Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.
В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из темы "Матрицы. Виды матриц. Основные термины".
Сложение и вычитание матриц.
Суммой \(\displaystyle{A+B}\) матриц \(\displaystyle{A_{m\times n}=(a_{ij})}\) и \(\displaystyle{B_{m\times n}=(b_{ij})}\) называется матрица \(\displaystyle{C_{m\times n}=(c_{ij})}\), где \(\displaystyle{c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}\) для всех \(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\) и \(\displaystyle{j=\overline{1,n}}\).
Аналогичное определение можно ввести и для разности матриц:
Разностью \(\displaystyle{A-B}\) матриц \(\displaystyle{A_{m\times n}=(a_{ij})}\) и \(\displaystyle{B_{m\times n}=(b_{ij})}\) называется матрица \(\displaystyle{C_{m\times n}=(c_{ij})}\), где \(\displaystyle{c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}}\) для всех \(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\) и \(\displaystyle{j=\overline{1,n}}\).
Пояснение к записи \(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\)
Запись "\(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\)" означает, что параметр \(\displaystyle{i}\) изменяется от 1 до m. Например, запись \(\displaystyle{i=\overline{1,5}}\) говорит о том, что параметр \(\displaystyle{i}\) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.
Можно ли найти матрицу \(\displaystyle{A+F}\)? Найти матрицы \(\displaystyle{C}\) и \(\displaystyle{D}\), если \(\displaystyle{C=A+B}\) и \(\displaystyle{D=A-B}\).
Решение
Матрица \(\displaystyle{A}\) содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы \(\displaystyle{A}\) равен \(\displaystyle{2\times 3}\)), а матрица \(\displaystyle{F}\) содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{F}\) не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция \(\displaystyle{A+F}\) для данных матриц не определена.
Размеры матриц \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.
Произведением матрицы \(\displaystyle{A_{m\times n}=(a_{ij})}\) на число \(\displaystyle{\alpha}\) называется матрица \(\displaystyle{B_{m\times n}=(b_{ij})}\), где \(\displaystyle{b_{ij}=\alpha\cdot a_{ij}}\) для всех \(\displaystyle{i=\overline{1,m}}\) и \(\displaystyle{j=\overline{1,n}}\).
Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.
Запись \(\displaystyle{-A}\) есть сокращенная запись для \(\displaystyle{-1\cdot A}\). Т.е., чтобы найти \(\displaystyle{-A}\) нужно все элементы матрицы \(\displaystyle{A}\) умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы \(\displaystyle{A}\) изменится на противоположный:
Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.
Произведением матрицы \(\displaystyle{A_{m\times n}=(a_{ij})}\) на матрицу \(\displaystyle{B_{n\times k}=(b_{ij})}\) называется матрица \(\displaystyle{C_{m\times k}=(c_{ij})}\), каждый элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы \(\displaystyle{A}\) на элементы j-го столбца матрицы \(\displaystyle{B}\):
Обратите внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу \(\displaystyle{A}\) на матрицу \(\displaystyle{B}\), то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\) равно количеству строк матрицы \(\displaystyle{B}\) (такие матрицы часто называют согласованными). При этом матрица, полученная в результате умножения, будет иметь то же число строк, что и матрица \(\displaystyle{A}\), и то же количество столбцов, что и матрица \(\displaystyle{B}\):
Например, матрицу \(\displaystyle{A_{5\times 4}}\) (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу \(\displaystyle{F_{9\times 8}}\) (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\) не равно количеству строк матрицы \(\displaystyle{F}\), т.е. \(\displaystyle{4\neq 9}\). А вот умножить матрицу \(\displaystyle{A_{5\times 4}}\) на матрицу \(\displaystyle{B_{4\times 9}}\) можно, так как количество столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\) равно количеству строк матрицы \(\displaystyle{B}\). При этом результатом умножения матриц \(\displaystyle{A_{5\times 4}}\) и \(\displaystyle{B_{4\times 9}}\) будет матрица \(\displaystyle{C_{5\times 9}}\), содержащая 5 строк и 9 столбцов:
Для начала сразу определим размер матрицы \(\displaystyle{C}\). Так как матрица \(\displaystyle{A}\) имеет размер \(\displaystyle{3\times 4}\), а матрица \(\displaystyle{B}\) имеет размер \(\displaystyle{4\times 2}\), то размер матрицы \(\displaystyle{C}\) таков: \(\displaystyle{3\times 2}\):
Итак, в результате произведения матриц \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) мы должны получить матрицу \(\displaystyle{C}\), состоящую из трёх строк и двух столбцов:
\(\displaystyle{
C=\left(\begin{array} {cc}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22} \\
c_{31} & c_{32}
\end{array} \right)}\). Наша цель: найти значения всех элементов матрицы \(\displaystyle{C}\).
Начнем с элемента \(\displaystyle{c_{11}}\). Чтобы получить элемент \(\displaystyle{c_{11}}\) нужно найти сумму произведений элементов строки №1 матрицы \(\displaystyle{A}\) и столбца №1 матрицы \(\displaystyle{B}\):
Иными словами, нужно перемножить элементы первой строки матрицы \(\displaystyle{A}\) на соответствующие элементы первого столбца матрицы \(\displaystyle{B}\): первый элемент строки на первый элемент столбца, второй элемент строки на второй элемент столбца и так далее. Полученные результаты суммируем:
Продолжим решение и найдем \(\displaystyle{c_{12}}\). Для этого придётся найти сумму произведений элементов строки №1 матрицы \(\displaystyle{A}\) и столбца №2 матрицы \(\displaystyle{B}\):
Все элементы первой строки матрицы \(\displaystyle{C}\) найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент \(\displaystyle{c_{21}}\). Он равен сумме произведений элементов строки №2 матрицы \(\displaystyle{A}\) и столбца №1 матрицы \(\displaystyle{B}\):
Следующий элемент \(\displaystyle{c_{22}}\) находим, перемножая элементы строки №2 матрицы \(\displaystyle{A}\) на соответствующие элементы столбца №2 матрицы \(\displaystyle{B}\):
Чтобы найти \(\displaystyle{c_{31}}\) перемножим элементы третьей строки матрицы \(\displaystyle{A}\) на элементы первого столбца матрицы \(\displaystyle{B}\):
И, наконец, для нахождения элемента \(\displaystyle{c_{32}}\) придется перемножить элементы третьей строки матрицы \(\displaystyle{A}\) на соответствующие элементы второго столбца матрицы \(\displaystyle{B}\):
Все элементы матрицы \(\displaystyle{C}\) найдены, осталось лишь записать, что \(\displaystyle{C=\left(\begin{array} {cc}
0 & 37 \\
-23 & 91 \\
8 & 216
\end{array} \right)}\). Или, если уж писать полностью:
Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:
Стоит отметить, что если \(\displaystyle{A\cdot{B}=C}\), то строки матрицы \(\displaystyle{C}\) есть линейная комбинация строк матрицы \(\displaystyle{B}\), а столбцы матрицы \(\displaystyle{C}\) – линейная комбинация столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\). Рассмотрим это на примере матриц из задачи №3. Выпишем отдельно первую строку матрицы \(\displaystyle{C}\) (я обозначу её \(\displaystyle{r_1}\)):
Как видите, первая строка матрицы \(\displaystyle{C}\) есть линейная комбинация строк матрицы \(\displaystyle{B}\) с коэффициентами, равными элементам первой строки матрицы \(\displaystyle{A}\). Аналогично и вторая строка матрицы \(\displaystyle{C}\) будет равна линейной комбинации строк матрицы \(\displaystyle{B}\) с коэффициентами, которые равны элементам второй строки матрицы \(\displaystyle{A}\). Конечно, упомянутое свойство можно доказать и в общем виде, – это доказательство скрыто под примечанием.
Доказательство в общем виде
Пусть \(\displaystyle{A_{m\times{n}}\cdot{B_{n\times{k}}}=C_{m\times{k}}}\). Обозначим s-ю строку матрицы \(\displaystyle{C}\) как \(\displaystyle{r_s}\).
Аналогичное свойство верно и для столбцов, т.е., s-й столбец матрицы \(\displaystyle{C}\) есть линейная комбинация столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\) с коэффициентами, равными элементам s-го столбца матрицы \(\displaystyle{B}\). Проиллюстрируем это свойство на примере первого столбца матрицы \(\displaystyle{C}\) (я обозначу его \(\displaystyle{c_1}\)) из задачи №3:
Как видите, \(\displaystyle{c_1}\) есть линейная комбинация столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\) с коэффициентами, равными элементам первого столбца матрицы \(\displaystyle{B}\). Для второго столбца матрицы \(\displaystyle{C}\) коэффициенты станут равны элементам второго столбца матрицы \(\displaystyle{B}\). Доказательство утверждения в общем виде я приводить не стану, так как оно аналогично рассмотренному ранее доказательству для строк.
Скажем пару слов относительно свойств операции умножения матриц. Для начала сделаем очень важное замечание:
Умножение матриц в общем случае не является коммутативным, т.е. \(\displaystyle{A\cdot{B}\neq{B}\cdot{A}}\).
Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство \(\displaystyle{A\cdot {B}=B\cdot {A}}\). Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства \(\displaystyle{3E-F=Y}\) на матрицу \(\displaystyle{A}\) справа" означает, что в итоге будет получено такое равенство: \(\displaystyle{(3E-F)\cdot A=Y\cdot {A}}\).
Почему возникают проблемы с коммутативностью? Во-первых, выполнимость операции \(\displaystyle{AB}\) вовсе не означает, что будет выполнима операция \(\displaystyle{BA}\). Например, для матриц \(\displaystyle{A_{5\times{3}}}\) и \(\displaystyle{B_{3\times{2}}}\) матрица \(\displaystyle{AB}\) существует, а вот матрица \(\displaystyle{BA}\) – уже нет. Лишь для матриц вида \(\displaystyle{A_{m\times{n}}}\) и \(\displaystyle{B_{n\times{m}}}\) существуют \(\displaystyle{AB}\) и \(\displaystyle{BA}\) одновременно.
Во-вторых, даже если существуют матрицы \(\displaystyle{C=AB}\) и \(\displaystyle{D=BA}\), то вовсе не факт, что размеры этих матриц будут совпадать. Например, для матриц \(\displaystyle{A_{5\times{3}}}\) и \(\displaystyle{B_{3\times{5}}}\) имеем \(\displaystyle{AB=C_{5\times{5}}}\) и \(\displaystyle{BA=D_{3\times{3}}}\). Совпадение размеров матриц \(\displaystyle{C}\) и \(\displaystyle{D}\) станет возможным лишь в том случае, когда \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) будут квадратными матрицами одного порядка.
Ну и в-третьих, даже если перемножаются квадратные матрицы одного порядка \(\displaystyle{n}\), то каким бы ни было значение \(\displaystyle{n\ge{2}}\), всегда можно указать две такие матрицы \(\displaystyle{A_{n\times{n}}}\) и \(\displaystyle{B_{n\times{n}}}\), что \(\displaystyle{AB\neq{BA}}\).
Пример матриц n-го порядка, для которых \(\displaystyle{AB\neq{BA}}\).
Пусть в матрице \(\displaystyle{A_{n\times{n}}}\) имеем \(\displaystyle{a_{12}=1}\), при этом все остальные элементы равны нулю. В матрице \(\displaystyle{B_{n\times{n}}}\) имеем \(\displaystyle{b_{21}=1}\), а все остальные элементы – нули.
Тогда для матрицы \(\displaystyle{C=AB}\) получаем, что все её элементы равны нулю за исключением элемента \(\displaystyle{c_{11}}\), равного единице. А для матрицы \(\displaystyle{D=BA}\) имеем, что \(\displaystyle{d_{21}=1}\), а все остальные элементы равны нулю.
Таким образом, \(\displaystyle{C\neq{D}}\), т.е. \(\displaystyle{AB\neq{BA}}\).
Вообще, выбрать две матрицы, для которых нарушается свойство коммутативности – задача элементарная. Куда более сложная задача состоит в том, чтобы найти классы матриц, для которых равенство \(\displaystyle{AB=BA}\) всё же будет истинным. Например, для нулевой матрицы \(\displaystyle{O}\) получим \(\displaystyle{AO=OA=O}\). Менее тривиальный пример – единичная матрица, для которой имеем \(\displaystyle{AE=EA=A}\).
Отмечу, что свойство ассоциативности для произведения матриц будет соблюдено, т.е. \(\displaystyle{(AB)C=A(BC)}\). Это даёт возможность при перемножении нескольких матриц не указывать порядок выполнения операций в явном виде, выполняя умножение в любом удобном порядке.
Транспонированная матрица.
Транспонированной по отношению к матрице \(\displaystyle{A_{m\times n}=(a_{ij})}\) называется матрица \(\displaystyle{A_{n\times m}^{T}=(a_{ij}^{T})}\), для элементов которой \(\displaystyle{a_{ij}^{T}=a_{ji}}\).
Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу \(\displaystyle{A^T}\), нужно в исходной матрице \(\displaystyle{A}\) заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице \(\displaystyle{A_{3\times 5}}\):
Соответственно, если исходная матрица имела размер \(\displaystyle{3\times 5}\), то транспонированная матрица имеет размер \(\displaystyle{5\times 3}\).
Некоторые свойства операций над матрицами.
Здесь предполагается, что \(\displaystyle{\alpha}\),\(\displaystyle{\beta}\) – некоторые числа, а \(\displaystyle{A}\),\(\displaystyle{B}\),\(\displaystyle{C}\) – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.
\(\displaystyle{A\cdot E=A}\),\(\displaystyle{E\cdot A=A}\), где \(\displaystyle{E}\) – единичная матрица соответствующего порядка.
\(\displaystyle{A\cdot O=O}\),\(\displaystyle{O\cdot A=O}\), где \(\displaystyle{O}\) – нулевая матрица соответствующего размера.
\(\displaystyle{\left(A^T \right)^T=A}\)
\(\displaystyle{(A+B)^T=A^T+B^T}\)
\(\displaystyle{(AB)^T=B^T\cdot A^T}\)
\(\displaystyle{\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T}\)
В следующей теме будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.
