Пусть задана квадратная матрица второго порядка \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)}\). Определитель этой матрицы (определитель второго порядка) вычисляется по следующей формуле:
Далее, пусть задана квадратная матрица третьего порядка \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)}\). Определитель этой матрицы (определитель третьего порядка) вычисляется так:
Числа 2 и 3 называются индексами элемента \(\displaystyle{a_{23}}\). Читается эта запись как "а два три". Именно "два три", но не "двадцать три"! Это принципиальный момент. Первый индекс, т.е. число 2, говорит о том, что нужный нам элемент находится во строке №2. Второй индекс, т.е. число 3, говорит о том, что требуемый элемент расположен в столбце №3. Итак, \(\displaystyle{a_{23}}\) – это элемент, расположенный на пересечении второй строки и третьего столбца. Например, для определителя \(\displaystyle{\left| \begin{array} {cccc} 1 & -3 & 15 & -89 \\ 5 & -9 & 91 & -10 \\ 9 & 5 & 0 & -2 \\ -7 & -6 & -96 & 25 \end{array} \right|}\) имеем: \(\displaystyle{a_{23}=91}\). Аналогично, на пересечении третьей строки и четвёртого столбца стоит элемент \(\displaystyle{a_{34}}\). Для заданного выше определителя имеем: \(\displaystyle{a_{34}=-2}\).
Вычислить определитель \(\displaystyle{\left| \begin{array} {cc} 5 & -4 \\ 7 & 6 \end{array} \right|}\).
Имеем определитель второго порядка. Здесь нужно использовать формулу (1). В нашем случае \(\displaystyle{a_{11}=5}\), \(\displaystyle{a_{12}=-4}\), \(\displaystyle{a_{21}=7}\) и \(\displaystyle{a_{22}=6}\). Подставим эти данные в формулу (1):
Решить неравество \(\displaystyle{\left| \begin{array} {cc} 2 & 3x \\ -4 & -5 \end{array} \right| \gt 21}\).
Чтобы раскрыть определитель второго порядка, стоящий в левой части заданного неравенства, используем формулу (1). Подставим в эту формулу \(\displaystyle{a_{11}=2}\), \(\displaystyle{a_{12}=3x}\), \(\displaystyle{a_{21}=-4}\) и \(\displaystyle{a_{22}=-5}\):
Теперь заданное в условии неравенство станет таким: \(\displaystyle{-10+12x \gt 21}\). Отсюда следует, что \(\displaystyle{12x \gt 31}\), \(\displaystyle{x \gt \frac{31}{12}}\).
Вычислить определитель \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -3 & 2 & -5 \\ 10 & 4 & 7\\ 6 & -8 & -9 \end{array} \right|}\).
Мы имеем определитель третьего порядка. Чтобы вычислить его, используем формулу (2). В эту формулу мы подставим \(\displaystyle{a_{11}=-3}\), \(\displaystyle{a_{12}=2}\), \(\displaystyle{a_{13}=-5}\), \(\displaystyle{a_{21}=10}\), \(\displaystyle{a_{22}=4}\), \(\displaystyle{a_{23}=7}\), \(\displaystyle{a_{31}=6}\), \(\displaystyle{a_{32}=-8}\), \(\displaystyle{a_{33}=-9}\).