Первый замечательный предел

Решение

Пункт №1

Так как \(\displaystyle{\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\), то:

Так как \(\displaystyle{\lim_{\alpha\to{0}}\cos{0}=1}\) и \(\displaystyle{\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1}\), то:

Формула доказана. Более строгое доказательство (с обоснованием равенства \(\displaystyle{\lim_{\alpha\to{0}}\cos\alpha=1}\)) можно посмотреть в решебнике Демидовича: задача 1989.

Пункт №2

Сделаем замену \(\displaystyle{\alpha=\sin{y}}\). Поскольку \(\displaystyle{\sin{0}=0}\), то из условия \(\displaystyle{\alpha\to{0}}\) имеем \(\displaystyle{y\to{0}}\). Кроме того, существует окрестность нуля, в которой \(\displaystyle{\arcsin\alpha=\arcsin(\sin{y})=y}\), поэтому:

Равенство \(\displaystyle{\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1}\) доказано.

Пункт №3

Сделаем замену \(\displaystyle{\alpha=\tg{y}}\). Поскольку \(\displaystyle{\tg{0}=0}\), то условия \(\displaystyle{\alpha\to{0}}\) и \(\displaystyle{y\to{0}}\) эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой \(\displaystyle{\arctg\alpha=\arctg\tg{y}=y}\), поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:

Равенство \(\displaystyle{\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1}\) доказано. Доказанные формулы часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Решение

Имеем \(\displaystyle{\lim_{x\to{2}}\frac{x^2-4}{x+7}=\frac{2^2-4}{2+7}=0}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{2}}\sin\frac{x^2-4}{x+7}=\sin{0}=0}\), т.е. и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю. Следовательно, заданный предел имеет вид (2), где \(\displaystyle{f(x)=\frac{x^2-4}{x+7}}\), причём \(\displaystyle{f(x)\to{0}}\) при \(\displaystyle{x\to{2}}\). Исходя из формулы (2) имеем

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\sin{3x}=0}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}x^2=0}\), то мы имеем дело с неопределенностью вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Подгоним заданный предел под формулу (2):

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\sin{5x}=0}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\tg{8x}=0}\), то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Подгоним заданный предел под форму первого замечательного предела и следствия (3) из него:

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}(\cos{5x}-\cos^3{5x})=1-1=0}\) (напомню, что \(\displaystyle{\cos{0}=1}\)) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}x^2=0}\), то мы имеем дело с неопределённостью вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам или тангенсам. Сделать это можно таким преобразованием:

Вернемся к пределу:

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}(1-\cos{6x})=0}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}(1-\cos{2x})=0}\), то мы имеем дело с неопределенностью \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Раскроем ее с помощью первого замечательного предела. Для этого перейдем от косинусов к синусам. Так как \(\displaystyle{1-\cos{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}}\), то:

Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:

Решение

Подробные пояснения были даны ранее, здесь же просто отметим, что вновь наличествует неопределенность \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Перейдем от косинусов к синусам, используя формулу

Используя указанную формулу, получим:

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}(\tg{x}-\sin{x})=0}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}x^3=0}\), то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Раскроем её следующим образом:

Аналогичную задачу можно посмотреть в решебнике Демидовича: см. задачу 1991

Решение

Наличие неопределённости \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\) вкупе с тригонометрией намекает на использование первого замечательного предела. Приведём косинус к синусу, а затем используем первый замечательный:

Решение

Вновь имеем неопределенность вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю. Проще всего ввести переменную \(\displaystyle{t=x-3}\). Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: \(\displaystyle{t=\frac{x-3}{2}}\). Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как \(\displaystyle{x\to{3}}\), то \(\displaystyle{t\to{0}}\).

Решение

Снова наличествует неопределенность \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю. Проще всего ввести переменную \(\displaystyle{t=\frac{\pi}{2}-x}\). Так как \(\displaystyle{x\to\frac{\pi}{2}}\), то \(\displaystyle{t\to{0}}\):

К слову, решение стандартных примеров довольно-таки вариативно. Например, можно было поступить так:

Решение

Несмотря на наличие привычной неопределённости \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\) и тригонометрии, в данном случае мы не станем использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в задачах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.

Аналогичный способ решения есть и в задаче 1991. Что же касается второго предела, то как и в предыдущих задачах этого раздела, мы имеем неопределённость вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Отчего она возникает? Она возникает потому, что \(\displaystyle{\tg\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}}\) и \(\displaystyle{2\cos\frac{2\pi}{3}=-1}\). Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см. предыдущие задачи на этой странице). Однако в данной задаче в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной \(\displaystyle{t=x-\frac{2\pi}{3}}\) несложно осуществить.

Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.