Решение
Выражая заданную дробь через простейшие, будем иметь:
\[
\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2\left(x^2+2x+7\right)}
=\frac{A_1}{x-3}+\frac{A_2}{(x-3)^2}+\frac{A_3x+A_4}{x^2+2x+7}
\]
Осуществив сложение дробей в правой части, получим:
\[
\begin{equation}
\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2\left(x^2+2x+7\right)}
=\frac{A_1(x-3)\left(x^2+2x+7\right)+A_2\left(x^2+2x+7\right)+(A_3x+A_4)(x-3)^2}{(x-3)^2\left(x^2+2x+7\right)}
\tag{2.1}
\end{equation}
\]
Исходя из равенства дробей и равенства их знаменателей имеем равенство числителей:
\[
\begin{equation}
7x^3-37x^2+45x-79
=A_1(x-3)\left(x^2+2x+7\right)+A_2\left(x^2+2x+7\right)+(A_3x+A_4)(x-3)^2
\tag{2.2}
\end{equation}
\]
Здесь, конечно, можно применить метод неопределённых коэффициентов, раскрывая скобки и группируя слагаемые в правой части равенства, однако лучше попытаемся применить метод подстановки частных значений. Подставим \(\displaystyle{x=3}\):
\[
-88=22A_2; \; A_2=-4.
\]
Но как быть дальше? Хорошие подстановки закончились. А надо ещё найти три величины: \(\displaystyle{A_1}\), \(\displaystyle{A_3}\), \(\displaystyle{A_4}\). Для этого надобно три уравнения, – но откуда их взять? Можно, конечно, подставить вместо \(\displaystyle{x}\) какие-либо произвольные значения, однако это не самый лучший выход – ведь потом придётся решать систему линейных уравнений. Можно, конечно, использовать метод неопределённых коэффициентов (с учётом уже найденного значения \(\displaystyle{A_2=-4}\)), но в данной ситуации мы пойдём иным путём.
Что будет, если всё же использовать далее метод неопределённых коэффициентов?
Так как мы уже нашли значение \(\displaystyle{A_2=-4}\), то равенство (2.2) примет вид
\[
7x^3-37x^2+45x-79=A_1(x-3)(x^2+2x+7)-4(x^2+2x+7)+(A_3x+A_4)(x-3)^2.
\]
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
\[
7x^3-37x^2+45x-79=A_1(x-3)(x^2+2x+7)-4x^2-8x-28+(A_3x+A_4)(x-3)^2\\
7x^3-33x^2+53x-51=A_1(x-3)(x^2+2x+7)+(A_3x+A_4)(x-3)^2\\
7x^3-33x^2+53x-51=(A_1+A_3)x^3+(-A_1-6A_3+A_4)x^2+(A_1+9A_3-6A_4)x-21A_1+9A_4
\]
\[
\left\{ \begin{aligned}
& A_1+A_3=7;\\
& -A_1-6A_3+A_4=-33;\\
& A_1+9A_3-6A_4=53;\\
& -21A_1+9A_4=-51.
\end{aligned} \right.
\]
Мы получили систему с тремя неизвестными и четырьмя уравнениями. Решим эту систему методом Гаусса. В ходе решения появится повторяющаяся строка, которую мы просто вычеркнем. Перед тем, как начать решение, разделим четвёртое уравнение на \(\displaystyle{(-3)}\):
\[
\left\{ \begin{aligned}
& A_1+A_3=7;\\
& -A_1-6A_3+A_4=-33;\\
& A_1+9A_3-6A_4=53;\\
& 7A_1-3A_4=17.
\end{aligned} \right.
\]
\[
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 1 & 0 & 7\\
-1 & -6 & 1 & -33\\
1 & 9 & -6 & 53\\
7 & 0 & -3 & 17 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2 + r_1\\ r_3 - r_1 \\ r_4-7r_1 \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 1 & 0 & 7\\
0 & -5 & 1 & -26\\
0 & 8 & -6 & 46\\
0 & -7 & -3 & -32 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \frac{1}{2}\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \\
\rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 1 & 0 & 7\\
0 & -5 & 1 & -26\\
0 & 4 & -3 & 23\\
0 & -7 & -3 & -32 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ 5r_3+4r_2 \\ 5r_4-7r_2 \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 1 & 0 & 7\\
0 & -5 & 1 & -26\\
0 & 0 & -11 & 11\\
0 & 0 & -22 & 22 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ -1/11\cdot{r_3} \\-1/22\cdot{r_4} \end{array} \rightarrow \\
\rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 1 & 0 & 7\\
0 & -5 & 1 & -26\\
0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right)
\rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 1 & 0 & 7\\
0 & -5 & 1 & -26\\
0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2-r_1 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \\
\rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 1 & 0 & 7\\
0 & -5 & 0 & -25\\
0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ -\frac{1}{5}\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 1 & 0 & 7\\
0 & 1 & 0 & 5\\
0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-r_2 \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0 & 5\\
0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right)
\]
Итак, \(\displaystyle{A_1=2}\), \(\displaystyle{A_3=5}\), \(\displaystyle{A_4=-1}\).
Подставляя \(\displaystyle{A_2=-4}\) в равенство (2.2), будем иметь:
\[
7x^3-37x^2+45x-79
=A_1(x-3)\left(x^2+2x+7\right)-4\left(x^2+2x+7\right)+(A_3x+A_4)(x-3)^2\\
7x^3-33x^2+53x-51
=A_1(x-3)\left(x^2+2x+7\right)+(A_3x+A_4)(x-3)^2
\]
Многочлен в правой части равенства имеет своим делителем \(\displaystyle{x-3}\), посему и в левой части многочлен делится на \(\displaystyle{x-3}\). Это деление легко осуществить, например, по схеме Горнера.
\[
(x-3)\left(7x^2-12x+17\right)
=A_1(x-3)\left(x^2+2x+7\right)+(A_3x+A_4)(x-3)^2
\]
\[
\begin{equation}
7x^2-12x+17
=A_1\left(x^2+2x+7\right)+(A_3x+A_4)(x-3)
\tag{2.3}
\end{equation}
\]
В полученное равенство (2.3) вновь подставляем \(\displaystyle{x=3}\):
\[
44 = 2A_1; \; A_1 = 2.
\]
Далее в (2.3) подставляем \(\displaystyle{A_1 = 2}\) и упрощаем:
\[
7x^2-12x+17
=2\left(x^2+2x+7\right)+(A_3x+A_4)(x-3);\\
5x^2-16x+3
=(A_3x+A_4)(x-3);\\
(5x-1)(x-3)
=(A_3x+A_4)(x-3); \;
5x-1=A_3x+A_4.
\]
Из равенства \(\displaystyle{5x-1=A_3x+A_4}\) сразу имеем \(\displaystyle{A_3=5}\), \(\displaystyle{A_4 = -1}\). Все коэффициенты найдены. Равенство (2.1) примет такой вид:
\[
\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}
=\frac{2}{x-3}-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{5x-1}{x^2+2x+7}
\]
Как видите, применённый нами метод, который условно будем именовать методом последовательного исключения параметров, не потребовал составления и решения системы. Понадобилось лишь единожды применить схему Горнера и сделать несколько простых подстановок. Разумеется, этот метод менее трудоёмок, нежели метод неопределённых коэффициентов.