

В принципе, эту систему можно решить так же, как и предыдущие. Однако для разнообразия пойдём несколько иным путём. Вычислим определитель матрицы системы:

О чём говорит тот факт, что определитель матрицы системы не равен нулю? Данный определитель есть минор третьего порядка как матрицы системы \(\displaystyle{A}\), так и расширенной матрицы системы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\). При этом миноры четвёртого порядка для указанных матриц составить невозможно. Это значит, что \(\displaystyle{\rang{A} = \rang\widetilde{A} = 3}\).

Количество переменных тоже равно 3, посему согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли заданная система имеет единственное решение. Если однородная СЛАУ имеет единственное решение, то это – нулевое решение, т.е. \(\displaystyle{x_1=x_2=x_3=0}\).