Решение
Нам необходимо вычислить производную \(y'=\left(9\arctg^{12}(4\ln x) \right)'\). Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:
\[
y'=\left(9\arctg^{12}(4\ln x) \right)'=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)' \tag {2.1}
\]
Теперь обратимся к выражению \(\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)'\). Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: \(\left(\left(\arctg(4\ln x) \right)^{12}\right)'\). Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. \(\left(u^\alpha \right)'=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u'\). В эту формулу подставим \(u=\arctg(4\ln x)\) и \(\alpha=12\):
\[
\left(\left(\arctg(4\ln x) \right)^{12}\right)'
=12\cdot\left(\arctg(4\ln x) \right)^{12-1}\cdot\left(\arctg(4\ln x)\right)'
=12\cdot\left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot\left(\arctg(4\ln x)\right)'
\]
Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:
\[
y'=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\ln x) \right)'=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)'=
108\cdot\left(\arctg(4 \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\ln{x}))'
\tag {2.2}
\]
Примечание
В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу \((\arctg u)'=\frac{1}{1+u^2}\cdot u'\) вместо формулы \(\left(u^\alpha \right)'=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u'\). Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции. Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения \(\arctg^{12}(4\ln{x})\), представьте, что вы считаете значение выражения \(\arctg^{12}(4\ln{x})\) при каком-то значении \(x\).
Сначала вы посчитаете значение \(\ln{x}\). Затем умножите полученный результат на 4, получив \(4\ln{x}\). Теперь от этого результата берём арктангенс, получив \(\arctg(4\ln{x})\). Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая \(\arctg^{12}(4\ln{x})\). Последнее действие, – т.е. возведение в степень 12, – и будет внешней функцией. И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).
Теперь нужно найти \((\arctg(4\ln x))'\). Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё \(u=4\ln x\):
\[
(\arctg(4\ln x))'
=\frac{1}{1+(4\ln x)^2}\cdot (4\ln x)'
=\frac{1}{1+16\ln^2{x}}\cdot (4\ln x)'
\]
Равенство (2.2) теперь станет таким:
\[
y'=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\ln x) \right)'=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)'=\\
=108\cdot\left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\ln x))'
=108\cdot \left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\ln x)'
\tag {2.3}
\]
Осталось найти \((4\ln x)'\). Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: \((4\cdot \ln x)'=4\cdot (\ln x)'\). Для того, чтобы найти \((\ln x)'\), используем формулу №8, подставив в нее \(u=x\): \((\ln x)'=\frac{1}{x}\cdot x'\). Так как \(x'=1\), то получим:
\[(\ln x)'=\frac{1}{x}\cdot x'=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}\]
Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:
\[
y'=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\ln x) \right)'=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\ln x) \right)'=\\
=108\cdot\left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\ln x))'=108\cdot \left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)'=\\
=108\cdot \left(\arctg(4\ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot 4\cdot \frac{1}{x}
=\frac{432\arctg^{11}(4\ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}.
\]
Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.
