AMKbook.Net Задачи должны иметь решение

Производная сложной функции.

Все задачи этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Производная сложной функции

Пусть 1) функция \(\displaystyle{u=\varphi(x)}\) имеет в некоторой точке \(\displaystyle{x_0}\) производную \(\displaystyle{u_{x}'=\varphi'(x_0)}\), 2) функция \(\displaystyle{y=f(u)}\) имеет в соответствующей точке \(\displaystyle{u_0=\varphi (x_0)}\) производную \(\displaystyle{y_{u}'=f'(u)}\). Тогда сложная функция \(\displaystyle{y=f\left(\varphi(x)\right)}\) в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций \(\displaystyle{f(u)}\) и \(\displaystyle{\varphi (x)}\):

\[ \left( f(\varphi (x))\right)' =f_{u}'\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi'(x_0) \]

или, в более короткой записи: \(\displaystyle{y_{x}'=y_{u}'\cdot u_{x}'}\).

Задача №1

Условие

Найти производную функции \(\displaystyle{y=e^{\sin{3x}}}\).

Решение

Имеем функцию \(\displaystyle{e^{u}}\), где \(\displaystyle{u=\sin{3x}}\). Применяя правило дифференцирования сложной функции и учитывая формулу №9 из таблицы производных, получим:

\[ y' =\left(e^u\right)' =e^u\cdot{u'_x} =e^{\sin{3x}}\cdot\left(\sin{3x}\right)' \]

Теперь нужно найти производную функции \(\displaystyle{\sin{3x}}\). Мы имеем функцию \(\displaystyle{\sin{u}}\), где \(\displaystyle{u=3x}\). Используем формулу №9 из таблицы производных и продолжим записанное выше равенство:

\[ e^{\sin{3x}}\cdot\left(\sin{3x}\right)' =e^{\sin{3x}}\cdot\cos{3x}\cdot(3x)' \]

Так как \(\displaystyle{x'=1}\), то \(\displaystyle{(3x)'=3\cdot{x'}=3}\). Продолжим цепочку преобразований:

\[ e^{\sin{3x}}\cdot\cos{3x}\cdot(3x)' =e^{\sin{3x}}\cdot\cos{3x}\cdot{3} =3\cos{3x}\cdot{e}^{\sin{3x}} \]

Обычно промежуточные выкладки пропускают, записывая нахождение производной в одну строку:

\[ y'=\left(e^{\sin{3x}}\right)' =e^{\sin{3x}}\cdot\left(\sin{3x}\right)' =e^{\sin{3x}}\cdot\cos{3x}\cdot(3x)' =e^{\sin{3x}}\cdot\cos{3x}\cdot{3} =3\cos{3x}\cdot{e}^{\sin{3x}} \]

Ответ:

\(\displaystyle{3\cos{3x}\cdot{e}^{\sin{3x}}}\).

Задача №2

Условие

Найти производную функции \(\displaystyle{y=5\arctg^{3}(4\ln {x})}\).

Решение

Для начала отметим, что константу (т.е. число 5) можно вынести за знак производной:

\[ y'=\left(5\arctg^{3}(4\ln {x}) \right)' =5\cdot\left(\arctg^{3}(4\ln {x}) \right)' \]

Нужно найти производную функции \(\displaystyle{u^3}\), где \(\displaystyle{u=\arctg(4\ln{x})}\). Для этой цели используем формулу №2 из таблицы производных. Учтём, что степень \(\displaystyle{\alpha=3}\):

\[ 5\cdot\left(\arctg^{3}(4\ln {x}) \right)' =5\cdot{3}\cdot\arctg^{3-1}(4\ln{x})\cdot\left(\arctg(4\ln{x})\right)' =15\cdot\arctg^{2}(4\ln{x})\cdot\left(\arctg(4\ln{x})\right)' \]

Для нахождения \(\displaystyle{\left(\arctg(4\ln{x})\right)'}\) применим формулу №19 из таблицы производных, подставив в неё \(\displaystyle{u=4\ln{x}}\):

\[ 15\cdot\arctg^{2}(4\ln{x})\cdot\left(\arctg(4\ln{x})\right)' =15\cdot\arctg^{2}(4\ln{x})\cdot\frac{1}{1+(4\ln{x})^2}\cdot(4\ln{x})' \]

Так как \(\displaystyle{(4\ln{x})'=4\cdot\left(\ln{x}\right)'}\) и \(\displaystyle{\left(\ln{x}\right)=\frac{1}{x}\cdot{x'}=\frac{1}{x}}\) (см. формулу №8 из таблицы производных), то получим:

\[ 15\cdot\arctg^{2}(4\ln{x})\cdot\frac{1}{1+16\ln^2{x}}\cdot(4\ln{x})' =15\cdot\arctg^{2}(4\ln{x})\cdot\frac{1}{1+16\ln^2{x}}\cdot{4}\cdot\frac{1}{x} =\frac{60\arctg^{2}(4\ln{x})}{x\left(1+16\ln^2{x}\right)} \]

Полное решение без пояснений будет таким:

\[ y'=\left(5\arctg^{3}(4\ln {x}) \right)' =5\cdot\left(\arctg^{3}(4\ln {x}) \right)'=\\ =15\arctg^{2}(4\ln{x})\cdot\frac{1}{1+(4\ln{x})^2}\cdot(4\ln{x})' =15\arctg^{2}(4\ln{x})\cdot\frac{1}{1+16\ln^2{x}}\cdot{4}\cdot\frac{1}{x} =\frac{60\arctg^{2}(4\ln{x})}{x\left(1+16\ln^2{x}\right)} \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{60\arctg^{2}(4\ln{x})}{x\left(1+16\ln^2{x}\right)}}\).

Задача №3

Условие

Найти \(\displaystyle{y'}\), если \(\displaystyle{y=\sqrt[4]{\sin^3(2x+1)}}\).

Решение

Для начала немного преобразим заданную функцию, выразив радикал в виде степени: \(\displaystyle{y=\sin^{\frac{3}{4}}(2x+1)}\). Далее применим формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё \(\displaystyle{u=\sin(2x+1)}\) и \(\displaystyle{\alpha=\frac{3}{4}}\). В процессе решения учтём, что \(\displaystyle{(2x+1)'=2\cdot{x'}+0=2}\).

\[ y' =\left(\sin^{\frac{3}{4}}(2x+1)\right)' =\frac{3}{4}\cdot\sin^{\frac{3}{4}-1}(2x+1)\cdot\left(\sin(2x+1)\right)'=\\ =\frac{3}{4}\cdot\sin^{-\frac{1}{4}}(2x+1)\cdot\cos(2x+1)\cdot(2x+1)' =\frac{3\cos(2x+1)}{2\sqrt[4]{\sin(x+1)}} \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{3\cos(2x+1)}{2\sqrt[4]{\sin(x+1)}}}\).

Задача №4

Условие

Найти \(\displaystyle{y'}\), если \(\displaystyle{y=7\ln\sin^3{x}}\).

Решение

Сразу стоит отметить, что перед нахождением производной функцию хорошо бы слегка упростить:

\[ y=7\ln\sin^3{x} =7\cdot{3}\ln\sin{x} =21\ln\sin{x} \]
\[ y' =\left(21\ln\sin{x}\right)' =21\cdot\left(\ln\sin{x}\right)' =21\cdot\frac{1}{\sin{x}}\cdot(\sin{x})' =\frac{21}{\sin{x}}\cdot\cos{x} =21\ctg{x} \]

Ответ:

\(\displaystyle{21\ctg{x}}\).