Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины". Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей.

Минор \(\displaystyle{M_{ij}}\) элемента \(\displaystyle{a_{ij}}\)

Пусть задана квадратная матрица \(\displaystyle{A_{n\times n}}\) (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Минором \(\displaystyle{M_{ij}}\) элемента \(\displaystyle{a_{ij}}\) матрицы \(\displaystyle{A_{n\times n}}\) именуют определитель матрицы, полученной из матрицы \(\displaystyle{A}\) вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент \(\displaystyle{a_{ij}}\)).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)}\). Найдём минор элемента \(\displaystyle{a_{32}}\), т.е. найдём \(\displaystyle{M_{32}}\). Для того, чтобы составить \(\displaystyle{M_{32}}\), вычеркнем из матрицы \(\displaystyle{A}\) строку №3 и столбец №2 (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент \(\displaystyle{a_{32}}\)). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор \(\displaystyle{M_{32}}\):

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

\[ M_{32}=\left| \begin{array} {ccc} 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end{array} \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3)\cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. \]

Итак, минор элемента \(\displaystyle{a_{32}}\) равен 579, т.е. \(\displaystyle{M_{32}=579}\).

Часто наряду с термином "минор элемента матрицы" в литературе встречается и "минор элемента определителя". Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента \(\displaystyle{a_{ij}}\) нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы образуют определитель, который и является минором элемента \(\displaystyle{a_{ij}}\). Например, найдём минор элемента \(\displaystyle{a_{12}}\) определителя \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end{array} \right|}\). Чтобы записать требуемый минор \(\displaystyle{M_{12}}\) нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя строку №1 и столбец №2:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

\[ M_{12}=\left| \begin{array} {cc} 9 & -5\\ 4 & 7 \end{array} \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. \]

Алгебраическое дополнение \(\displaystyle{A_{ij}}\) элемента \(\displaystyle{a_{ij}}\)

Пусть задана квадратная матрица \(\displaystyle{A_{n\times n}}\) (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Алгебраическое дополнение \(\displaystyle{A_{ij}}\) элемента \(\displaystyle{a_{ij}}\) матрицы \(\displaystyle{A_{n\times n}}\) находится по следующей формуле:

\[ A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}, \]

где \(\displaystyle{M_{ij}}\) – минор элемента \(\displaystyle{a_{ij}}\).

Найдем алгебраическое дополнение элемента \(\displaystyle{a_{32}}\) матрицы \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)}\), т.е. найдём \(\displaystyle{A_{32}}\). Ранее мы уже находили минор \(\displaystyle{M_{32}=579}\), поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Например, найдем \(\displaystyle{A_{12}}\), если \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {ccc} -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end{array} \right)}\). Согласно формуле, \(\displaystyle{A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=-M_{12}}\). Однако \(\displaystyle{M_{12}}\) – это просто определитель, полученный после вычёркивания строки №1 и столбца №2 из матрицы \(\displaystyle{A}\), поэтому мы можем записать выражение для алгебраического дополнения \(\displaystyle{A_{12}}\) сразу, не вычисляя предварительно \(\displaystyle{M_{12}}\):

Минор k-го порядка матрицы \(\displaystyle{A_{m\times n}}\)

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица \(\displaystyle{A_{m\times n}}\), т.е. матрица, содержащая \(\displaystyle{m}\) строк и \(\displaystyle{n}\) столбцов.

Минором k-го порядка матрицы \(\displaystyle{A_{m\times n}}\) называется определитель, элементы которого расположены на пересечении \(\displaystyle{k}\) строк и \(\displaystyle{k}\) столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\) (при этом предполагается, что \(\displaystyle{k \le {m}}\) и \(\displaystyle{k \le {n}}\)).

Например, рассмотрим такую матрицу:

\[A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right) \]

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Для этого нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

\[ \left( \begin{array} {cccc} -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue{2} & \boldblue{7} & 14 & \boldblue{6} \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ \boldblue{0} & \boldblue{1} & 19 & \boldblue{8}\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue{5} & \boldblue{3} & -21 & \boldblue{9}\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end{array} \right|. \]

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Минор k-го порядка матрицы \(\displaystyle{A_{m\times n}=(a_{ij})}\) называется главным, если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы \(\displaystyle{A}\).

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: \(\displaystyle{a_{11}}\), \(\displaystyle{a_{22}}\), \(\displaystyle{a_{33}}\) и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы \(\displaystyle{A}\) такими элементами будут \(\displaystyle{a_{11}=-1}\), \(\displaystyle{a_{22}=7}\), \(\displaystyle{a_{33}=18}\), \(\displaystyle{a_{44}=8}\). На рисунке они выделены зелёным цветом:

\[\left( \begin{array} {cccc} \boldgreen{-1} & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen{7} & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen{18} & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen{8}\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right) \]

Если в матрице \(\displaystyle{A}\) мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы \(\displaystyle{A}\) (элементы \(\displaystyle{a_{11}=-1}\) и \(\displaystyle{a_{33}=18}\) матрицы \(\displaystyle{A}\)). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

\[ M=\left|\begin{array} {cc} \boldgreen{-1} & -3 \\ 15 & \boldgreen{18} \end{array} \right| \]

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Пусть некий минор \(\displaystyle{M}\) k-го порядка матрицы \(\displaystyle{A_{m\times n}}\) не равен нулю, т.е. \(\displaystyle{M\neq 0}\). При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю (или вообще не существуют). Тогда минор \(\displaystyle{M}\) называют базисным, а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

\[A=\left( \begin{array} {ccc} -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \]

Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице \(\displaystyle{A}\) фиолетовым цветом):

\[ \left( \begin{array} {ccc} \boldpurple{-1} & 0 & \boldpurple{3} & \boldpurple{0} & 0 \\ \boldpurple{2} & 0 & \boldpurple{4} & \boldpurple{1} & 0\\ \boldpurple{1} & 0 & \boldpurple{-2} & \boldpurple{-1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array} \right|. \]

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

\[ M=\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array} \right|=4+3+6-2=11. \]

Итак, \(\displaystyle{M=11\neq 0}\). Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четыре строки, среди которых неизбежно окажется и строка №4. Все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица \(\displaystyle{A}\) имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы \(\displaystyle{A}\), на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы \(\displaystyle{A}\) – базисные столбцы.

Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда объёмнее. Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Пусть некий минор k-го порядка \(\displaystyle{M}\) матрицы \(\displaystyle{A_{m\times n}}\) расположен на пересечении \(\displaystyle{k}\) строк и \(\displaystyle{k}\) столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора \(\displaystyle{M}\).

Для примера обратимся к такой матрице:

\[A=\left( \begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right) \]

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

\[ \left( \begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & \boldred{19} & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred{12} & 20 & \boldred{21} & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} -17 & 19 \\ 12 & 21 \end{array} \right|. \]

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора \(\displaystyle{M}\), ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор \(\displaystyle{M'}\) (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора \(\displaystyle{M}\) на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору \(\displaystyle{M}\) – синим:

\[ \left( \begin{array} {ccccc} -1 & \boldblue{2} & 0 & \boldblue{-2} & \boldblue{-14}\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & \boldred{19} & \boldblue{29}\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred{12} & 20 & \boldred{21} & \boldblue{54}\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M'=\left|\begin{array} {ccc} 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end{array} \right|. \]

Минор \(\displaystyle{M'}\) является окаймляющим минором для минора \(\displaystyle{M}\). Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора \(\displaystyle{M}\), строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор \(\displaystyle{M''}\) (минор третьего порядка):

\[ \left( \begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred{-17} & \boldblue{-3} & \boldred{19} & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue{11} & \boldblue{19} & \boldblue{-20} & -98\\ 6 & \boldred{12} & \boldblue{20} & \boldred{21} & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M''=\left|\begin{array} {ccc} -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end{array} \right|. \]

Минор \(\displaystyle{M''}\) также является окаймляющим минором для минора \(\displaystyle{M}\).

Минор k-го порядка матрицы \(\displaystyle{A_{n\times n}}\). Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Пусть задан некий минор \(\displaystyle{M}\) k-го порядка матрицы \(\displaystyle{A_{n\times n}}\). Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы \(\displaystyle{A}\) после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор \(\displaystyle{M}\), называется минором, дополнительным к минору \(\displaystyle{M}\).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

\[ A=\left( \begin{array}{ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right) \]

Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора \(\displaystyle{M}\) второго порядка. Эти элементы выделены в матрице \(\displaystyle{A}\) зелёным цветом:

\[ \left(\begin{array}{ccccc} -1 & \boldgreen{2} & 0 & -2 & \boldgreen{-14}\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen{-6} & 8 & -9 & \boldgreen{41}\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array}{cc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right|. \]

Теперь уберём из матрицы \(\displaystyle{A}\) строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора \(\displaystyle{M}\) (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор \(\displaystyle{M'}\):

\[ \left( \begin{array}{ccccc} \boldred{-1} & \boldred{2} & \boldred{0} & \boldred{-2} & \boldred{-14}\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & 19 & \boldred{29}\\ \boldred{5} & \boldred{-6} & \boldred{8} & \boldred{-9} & \boldred{41}\\ -5 & \boldred{11} & 16 & -20 & \boldred{-98}\\ -7 & \boldred{10} & 14 & -36 & \boldred{79} \end{array} \right);\; M'=\left|\begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array}\right|. \]

Минор \(\displaystyle{M'}\), порядок которого равен \(\displaystyle{5-2=3}\), является минором, дополнительным к минору \(\displaystyle{M}\).

Алгебраическим дополнением к минору \(\displaystyle{M}\) квадратной матрицы \(\displaystyle{A_{n\times n}}\) называется выражение \(\displaystyle{(-1)^{\alpha}\cdot M'}\), где \(\displaystyle{\alpha}\) – сумма номеров строк и столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\), на которых расположены элементы минора \(\displaystyle{M}\), а \(\displaystyle{M'}\) – минор, дополнительный к минору \(\displaystyle{M}\).

Словосочетание "алгебраическое дополнение к минору \(\displaystyle{M}\)" часто заменяют словосочетанием "алгебраическое дополнение минора \(\displaystyle{M}\)".

Для примера рассмотрим матрицу \(\displaystyle{A}\), для которой мы находили минор второго порядка \(\displaystyle{ M=\left| \begin{array} {ccc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right| }\) и дополнительный к нему минор третьего порядка: \(\displaystyle{M'=\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|}\). Обозначим алгебраическое дополнение минора \(\displaystyle{M}\) как \(\displaystyle{M^*}\). Тогда согласно определению:

\[ M^*=(-1)^\alpha\cdot M'. \]

Параметр \(\displaystyle{\alpha}\) равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор \(\displaystyle{M}\). Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, \(\displaystyle{\alpha=1+3+2+5=11}\). Итак:

\[ M^*=(-1)^{11}\cdot M'=-\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|. \]

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение \(\displaystyle{M^*}\):

\[ M^*=-\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|=-30. \]