Матрицы. Виды матриц. Основные термины.

В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Содержание темы

Определение матрицы и её элемента. Обозначения. (матрица, размер матрицы, элемент матрицы, равные матрицы).
Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
Виды матриц в зависимости от значений их элементов. (нулевая матрица, трапециевидная матрица, ступенчатая матрица, нижняя треугольная матрица, верхняя треугольная матрица, диагональная матрица, единичная матрица).

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

Матрица – это таблица из \(\displaystyle{m}\) строк и \(\displaystyle{n}\) столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица \(\displaystyle{\left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)}\) содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица \(\displaystyle{\left(\begin{array} {cccc} a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end{array} \right)}\) содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:

\[ \left( \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right);\;\; \left[ \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right]; \;\; \left \Vert \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right \Vert \]

Произведение \(\displaystyle{m\times{n}}\) называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера \(\displaystyle{5\times{3}}\). Матрица \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)}\) имеет размер \(\displaystyle{3 \times{2}}\).

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\), \(\displaystyle{C}\) и так далее. Например, \(\displaystyle{B=\left( \begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)}\). Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы \(\displaystyle{B}\) содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы \(\displaystyle{A}\) обозначаются \(\displaystyle{a_{ij}}\). Двойной индекс \(\displaystyle{ij}\) содержит информацию о положении элемента в матрице. Число \(\displaystyle{i}\) – это номер строки, а число \(\displaystyle{j}\) – номер столбца, на пересечении которых находится элемент \(\displaystyle{a_{ij}}\). Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы \(\displaystyle{ A=\left( \begin{array}{cccccc} 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end{array} \right) }\) расположен элемент \(\displaystyle{a_{25}=59}\):

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент \(\displaystyle{a_{11}=51}\); на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент \(\displaystyle{a_{32}=-15}\) и так далее. Замечу, что запись \(\displaystyle{a_{32}}\) читается как "а три два", но не "а тридцать два".

Для сокращённого обозначения матрицы \(\displaystyle{A}\), размер которой равен \(\displaystyle{m\times{n}}\), используется запись \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\). Нередко используется и такая запись:

\[ A_{m\times{n}}=(a_{ij}) \]

Здесь \(\displaystyle{(a_{ij})}\) указывает на обозначение элементов матрицы \(\displaystyle{A}\), т.е. говорит о том, что элементы матрицы \(\displaystyle{A}\) обозначаются как \(\displaystyle{a_{ij}}\). В развёрнутом виде матрицу \(\displaystyle{A_{m\times {n}}=(a_{ij})}\) можно записать так:

\[ A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \]

Введём еще один термин – равные матрицы.

Две матрицы одинакового размера \(\displaystyle{A_{m\times n}=(a_{ij})}\) и \(\displaystyle{B_{m\times n}=(b_{ij})}\) называются равными, если их соответствующие элементы равны, т.е. \(\displaystyle{a_{ij}=b_{ij}}\) для всех \(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\) и \(\displaystyle{j=\overline{1,n}}\).

Пояснение к записи \(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\)

Запись "\(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\)" означает, что параметр \(\displaystyle{i}\) изменяется от 1 до m. Например, запись \(\displaystyle{i=\overline{1,5}}\) говорит о том, что параметр \(\displaystyle{i}\) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)}\) не равна матрице \(\displaystyle{B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)}\), поскольку матрица \(\displaystyle{A}\) имеет размер \(\displaystyle{3\times 2}\), а размер матрицы \(\displaystyle{B}\) составляет \(\displaystyle{2\times{2}}\). Также матрица \(\displaystyle{A}\) не равна матрице \(\displaystyle{C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)}\), поскольку \(\displaystyle{a_{21}\neq c_{21}}\) (т.е. \(\displaystyle{0\neq 98}\)). А вот для матрицы \(\displaystyle{F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)}\) можно смело записать \(\displaystyle{A=F}\) поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{F}\) совпадают.

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Пусть задана некая матрица \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\). Если \(\displaystyle{m=1}\) (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка. Если же \(\displaystyle{n=1}\) (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец. Например, \(\displaystyle{\left( \begin{array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end{array} \right)}\) – матрица-строка, а \(\displaystyle{\left( \begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)}\) – матрица-столбец.

Если для матрицы \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\) верно условие \(\displaystyle{m\neq{n}}\) (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что \(\displaystyle{A}\) – прямоугольная матрица. Например, матрица \(\displaystyle{\left(\begin{array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end{array} \right)}\) имеет размер \(\displaystyle{2\times{4}}\), т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Если для матрицы \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\) верно условие \(\displaystyle{m=n}\) (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что \(\displaystyle{A}\) – квадратная матрица порядка \(\displaystyle{n}\). Например, \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cc} -1 & -2 \\ 5 & 9 \end{array} \right)}\) – квадратная матрица второго порядка; \(\displaystyle{\left( \begin{array} {ccc} -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right)}\) – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу \(\displaystyle{A_{n\times{n}}}\) можно записать так:

\[ A_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \]

Говорят, что элементы \(\displaystyle{a_{11}}\), \(\displaystyle{a_{22}}\), \(\displaystyle{\ldots}\), \(\displaystyle{a_{nn}}\) находятся на главной диагонали матрицы \(\displaystyle{A_{n\times{n}}}\). Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы \(\displaystyle{a_{1n}}\), \(\displaystyle{a_{2 \; n-1}}\), \(\displaystyle{\ldots}\), \(\displaystyle{a_{n1}}\) находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побочными диагональными элементами. Для примера рассмотрим такую матрицу:

\[ C=\left(\begin{array}{cccc} \boldblue{2} & -2 & 9 & \boldgreen{1}\\ 5 & \boldblue{9} & \boldgreen{8} & 0\\ 1 & \boldgreen{0} & \boldblue{4} & -7 \\ \boldgreen{-4} & -9 & 5 & \boldblue{6}\end{array}\right) \]

Элементы \(\displaystyle{c_{11}=2}\), \(\displaystyle{c_{22}=9}\), \(\displaystyle{c_{33}=4}\), \(\displaystyle{c_{44}=6}\), выделенные синим цветом, являются главными диагональными элементами; элементы \(\displaystyle{c_{14}=1}\), \(\displaystyle{c_{23}=8}\), \(\displaystyle{c_{32}=0}\), \(\displaystyle{c_{41}=-4}\), выделенные зелёным цветом, – побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается \(\displaystyle{\tr{A}}\):

\[ \tr{A} = a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}\]

Например, для матрицы \(\displaystyle{C=\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end{array}\right)}\) имеем:

\[ \tr{C} = 2+9+4+6 = 21\]

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы \(\displaystyle{B=\left( \begin{array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end{array} \right)}\) главными диагональными элементами будут \(\displaystyle{b_{11}=2}\), \(\displaystyle{b_{22}=-9}\), \(\displaystyle{b_{33}=4}\).

Виды матриц в зависимости от значений их элементов.

Если все элементы матрицы \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\) равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой \(\displaystyle{O}\). Например, \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)}\), \(\displaystyle{\left( \begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)}\) – нулевые матрицы.

Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы \(\displaystyle{A}\), т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:

\[ W=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end{array}\right) \]

Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. \(\displaystyle{w_{24}=12}\), а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. \(\displaystyle{w_{32}=-9}\).

Матрица \(\displaystyle{A_{m\times{n}}=\left(a_{ij}\right)}\) называется ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:

Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если \(\displaystyle{a_{1k_1}}\), \(\displaystyle{a_{2k_2}}\), ..., \(\displaystyle{a_{rk_r}}\) – ведущие элементы ненулевых строк матрицы \(\displaystyle{A}\), то \(\displaystyle{k_1\lt{k_2}\lt\ldots\lt{k_r}}\).

Примеры ступенчатых матриц:

\[ \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right);\; \left(\begin{array}{cccc} 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end{array}\right). \]

Для сравнения: матрица \(\displaystyle{Q=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end{array}\right)}\) не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках \(\displaystyle{q_{24}=7}\) и \(\displaystyle{q_{32}=10}\) имеют номера \(\displaystyle{k_2=4}\) и \(\displaystyle{k_3=2}\). Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие \(\displaystyle{k_2\lt{k_3}}\), которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end{array}\right)}\).

Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной, если для ведущих элементов \(\displaystyle{a_{1k_1}}\), \(\displaystyle{a_{2k_2}}\), ..., \(\displaystyle{a_{rk_r}}\) выполнены условия \(\displaystyle{k_1=1}\), \(\displaystyle{k_2=2}\),..., \(\displaystyle{k_r=r}\), т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

\[ A_{m\times{n}} =\left(\begin{array} {cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1r} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2r} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{rr} & \ldots & a_{rn}\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end{array}\right) \]

Примеры трапециевидных матриц:

\[ \left(\begin{array}{cccccc} 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right);\; \left(\begin{array}{cccc} 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end{array}\right). \]

Опишем ещё несколько типов квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей. Например, \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)}\) – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, \(\displaystyle{\left( \begin{array} {ccc} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)}\) – тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей. Например, \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)}\) – нижняя треугольная матрица. Элементы, расположенные под или на главной диагонали могут быть нулевыми или отличными от нуля, – это неважно. Например, \(\displaystyle{\left( \begin{array} {ccc} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right)}\) и \(\displaystyle{\left( \begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)}\) – тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)}\). Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, \(\displaystyle{\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}\) – единичная матрица четвёртого порядка; \(\displaystyle{\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)}\) – единичная матрица второго порядка.