Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Вторая часть.

Итак, нам нужно проинтегрировать дробь \(\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}\). В числителе расположен многочлен пятой степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. \(5 ≥ 3\), то подынтегральная дробь является неправильной. Посему перед тем, как приступать к разложению на элементарные рациональные дроби, потребно разложить сию неправильную дробь на многочлен и правильную дробь. Для этого разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, используя для сего метод деления "уголком":

Полученный результат можно представить в такой форме:

Подынтегральная дробь примет вид:

Дробь \(\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}\) является правильной, ибо степень числителя (т.е. 1) меньше степени знаменателя (т.е. 3). Теперь нужно представить эту дробь в виде суммы элементарных дробей. Для начала разложим на множители знаменатель.

Дробь \(\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}\) теперь примет такой вид:

Приступим к разложению сей дроби на элементарные:

В предыдущей задаче для нахождения параметров \(A\), \(B\), \(C\) применялся метод подстановки частных значений. Посему в этой задаче, сугубо для разнообразия, применим метод неопределённых коэффициентов. Впрочем, в конце решения я кратко укажу нахождение оных параметров с помощью метода подстановки. Итак, согласно методу неопределённых коэффициентов получим:

Дальнейший процесс решения подробно описан в первой части темы, посему ограничимся краткими комментариями. Мы имеем равенство многочленов, что означает равенство коэффициентов при соответствующих степенях \(x\). В левой части перед \(x^2\) стоит коэффициент \(0\) (т.е. в левой части стоит многочлен \(0\cdot x^2 +3x+50\)), а в правой части перед \(x^2\) расположен коэффициент \(A+B\). Отсюда имеем первое уравнение \(A+B=0\). Далее, в левой части перед \(x\) стоит коэффициент \(3\), а в правой части перед \(x\) расположен коэффициент \(10A+5B\), посему \(10A+5B=3\). Аналогичными рассуждениями получаем уравнение \(25A=50\). Все эти уравнения запишем в систему:

Конечно, полученную систему линейных уравнений можно решать разными методами: Гаусса, Крамера или с помощью обратной матрицы. Однако учитывая простоту этой системы, гораздо быстрее рассудить следующим образом. Из третьего уравнения имеем: \(A=\frac{50}{25}=2\). Подставляя \(A=2\) в первое уравнение, получим: \(2+B=0\), откуда \(B=-2\). Теперь осталось лишь подставить \(A=2\), \(B=-2\) во второе уравнение, получив при этом: \(20-10+C=3\), \(C=-7\). Коэффициенты найдены. Запишем готовое разложение на элементарные дроби:

Для подынтегральной дроби получим:

Теперь уже можно вернуться и к исходному интегралу. Расписывать интеграл на несколько интегралов не станем, ибо это уже делалось в предыдущих задачах. Просто применим формулы (1) и (2) для интегрирования соответствующих дробей:

Маленькое пояснение по поводу \(\int\frac{7}{(x+5)^2}dx\). Этот интеграл берётся по формуле (2) (в которую подставляем \(n=2\)):

Решение окончено, но дополнительно вкратце укажу процесс нахождения параметров \(A\), \(B\), \(C\) с помощью метода подстановки.

Нам нужно проинтегрировать правильную рациональную дробь. В задаче №4 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные, было получено разложение этой дроби:

Осталось лишь проинтегрировать. Для интегрирования дроби \(\frac{2}{x-3}\) будет применена формула (1); для интегрирования дроби \(\frac{4}{(x-3)^2}\) будет применена формула (2); а для интегрирования дроби \(\frac{5x-1}{x^2+2x+7}\) применим формулу (3).