Деление многочленов "столбиком" ("уголком").

Начнём с некоторых определений.

Многочленом (полиномом) n-й степени (или n-го порядка) называют выражение вида

\[ P_n(x) =\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i} =a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n \]

При этом одночлен \(\displaystyle{a_{0}x^{n}}\) называется высшим членом многочлена \(\displaystyle{P_n(x)}\).

Например, \(\displaystyle{4x^9+8x^2+x+11}\) – многочлен, степень которого равна \(\displaystyle{9}\). Высший член этого многочлена равен \(\displaystyle{4x^9}\).

Для любых двух многочленов \(\displaystyle{P_n(x)}\) и \(\displaystyle{G_m(x)}\) можно найти такие многочлены \(\displaystyle{Q_p(x)}\) и \(\displaystyle{R_k(x)}\), что будет выполнено равенство

\[ \begin{equation} P_n(x)=G_m(x)\cdot{Q_p(x)}+R_k(x) \end{equation} \]

причём \(\displaystyle{k \lt {m}}\).

Словосочетание "разделить многочлен \(\displaystyle{P_n(x)}\) на многочлен \(\displaystyle{G_m(x)}\)" означает "представить многочлен \(\displaystyle{P_n(x)}\) в форме (1)". Будем называть многочлен \(\displaystyle{P_n(x)}\) делимым, многочлен \(\displaystyle{G_m(x)}\) – делителем, многочлен \(\displaystyle{Q_p(x)}\) – частным от деления \(\displaystyle{P_n(x)}\) на \(\displaystyle{G_m(x)}\), а многочлен \(\displaystyle{R_k(x)}\) – остатком от деления \(\displaystyle{P_n(x)}\) на \(\displaystyle{G_m(x)}\). Если \(\displaystyle{R_k(x)\equiv{0}}\), то говорят, что многочлен \(\displaystyle{P_n(x)}\) делится на многочлен \(\displaystyle{G_m(x)}\) без остатка.

Примеры применения формулы (1)

Для многочленов \(\displaystyle{P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1}\) и \(\displaystyle{G_4(x)=3x^4+4x^2+2}\) можно получить такое равенство:

\[ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1 =\left(3x^4+4x^2+2\right)\left(4x^2+x\right)+2x^3+1 \]

Здесь многочлен \(\displaystyle{P_6(x)}\) является делимым, многочлен \(\displaystyle{G_4(x)}\) – делителем, многочлен \(\displaystyle{Q_2(x)=4x^2+x}\) – частным, а многочлен \(\displaystyle{R_3(x)=2x^3+1}\) – остатком. Замечу, что степень остатка (т.е. 3) меньше степени делителя, (т.е. 4), посему условие равенства (1) соблюдено.

Ещё один пример: многочлен \(\displaystyle{21x^6+6x^5+105x^2+30x}\) делится на \(\displaystyle{3x^4+15}\) без остатка, так как выполнено равенство:

\[ 21x^6+6x^5+105x^2+30x =\left(3x^4+15\right)\cdot\left(7x^2+2x\right) \]

Чтобы разделить многочлен на многочлен часто применяют деление "столбиком" или, как его ещё называют, "уголком". Реализацию этого метода разберём на примерах.

Задача №1

Условие

Разделить \(\displaystyle{10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5}\) на \(\displaystyle{5x^2-x+2}\), используя деление "столбиком".

Решение

Итак, мы имеем два многочлена, \(\displaystyle{P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5}\) и \(\displaystyle{G_2(x)=5x^2-x+2}\). Степень первого равна \(\displaystyle{5}\), а степень второго равна \(\displaystyle{2}\). Многочлен \(\displaystyle{P_5(x)}\) – делимое, а многочлен \(\displaystyle{G_2(x)}\) – делитель. Наша задача состоит в нахождении частного и остатка. Поставленную задачу будем решать пошагово. Станем использовать ту же запись, что и для деления чисел:

Первый шаг

Разделим высший член многочлена \(\displaystyle{P_5(x)}\) (т.е. \(\displaystyle{10x^5}\)) на высший член многочлена \(\displaystyle{Q_2(x)}\) (т.е. \(\displaystyle{5x^2}\)):

\[ \frac{10x^5}{5x^2} =2x^{5-2} =2x^3 \]

Полученное выражение \(\displaystyle{2x^3}\) – это первый элемент частного:

Умножим многочлен \(\displaystyle{5x^2-x+2}\) на \(\displaystyle{2x^3}\), получив при этом:

\[ 2x^3\cdot \left(5x^2-x+2\right) =10x^5-2x^4+4x^3 \]

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена \(\displaystyle{10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5}\) многочлен \(\displaystyle{10x^5-2x^4+4x^3}\):

\[ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-\left(10x^5-2x^4+4x^3\right) =5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 \]

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом первый шаг заканчивается. Тот результат, что мы получили, можно записать в развёрнутой форме:

\[ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5 =\left(5x^2-x+2\right)\cdot{2x^3}+5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 \]

Так как степень многочлена \(\displaystyle{5x^4-16x^3+25x^2-2x+5}\) (т.е. 4) больше степени многочлена \(\displaystyle{5x^2-x+2}\) (т.е. 2), то процесс деления надобно продолжить. Перейдём ко второму шагу.

Второй шаг

Теперь уже будем работать с многочленами \(\displaystyle{5x^4-16x^3+25x^2-2x+5}\) и \(\displaystyle{5x^2-x+2}\). Точно так же, как и на первом шаге, разделим высший член первого многочлена (т.е. \(\displaystyle{5x^4}\)) на высший член второго многочлена (т.е. \(\displaystyle{5x^2}\)):

\[ \frac{5x^4}{5x^2} =x^2 \]

Полученное выражение \(\displaystyle{x^2}\) – это второй элемент частного. Прибавим к частному \(\displaystyle{x^2}\):

Умножим многочлен \(\displaystyle{5x^2-x+2}\) на \(\displaystyle{x^2}\), получив при этом:

\[ x^2\cdot\left(5x^2-x+2\right) =5x^4-x^3+2x^2 \]

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена \(\displaystyle{5x^4-16x^3+25x^2-2x+5}\) многочлен \(\displaystyle{5x^4-x^3+2x^2}\):

\[ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2) =-15x^3+23x^2-2x+5 \]

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом второй шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

\[ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5 =\left(5x^2-x+2\right)\cdot\left(2x^3+x^2\right)-15x^3+23x^2-2x+5 \]

Так как степень многочлена \(\displaystyle{-15x^3+23x^2-2x+5}\) (т.е. 3) больше степени многочлена \(\displaystyle{5x^2-x+2}\) (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к третьему шагу.

Третий шаг

Теперь уже будем работать с многочленами \(\displaystyle{-15x^3+23x^2-2x+5}\) и \(\displaystyle{5x^2-x+2}\). Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим высший член первого многочлена (т.е. \(\displaystyle{-15x^3}\)) на высший член второго многочлена (т.е. \(\displaystyle{5x^2}\)):

\[ \frac{-15x^3}{5x^2} =-3x \]

Полученное выражение \(\displaystyle{-3x}\) – это третий элемент частного. Допишем к частному \(\displaystyle{-3x}\):

Умножим многочлен \(\displaystyle{5x^2-x+2}\) на \(\displaystyle{-3x}\), получив при этом:

\[ -3x\cdot\left(5x^2-x+2\right) =-15x^3+3x^2-6x \]

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена \(\displaystyle{-15x^3+23x^2-2x+5}\) многочлен \(\displaystyle{-15x^3+3x^2-6x}\):

\[ -15x^3+23x^2-2x+5-\left(-15x^3+3x^2-6x\right) =20x^2+4x+5 \]

Этот многочлен допишем под чертой:

На этом третий шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

\[ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5 =\left(5x^2-x+2\right)\cdot\left(2x^3+x^2-3x\right)+20x^2+4x+5 \]

Так как степень многочлена \(\displaystyle{20x^2+4x+5}\) (т.е. 2) равна степени многочлена \(\displaystyle{5x^2-x+2}\) (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к четвёртому шагу.

Четвёртый шаг

Теперь станем работать с многочленами \(\displaystyle{20x^2+4x+5}\) и \(\displaystyle{5x^2-x+2}\). Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим высший член первого многочлена (т.е. \(\displaystyle{20x^2}\)) на высший член второго многочлена (т.е. \(\displaystyle{5x^2}\)):

\[ \frac{20x^2}{5x^2} =4 \]

Полученное число \(\displaystyle{4}\) – это четвёртый элемент частного. Допишем к частному \(\displaystyle{4}\):

Умножим многочлен \(\displaystyle{5x^2-x+2}\) на \(\displaystyle{4}\), получив при этом:

\[ 4\cdot\left(5x^2-x+2\right) =20x^2-4x+8 \]

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена \(\displaystyle{20x^2+4x+5}\) многочлен \(\displaystyle{20x^2-4x+8}\):

\[ 20x^2+4x+5-\left(20x^2-4x+8\right) =8x-3 \]

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом четвёртый шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

\[ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5 =\left(5x^2-x+2\right)\cdot\left(2x^3+x^2-3x+4\right)+8x-3 \]

Так как степень многочлена \(\displaystyle{8x-3}\) (т.е. 1) меньше степени многочлена \(\displaystyle{5x^2-x+2}\) (т.е. 2), то процесс деления завершён. Частным от деления многочлена \(\displaystyle{P_6(x)}\) на многочлен \(\displaystyle{G_2(x)}\) есть многочлен \(\displaystyle{Q_3(x)=2x^3+x^2-3x+4}\). Остаток от деления \(\displaystyle{P_6(x)}\) на \(\displaystyle{G_2(x)}\) – это многочлен \(\displaystyle{R_1(x)=8x-3}\). По сути, мы представили исходный многочлен \(\displaystyle{P_6(x)}\) в форме (1):

\[ P_6(x) =G_2(x)\cdot {Q_3(x)}+R_1(x) \]

Ответ:

Частное от деления – многочлен \(\displaystyle{2x^3+x^2-3x+4}\), остаток – многочлен \(\displaystyle{8x-3}\).