Высшая математика » Матрицы и определители » Определители. Их свойства и методы вычисления » Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Примеры.

Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Примеры вычисления определителей второго и третьего порядков.

Пусть задана квадратная матрица второго порядка \(A=\left( \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)\). Определитель этой матрицы (определитель второго порядка) вычисляется по следующей формуле:

\[ \begin{equation} \Delta A=\left| \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21} \end{equation} \]

Далее, пусть задана квадратная матрица третьего порядка \(A=\left( \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)\). Определитель этой матрицы (определитель третьего порядка) вычисляется так:

\[ \begin{equation} \begin{aligned} & \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13}-\\ & -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11} \end{aligned} \end{equation} \]

Что значит запись, например, \(a_{23}\)?

Числа 2 и 3 называются индексами элемента \(a_{23}\). Читается эта запись как "а два три". Именно "два три", но не "двадцать три"! Это принципиальный момент. Первый индекс, т.е. число 2, говорит о том, что нужный нам элемент находится во второй строке. Второй индекс, т.е. число 3, говорит о том, что требуемый элемент расположен в третьем столбце. Итак, \(a_{23}\) – это элемент, расположенный на пересечении второй строки и третьего столбца. Например, для определителя \(\left| \begin{array} {cccc} 1 & -3 & 15 & -89 \\ 5 & -9 & 91 & -10 \\ 9 & 5 & 0 & -2 \\ -7 & -6 & -96 & 25 \end{array} \right|\) имеем: \(a_{23}=91\). Аналогично, на пересечении третьей строки и четвёртого столбца стоит элемент \(a_{34}\). Для заданного выше определителя имеем: \(a_{34}=-2\).

Для определителей четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели формулы по типу (1) и (2). Один из методов вычисления определителей высших порядков – следствие из теоремы Лапласа, которое позволяет разложить определитель по элементам строки или столбца.

Задача №1

Условие

Вычислить определитель \(\left| \begin{array} {cc} 5 & -4 \\ 7 & 6 \end{array} \right|\).

Решение

Имеем определитель второго порядка. Здесь нужно использовать формулу (1). В нашем случае \(a_{11}=5\), \(a_{12}=-4\), \(a_{21}=7\) и \(a_{22}=6\). Подставим эти данные в формулу (1):

\[ \left| \begin{array} {cc} 5 & -4 \\ 7 & 6 \end{array} \right|= 5\cdot 6-(-4)\cdot 7=30+28=58. \]

Ответ:

\(\left| \begin{array} {cc} 5 & -4 \\ 7 & 6 \end{array} \right|=58\).

Задача №2

Условие

Решить неравество \(\left| \begin{array} {cc} 2 & 3x \\ -4 & -5 \end{array} \right| \gt 21\).

Решение

Чтобы раскрыть определитель второго порядка, стоящий в левой части заданного неравенства, используем формулу (1). Подставим в эту формулу \(a_{11}=2\), \(a_{12}=3x\), \(a_{21}=-4\) и \(a_{22}=-5\):

\[ \left| \begin{array} {cc} 2 & 3x \\ -4 & -5 \end{array} \right|= 2\cdot (-5)-3x\cdot (-4)=-10+12x. \]

Теперь заданное в условии неравенство станет таким: \(-10+12x \gt 21\). Отсюда следует, что \(12x \gt 31\), \(x \gt \frac{31}{12}\).

Ответ:

\(x \gt \frac{31}{12}\).

Задача №3

Условие

Вычислить определитель \(\left| \begin{array} {ccc} -3 & 2 & -5 \\ 10 & 4 & 7\\ 6 & -8 & -9 \end{array} \right|\).

Решение

Мы имеем определитель третьего порядка. Чтобы вычислить его, используем формулу (2). В эту формулу мы подставим \(a_{11}=-3\), \(a_{12}=2\), \(a_{13}=-5\), \(a_{21}=10\), \(a_{22}=4\), \(a_{23}=7\), \(a_{31}=6\), \(a_{32}=-8\), \(a_{33}=-9\).

\[ \begin{aligned} & \left| \begin{array} {ccc} -3 & 2 & -5 \\ 10 & 4 & 7\\ 6 & -8 & -9 \end{array} \right|= -3\cdot 4\cdot (-9)+2\cdot 7 \cdot 6+10\cdot (-8)\cdot (-5)-(-5)\cdot 4\cdot 6 -2\cdot 10\cdot (-9)-7\cdot (-8)\cdot (-3)=\\ & = 108+84+400+120+180-168=724. \end{aligned} \]

Ответ:

\(\left| \begin{array} {ccc} -3 & 2 & -5 \\ 10 & 4 & 7\\ 6 & -8 & -9 \end{array} \right|=724\).