AMKbook.Net – Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Вторая часть.

Задача №1

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}dx}\).

Решение

В числителе подынтегральной дроби расположен многочлен пятой степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени, поэтому подынтегральная дробь является неправильной. Перед тем, как приступать к разложению на простейшие рациональные дроби, надобно разложить неправильную дробь на многочлен и правильную дробь. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, используя для этого метод деления "уголком":

Полученный результат можно представить в такой форме:

\[ 7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50 =\left(x^3+10x^2+25x\right)\left(7x^2+4x-1\right)+3x+50 \]

Подынтегральная дробь примет следующий вид:

\[ \frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x} =\frac{(x^3+10x^2+25x)(7x^2+4x-1)+3x+50}{x^3+10x^2+25x}=\\ =\frac{(x^3+10x^2+25x)(7x^2+4x-1)}{x^3+10x^2+25x}+\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x} =7x^2+4x-1+\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x} \]

Дробь \(\displaystyle{\frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x}}\) является правильной, ибо степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Теперь нужно представить эту дробь в виде суммы простейших дробей. Для начала разложим на множители знаменатель.

\[ x^3+10x^2+25x =x\left(x^2+10x+25\right) =x\cdot(x+5)^2 \]

\[ \frac{3x+50}{x^3+10x^2+25x} =\frac{3x+50}{x\cdot(x+5)^2} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{(x+5)^2} =\frac{A(x+5)^2+Bx(x+5)+Cx}{x(x+5)^2} \]

\[ \begin{equation} 3x+50 =A(x+5)^2+Bx(x+5)+Cx \tag{1.1} \end{equation} \]

Для нахождения параметров \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) и \(\displaystyle{C}\) применим метод подстановки частных значений. Подставляя в (1.1) значения \(\displaystyle{x=-5}\) и \(\displaystyle{x=0}\), будем иметь:

\[ \begin{aligned} & x=-5 \Rightarrow 35=-5C; \; C=-7.\\ & x=0 \Rightarrow 50=25A; \; A=2. \end{aligned} \]

Нам надо найти ещё значение \(\displaystyle{B}\), но хорошие подстановки закончились. Подставим вместо \(\displaystyle{x}\) какое-либо произвольное число. Например, \(\displaystyle{x=-4}\):

\[ 38=A-4B-4C; \; 38=2-4B+28; \; B=-2. \]

Все параметры найдены: \(\displaystyle{A=2}\), \(\displaystyle{B=-2}\), \(\displaystyle{C=-7}\). Для сравнения я добавлю в примечании нахождение параметров методом неопределённых коэффициентов.

Нахождение параметров \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\), \(\displaystyle{C}\) методом неопределённых коэффициентов

Раскрываем скобки и группируем слагаемые в правой части равенства (1.1):

\[ 3x+50 =(A+B)x^2+(10A+5B)x+25A \]

\[ \left\{ \begin{aligned} & A+B=0;\\ & 10A+5B+C=3;\\ & 25A=50. \end{aligned} \right. \]

Решая эту систему, получим \(\displaystyle{A=2}\), \(\displaystyle{B=-2}\), \(\displaystyle{C=-7}\).

Параметры найдены. Запишем разложение на простейшие дроби:

\[ \frac{3x+50}{x\cdot(x+5)^2} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{(x+5)^2}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2} \]

Для подынтегральной дроби получим:

\[ \frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x} =7x^2+4x-1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2} \]

Теперь уже можно вернуться и к исходному интегралу:

\[ \int\frac{7x^5+74x^4+214x^3+90x^2-22x+50}{x^3+10x^2+25x}dx=\\ =\int\left(7x^2+4x-1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+5}-\frac{7}{(x+5)^2} \right) dx =\frac{7x^3}{3}+2x^2-x+2\ln|x|-2\ln|x+5|+\frac{7}{x+5}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{7x^3}{3}+2x^2-x+2\ln|x|-2\ln|x+5|+\frac{7}{x+5}+C}\).

Задача №2

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}dx}\).

Решение

Нам нужно проинтегрировать правильную рациональную дробь. В задаче №2 было получено разложение этой дроби:

\[ \frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)} =\frac{2}{x-3}-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{5x-1}{x^2+2x+7} \]

Осталось лишь проинтегрировать. Для интегрирования дроби \(\displaystyle{\frac{5x-1}{x^2+2x+7}}\) применим формулу (3).

\[ \int\frac{7x^3-37x^2+45x-79}{(x-3)^2(x^2+2x+7)}dx=\int\left(\frac{2}{x-3}-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{5x-1}{x^2+2x+7}\right)dx=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{(2-1)(x-3)^{2-1}}+\frac{5}{2}\cdot \ln (x^2+2x+7)+\frac{2\cdot (-1)-5\cdot 2}{\sqrt{4\cdot 7-2^2}}\arctg\frac{2x+2}{\sqrt{4\cdot 7-2^2}}+C=\\ =2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\sqrt{6}\; \arctg\frac{x+1}{\sqrt{6}}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{2\ln|x-3|+\frac{4}{x-3}+\frac{5}{2} \ln (x^2+2x+7)-\sqrt{6} \;\arctg\frac{x+1}{\sqrt{6}}+C}\).