Выбор признака сходимости числовых рядов.

В данной теме рассмотрим некие критерии, с помощью которых можно сделать выбор между необходимым признаком сходимости ряда, признаками Д'Аламбера и Коши, а также признаками сравнения. Напомню, что признаки сравнения, а также интегральный и радикальный признаки Коши применяются лишь для положительных числовых рядов (т.е. рядов, общий член которых не меньше нуля, \(\displaystyle{u_n \ge 0}\)). Признак Д'Аламбера применяется для строго положительных рядов (\(\displaystyle{u_n \gt 0}\)).

Выбор признака, с помощью которого можно проверить сходимость числового ряда, – в общем случае задача непростая. Однако для тех рядов, которые используются в стандартных типовых расчётах и контрольных работах, можно дать некие общие рекомендации. Эти рекомендации я запишу в таблицу.

Пару слов насчёт самой таблицы. Второй столбец описывает сферу применения того или иного признака сходимости в большинстве стандартных контрольных работ. Третий столбец иллюстрирует информацию второго столбца наглядными примерами (все эти примеры решены в соответствующих темах). Четвёртый столбец содержит примеры рядов, которые несколько выбиваются из общей схемы или же встречаются в стандартных контрольных работах не так уж часто.

Название	Основное применение	Примеры рядов	Дополнительное применение
Необходимый признак сходимости	Общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Или же могут присутствовать корни от многочленов. С помощью необходимого условия сходимости можно доказать расходимость произвольного числового ряда (не обязательно положительного).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[3]{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}}\).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+7}{2n+3}\right)^{9n+1}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{17n^5+4\cos(n!)}{6n^5+2n^2-1}}\).
Признаки сравнения	Общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Или же вместо многочленов (или вместе с ними) могут присутствовать корни от многочленов. Для рядов такого вида приходится выбирать между необходимым признаком сходимости и признаками сравнения. Общий член ряда может содержать не только многочлен, но и некий "отвлекающий элемент", который не влияет на сходимость. Иногда, чтобы увидеть ряд для сравнения, приходится использовать эквивалентные бесконечно малые функции.	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arcsin\frac{7n-1}{9n}}{\sqrt[6]{4n^2-3}}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arctg^2\sqrt{2n^3-1}}{\sqrt[4]{3n^5-2}}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\left(\frac{2+(-1)^n}{6}\cdot\pi\right)}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{3n}+\cos n!}{5^{2n+1}-n}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}}\).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}}\).
Признак Д'Аламбера	В выражении общего члена ряда присутствуют многочлен (многочлен может быть и под корнем) и степень вида \(\displaystyle{a^n}\) или \(\displaystyle{n!}\). Или же общий член ряда содержит произведение такого вида: \(\displaystyle{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}\).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot n!}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{6^{2n+5}\left(3n^2-1\right)}{(n+3)!}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}}\).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n}\sin\frac{2}{3^n}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}-4}{2^{5n}(n+1)!}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(n!\right)^2}{2^{n^2}}}\).
Радикальный признак Коши	В выражении общего члена ряда все элементы возведены в степень, которую можно сократить на \(\displaystyle{n}\).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^{2n}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^{n^2}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{n(3n+4)}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(5n+4)^n}{7^{2n}\cdot n^n}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sin\frac{4}{n^2+2n}\right)^{\frac{n}{2}}}\).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(3n^2+7\right)\cdot 5^{2n-1}}{4^n}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}}\).
Интегральный признак Коши-Маклорена	Выражение под знаком суммы имеет такую структуру: \(\displaystyle{\frac{1}{n\cdot\ln^p n}}\).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)\sqrt[4]{\ln(2n+1)}}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-2)\ln^2 (5n+7)}}\).	\(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arctg n}{1+n^2}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}}\), \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{(5n+6)^3}}}\).