Основные понятия. Запись нескольких первых членов ряда. Свойства числовых рядов.

Понятие числового ряда. Общий член ряда.

Пусть задана некая бесконечная последовательность чисел: \(\displaystyle{\{u_n\}}\): \(\displaystyle{u_1}\), \(\displaystyle{u_2}\), \(\displaystyle{u_3}\),..., \(\displaystyle{u_n}\),... .

Бесконечная сумма \(\displaystyle{u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots}\), составленная из элементов числовой последовательности \(\displaystyle{\{u_n\}}\), называется числовым рядом.

Числа \(\displaystyle{u_1}\), \(\displaystyle{u_2}\), \(\displaystyle{u_3}\) и т.д. именуют членами ряда. Например, \(\displaystyle{u_1}\) – первый член ряда, \(\displaystyle{u_2}\) – второй член ряда, \(\displaystyle{u_{78}}\) – семьдесят восьмой член ряда. Выражение \(\displaystyle{u_n}\) называют общим членом ряда.

Для примера рассмотрим последовательность \(\displaystyle{\left\{\frac{3^n}{5n+9}\right\}}\) и составим соответствующий числовой ряд. Чтобы не разрывать изложение, данный пример я скрыл под примечание.

Пример числового ряда

Пусть нам задана последовательность \(\displaystyle{\left\{\frac{3^n}{5n+9}\right\}}\). Общий член этой последовательности \(\displaystyle{u_n=\frac{3^n}{5n+9}}\). Запишем для начала несколько первых членов. Подставляя \(\displaystyle{n=1}\) в равенство \(\displaystyle{u_n=\frac{3^n}{5n+9}}\), получим первый член данной последовательности:

\[ u_1 =\frac{3^1}{5\cdot 1+9} =\frac{3}{14} \]

Аналогично, подставляя \(\displaystyle{n=2}\) и \(\displaystyle{n=3}\) получим соответственно второй и третий члены последовательности:

\[ u_2=\frac{3^2}{5\cdot 2 +9}=\frac{9}{19}; \; u_3=\frac{3^3}{5\cdot 3+9}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}. \]

Этот процесс можно продолжить, находя \(\displaystyle{u_4}\), \(\displaystyle{u_5}\) и т.д. Теперь запишем бесконечную сумму, состоящую из элементов данной последовательности:

\[ u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots =\frac{3}{14}+\frac{9}{19}+\ldots+\frac{3^n}{5n+9}+\ldots \]

Мы получили пример числового ряда. Числа \(\displaystyle{u_1=\frac{3}{14}}\), \(\displaystyle{u_2=\frac{9}{19}}\) – это первый и второй члены числового ряда; а \(\displaystyle{u_n=\frac{3^n}{5n+9}}\) – это общий член данного ряда.

Однако чаще всего развёрнутую запись \(\displaystyle{u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots}\) не используют. Её сокращают в такую форму: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots \]

Если для вас знак \(\displaystyle{\sum}\) требует пояснений, то советую прочесть материал, посвящённый сокращённой записи сумм.

Вовсе не обязательно нижний предел суммирования будет равен единице. Он может равняться любому целому числу, просто в большинстве случаев начальное значение индекса суммирования берут равным \(\displaystyle{n=1}\). Впрочем, нижний предел суммы всегда можно изменить (см. задачу №3).

Задача №1

Условие

Записать первые четыре члена ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n\cdot\sqrt{n}}}\). Указать общий член ряда.

Решение

Чтобы записать несколько первых членов ряда, достаточно подставить в выражение \(\displaystyle{\frac{3^n}{n\cdot\sqrt{n}}}\), расположенное под знаком суммы, числа \(\displaystyle{n=1}\), \(\displaystyle{n=2}\), \(\displaystyle{n=3}\) и т.д.:

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n\cdot\sqrt{n}} =\frac{3^1}{1\cdot\sqrt{1}}+\frac{3^2}{2\cdot\sqrt{2}}+\frac{3^3}{3\cdot\sqrt{3}}+\frac{3^4}{4\cdot\sqrt{4}}+\ldots =3+\frac{9}{2\sqrt{2}}+\frac{9}{\sqrt{3}}+\frac{81}{8}+\ldots \]

Мы имеем ряд вида \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\). Нижний предел суммирования нашего ряда равен \(\displaystyle{1}\), поэтому общий член ряда записан под знаком суммы. Вот он: \(\displaystyle{u_n=\frac{3^n}{n\cdot\sqrt{n}}}\). Соответственно, имеем \(\displaystyle{u_1=3}\), \(\displaystyle{u_2=\frac{9}{2\sqrt{2}}}\), \(\displaystyle{u_3=\frac{9}{\sqrt{3}}}\), \(\displaystyle{u_4=\frac{81}{8}}\).

Полагаю, сразу же возникнет вопрос: а что будет, если нижний предел суммирования не равен единице? Совпадёт ли выражение под знаком суммы с общим членом ряда? Ответ в общем случае отрицательный: скорее всего, не совпадёт. В задаче №2 рассмотрим, что же будет в этом случае. Впрочем, в подавляющем большинстве учебных примеров нижний предел суммирования берут равным именно единице.

Если известен общий член ряда, то легко записать член ряда с каким угодно номером, – достаточно лишь подставить вместо \(\displaystyle{n}\) требуемый номер. Гораздо сложнее обратная задача: по нескольким заданным первым членам ряда записать общий член, однако этому вопросу посвящена иная тема.

Кстати сказать, нам совершенно неважно, задан ли номер члена ряда конкретным числом или выражением. Например, член ряда с номером \(\displaystyle{n=k^2+3k-1}\) будет таким:

\[ u_{k^2+3k-1} =\frac{3^{k^2+3k-1}}{(k^2+3k-1)\cdot\sqrt{k^2+3k-1}} \]

А член ряда с номером \(\displaystyle{n+1}\) будет таким:

\[ u_{n+1}= \frac{3^{n+1}}{(n+1)\cdot\sqrt{n+1}} \]

Ответ:

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{3^n}{n\cdot\sqrt{n}}}\). Первые четыре члена ряда: \(\displaystyle{u_1=3}\), \(\displaystyle{u_2=\frac{9}{2\sqrt{2}}}\), \(\displaystyle{u_3=\frac{9}{\sqrt{3}}}\), \(\displaystyle{u_4=\frac{81}{4\sqrt{4}}}\).

Задача №2

Условие

Записать первые пять членов ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}}\). Указать общий член ряда.

Решение

Суммирование в нашем случае начинается с \(\displaystyle{n=3}\) (т.е. нижний предел суммирования равен 3), поэтому чтобы записать первые пять членов ряда нужно подставить \(\displaystyle{n=3}\), \(\displaystyle{n=4}\), \(\displaystyle{n=5}\), \(\displaystyle{n=6}\), \(\displaystyle{n=7}\) в выражение \(\displaystyle{\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}}\):

\[ \begin{aligned} & u_1=\frac{1}{(3-1)\ln(3-1)}=\frac{1}{2\ln 2};\\ & u_2=\frac{1}{(4-1)\ln(4-1)}=\frac{1}{3\ln 3};\\ & u_3=\frac{1}{(5-1)\ln(5-1)}=\frac{1}{4\ln 4};\\ & u_4=\frac{1}{(6-1)\ln(6-1)}=\frac{1}{5\ln 5};\\ & u_5=\frac{1}{(7-1)\ln(7-1)}=\frac{1}{6\ln 6}. \end{aligned} \]

Теперь нужно указать общий член ряда. Казалось бы, всё просто: вот он, этот общий член – стоит под знаком суммы. Просто перепишем и всё:

\[ u_n =\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)} \]

Однако такая формула некорректна. Чтобы это проиллюстрировать, давайте подставим в формулу \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}}\) число \(\displaystyle{n=4}\). Мы получим следующее:

\[ u_4=\frac{1}{(4-1)\ln(4-1)}=\frac{1}{3\ln 3} \]

Мы получили вовсе не то, что нужно! Четвёртый член ряда был найден ранее: \(\displaystyle{u_4=\frac{1}{5\ln 5}}\). Формула \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}}\) дала сбой. Почему? Ответ на данный вопрос прост: дело в том, что значение индекса суммирования (т.е. значение переменной \(\displaystyle{n}\)) не совпадает с номером члена ряда. И это неудивительно, ибо нумерация членов ряда начинается с единицы, а первое значение индекса \(\displaystyle{n=3}\). Поэтому под знаком суммы стоит вовсе не общий член ряда:

Заметьте, что значение индекса суммирования, которое мы подставляем в выражение \(\displaystyle{\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}}\), на 2 больше, чем номер члена ряда. Т.е. если номер равен \(\displaystyle{n}\), то в выражение \(\displaystyle{\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}}\) пойдёт число \(\displaystyle{n+2}\). Соответственно, общий член ряда имеет такой вид:

\[ u_n =\frac{1}{\left((n+2)-1\right)\ln\left((n+2)-1\right)} =\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)} \]

Вот теперь общий член ряда записан верно. Например, для \(\displaystyle{n=4}\) согласно найденной формуле получим:

\[ u_4 =\frac{1}{(4+1)\ln(4+1)} =\frac{1}{5\ln 5} \]

Можно, кстати, и исходный ряд переписать по-иному, начав суммирование при \(\displaystyle{n=1}\):

\[ \sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)} \]

Изменение нижнего предела суммирования (т.е. начального значения \(\displaystyle{n}\)) никоим образом не влияет на сам ряд. Изменяется лишь форма записи, но не содержание суммы. Можно было вообще изменить значение нижнего предела суммирования в самом начале решения.

Ну, а теперь немного о грустных реалиях: нередко на такие "мелочи" внимания не обращают. И автор книги или методички по высшей математике так и пишет: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}}\), ничуть не озаботясь тем, что эта формула даёт неверные результаты (а при \(\displaystyle{n=1}\) и \(\displaystyle{n=2}\) значение выражения \(\displaystyle{\frac{1}{(n-1)\ln(n-1)}}\) вообще не определено). И это может привести к печальным ошибкам: например, к сбоям в программе. Поэтому с нумерацией желательно обращаться крайне внимательно. При необходимости нижний предел суммирования можно поменять в самом начале решения.

Ответ:

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}}\). Первые пять членов: \(\displaystyle{u_1=\frac{1}{2\ln 2}}\), \(\displaystyle{u_2=\frac{1}{3\ln 3}}\), \(\displaystyle{u_3=\frac{1}{4\ln 4}}\), \(\displaystyle{u_4=\frac{1}{5\ln 5}}\), \(\displaystyle{u_5=\frac{1}{6\ln 6}}\).

Задача №3

Условие

Для ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{7n+5}{2^{4n-1}\cdot n}}\) изменить нижний предел суммирования на 1. Указать общий член ряда.

Решение

Нижний предел суммирования равен 4, т.е. начальное значение индекса \(\displaystyle{n}\) равно четырём. Введём новый индекс таким образом, чтобы его начальное значение равнялось 1. Этот новый индекс суммирования обозначим буквой \(\displaystyle{t}\).

Значения \(\displaystyle{n}\) на должны быть 3 больше, нежели значения \(\displaystyle{t}\), т.е. \(\displaystyle{n=t+3}\). Подставляем в \(\displaystyle{\frac{7n+5}{2^{4n-1}\cdot{n}}}\) вместо \(\displaystyle{n}\) выражение \(\displaystyle{t+3}\). При этом не забываем, что новый индекс \(\displaystyle{t}\) изменяется с 1:

\[\sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{7n+5}{2^{4n-1}\cdot{n}} =\sum\limits_{t=1}^{\infty}\frac{7(t+3)+5}{2^{4(t+3)-1}\cdot(t+3)} =\sum\limits_{t=1}^{\infty}\frac{7t+26}{2^{4t+11}\cdot (t+3)} \]

В принципе, полученное выражение \(\displaystyle{\sum\limits_{t=1}^{\infty}\frac{7t+26}{2^{4t+11}\cdot (t+3)}}\) можно так и оставить. Однако обычно новую букву \(\displaystyle{t}\) не вводят, а продолжают работать со "старым" обозначением индекса, т.е. с \(\displaystyle{n}\). Заменим букву \(\displaystyle{t}\) буквой \(\displaystyle{n}\), не вкладывая в это действие никакого дополнительного смысла – просто замена одной буквы на иную:

\[ \sum\limits_{t=1}^{\infty}\frac{7t+26}{2^{4t+11}\cdot(t+3)} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{7n+26}{2^{4n+11}\cdot (n+3)} \]

Разумеется, что "старая" и "новая" буквы \(\displaystyle{n}\) принимают разные значения. Если пропустить все промежуточные выкладки, то мы приходим к такому равенству:

\[ \sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{7n+5}{2^{4n-1}\cdot{n}} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{7n+26}{2^{4n+11}\cdot (n+3)} \]

Можете дополнительно проверить этот результат, найдя несколько первых членов суммы в левой и правой частях равенства.

Так как нижний предел суммы \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{7n+26}{2^{4n+11}\cdot (n+3)}}\) равен 1, то под знаком суммы расположен общий член ряда, т.е. \(\displaystyle{u_n=\frac{7n+26}{2^{4n+11}\cdot (n+3)}}\).

Ответ:

\(\displaystyle{\sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{7n+5}{2^{4n-1}\cdot n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{7n+26}{2^{4n+11}\cdot (n+3)}}\). Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{7n+26}{2^{4n+11}\cdot (n+3)}}\).

Частичная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Остаток ряда.

Пусть задан числовой ряд

\[ \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n \end{equation} \]

Сумма \(\displaystyle{S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n}\) первых \(\displaystyle{n}\) членов ряда называется n-й частичной суммой ряда (1). В сокращённом виде: \(\displaystyle{S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k}\).

Например, сумма первых пяти членов ряда (1) есть пятая частичная сумма ряда, т.е. \(\displaystyle{S_5}\):

\[ S_5=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 \]

Ряд \(\displaystyle{r_n=u_{n+1}+u_{n+2}+u_{n+3}+\ldots}\), полученный из ряда (1) отбрасыванием первых \(\displaystyle{n}\) членов ряда, называется n-м остатком ряда (1). В сокращённом виде: \(\displaystyle{r_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}u_k}\).

Например, если мы отбросим первые три члена ряда (1), то получим третий остаток \(\displaystyle{r_3}\):

\[ r_3=u_4+u_5+u_6+\ldots \]

Теперь перейдём к понятию суммы ряда. Пусть \(\displaystyle{S_n}\) – n-я частичная сумма ряда (1).

Если существует конечный предел \(\displaystyle{S=\lim_{n\to\infty}S_n}\), то его называют суммой ряда (1) и сам ряд именуют сходящимся. Если же \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n=\infty}\) или \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n}\) не существует, то ряд называют расходящимся.

Вопрос вычисления суммы числового ряда рассмотрен в соответствующей теме.

Задача №4

Условие

Задан ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n+3}{2^n}}\). Записать первую, вторую, третью и четвёртую частичную суммы. Указать первый, второй и третий остатки.

Решение

Нижний предел суммирования равен 1, поэтому под знаком суммы стоит общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{4n+3}{2^n}}\).

Первая частичная сумма \(\displaystyle{S_1}\) совпадает с первым членом ряда:

\[ S_1 =u_1 =\frac{4\cdot{1}+3}{2^1} =\frac{7}{2} \]

Вторая частичная сумма \(\displaystyle{S_2}\) – это сумма первых двух членов ряда:

\[ S_2 =u_1+u_2 =\frac{7}{2}+\frac{11}{4} \]

Третья частичная сумма \(\displaystyle{S_3}\) – это сумма первых трёх членов ряда:

\[ S_3 =u_1+u_2+u_3 =\frac{7}{2}+\frac{11}{4}+\frac{15}{8} \]

Четвёртая частичная сумма \(\displaystyle{S_4}\) – это сумма первых четырёх членов ряда:

\[ S_4 =u_1+u_2+u_3+u_4 =\frac{7}{2}+\frac{11}{4}+\frac{15}{8}+\frac{19}{16} \]

Естественно, что любую частичную сумму можно вычислить, просто сложив элементы. Например,

\[ S_2 =\frac{7}{2}+\frac{11}{4} =\frac{25}{4} \]

Теперь перейдём к остаткам. Отбрасывая первый член, получим первый остаток ряда:

\[ r_1 =u_2+u_3+u_4+u_5+\ldots =\frac{11}{4}+\frac{15}{8}+\frac{19}{16}+\frac{23}{32}+\ldots \]

Отбрасывая первые два члена, запишем второй остаток ряда:

\[ r_2 =u_3+u_4+u_5+\ldots =\frac{15}{8}+\frac{19}{16}+\frac{23}{32}+\ldots \]

Отбрасывая первые три члена, будем иметь третий остаток ряда:

\[ r_3 =u_4+u_5+\ldots =\frac{19}{16}+\frac{23}{32}+\ldots \]

В принципе, при желании остатки можно записать в сжатой форме:

\[ r_1=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{4n+3}{2^n};\; r_2=\sum\limits_{n=3}^{\infty}\frac{4n+3}{2^n};\; r_3=\sum\limits_{n=4}^{\infty}\frac{4n+3}{2^n}. \]

Ответ:

Частичные суммы: \(\displaystyle{S_1=\frac{7}{2}}\), \(\displaystyle{S_2=\frac{7}{2}+\frac{11}{4}}\), \(\displaystyle{S_3=\frac{7}{2}+\frac{11}{4}+\frac{15}{8}}\), \(\displaystyle{S_4=\frac{7}{2}+\frac{11}{4}+\frac{15}{8}+\frac{19}{16}}\).
Остатки: \(\displaystyle{r_1=\frac{11}{4}+\frac{15}{8}+\frac{19}{16}+\frac{23}{32}+\ldots}\), \(\displaystyle{r_2=\frac{15}{8}+\frac{19}{16}+\frac{23}{32}+\ldots}\), \(\displaystyle{r_3=\frac{19}{16}+\frac{23}{32}+\ldots}\).

Некоторые свойства числовых рядов

Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится тогда и только тогда, когда сходится любой из его остатков \(\displaystyle{r_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}u_k}\). Отсюда следует, что отбрасывание или добавление к некоторому ряду конечного количества членов не изменяет сходимости ряда.
Если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится и сумма его равна \(\displaystyle{S}\), то любой его остаток \(\displaystyle{r_n}\) стремится к нулю при \(\displaystyle{n\to\infty}\), т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}r_n=0}\). Кроме того, верна формула \(\displaystyle{r_n=S-S_n}\), где \(\displaystyle{S_n}\) – n-я частичная сумма заданного ряда.
Если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) расходится и \(\displaystyle{C\neq 0}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n}\) также расходится.
Если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится и сумма его равна \(\displaystyle{S}\), то и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}Cu_n}\) также сходится и сумма его равна \(\displaystyle{CS}\) (\(\displaystyle{C}\) – некоторая константа).
Если ряды \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\) сходятся и суммы их равны соответственно \(\displaystyle{S_1}\) и \(\displaystyle{S_2}\), то и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(u_n\pm v_n\right)}\) также сходится и сумма его равна \(\displaystyle{S_1\pm S_2}\).
Необходимое условие (признак) сходимости ряда: если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится, то \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\).
Достаточное условие (признак) расходимости ряда: если \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) расходится.