Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам. Первая часть.

Решение

Суть таких задач состоит в том, чтобы заметить закономерность, которая присуща первым членам ряда, и на основании этой закономерности сделать вывод о виде общего члена. Иными словами, требуется найти такое выражение, подставляя в которое \(\displaystyle{n=1}\) получим первый член ряда, т.е. \(\displaystyle{\frac{1}{7}}\); подставляя \(\displaystyle{n=2}\) получим второй член ряда, т.е. \(\displaystyle{\frac{2}{9}}\); подставляя \(\displaystyle{n=3}\) получим третий член ряда, т.е. \(\displaystyle{\frac{3}{11}}\), и так далее. Нам известны первые четыре члена ряда:

Все известные нам члены ряда – дроби, поэтому резонно предположить, что и общий член ряда тоже представлен дробью:

В числителях известных нам членов ряда стоят числа 1, 2, 3 и 4. Заметьте, что номер каждого члена ряда равен числителю. У первого члена в числителе стоит единица, у второго – двойка, у третьего – тройка, у четвёртого – четвёрка.

Логично предположить, что у n-го члена в числителе будет стоять \(\displaystyle{n}\):

В знаменателях мы имеем последовательность 7, 9, 11, 13. Это четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен \(\displaystyle{b_1=7}\), а разность \(\displaystyle{d=2}\). Общий член прогрессии найдем, используя формулу (1):

Полученное выражение, т.е. \(\displaystyle{2n+5}\), и будет знаменателем общего члена ряда. Итак:

Общий член ряда получен. Давайте проверим, подходит ли найденная нами формула \(\displaystyle{u_n=\frac{n}{2n+5}}\) для вычисления уже известных членов ряда, т.е. найдём члены \(\displaystyle{u_1}\), \(\displaystyle{u_2}\), \(\displaystyle{u_3}\) и \(\displaystyle{u_4}\) по формуле \(\displaystyle{u_n=\frac{n}{2n+5}}\). Результаты, естественно, должны совпасть с заданными нам по условию первыми четырьмя членами ряда.

Всё верно, результаты совпадают. Заданный в условии ряд можно записать теперь в такой форме: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n+5}}\). Общий член ряда имеет вид \(\displaystyle{u_n=\frac{n}{2n+5}}\).

В принципе, если речь идёт о стандартном примере, то можно считать, что ответ получен. Однако если вам интересно поисследовать вопрос более детально, то прошу читать далее. Вопрос вот в чём: является ли найденное выше представление общего члена единственным? Ответ на этот вопрос далеко не столь очевидный, как кажется на первый взгляд. Например, давайте продолжим заданный в условии ряд таким образом:

Разве такой ряд не имеет право на существование? Ещё как имеет. И для этого ряда можно записать, что

Можно предложить и иное продолжение. Например, такое:

И такое продолжение ничему не противоречит. При этом можно записать, что

Если первые два варианта показались вам чересчур формальными, то предложу третий. Давайте запишем общий член в таком виде:

Вычислим первые четыре члена ряда, используя предложенную формулу общего члена:

Как видите, такая формула общего члена вполне корректна. И таких вариаций можно, разумеется, придумать бесконечно много, их количество ничем не ограничено. В стандартных примерах, конечно, используется стандартный набор неких известных последовательностей (прогрессии, степени, факториалы и т.д.). Однако в таких задачах всегда присутствует неопределённость, и об этом желательно помнить.

Во всех последующих задачах эта неоднозначность оговариваться не будет. Решать станем стандартными способами, которые приняты в большинстве задачников.

Решение

Нам известны первые пять членов ряда:

Все известные нам члены ряда – дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби:

Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица, т.е.

Теперь обратимся к знаменателю. В знаменателях известных нам первых членов ряда расположены произведения чисел: \(\displaystyle{1\cdot{5}}\), \(\displaystyle{3\cdot{8}}\), \(\displaystyle{5\cdot{11}}\), \(\displaystyle{7\cdot{14}}\), \(\displaystyle{9\cdot{17}}\). Первые из этих чисел таковы: 1, 3, 5, 7, 9. Данная последовательность имеет первый член \(\displaystyle{a_1=1}\), а каждый последующий получается из предыдущего прибавлением числа \(\displaystyle{d=2}\). Иными словами, это первые пять членов арифметической прогрессии, общий член которой можно записать с помощью формулы (1):

Вторые числа в упомянутых произведениях таковы: 5, 8, 11, 14, 17. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой \(\displaystyle{b_1=5}\), а знаменатель \(\displaystyle{d=3}\). Общий член этой прогрессии запишем с помощью всё той же формулы (1):

Сведём результаты воедино:

Для проверки полученного результата вычислим согласно найденной по формуле те четыре первых члена ряда, которые нам известны:

Итак, формула \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{(2n-1)(3n+2)}}\) позволяет точно вычислить члены ряда, известные из условия. При желании заданный ряд можно записать так: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(3n+2)}}\).