Предел отношения двух многочленов. Первая часть: неопределенность вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\).

Пределы, о которых пойдёт речь в этой теме, имеют вид \(\displaystyle{\lim_{x\to{x_0}}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}\), где \(\displaystyle{P_n(x)}\) – многочлен n-й степени, а \(\displaystyle{Q_m(x)}\) – многочлен m-й степени (разумеется, мы полагаем эти степени большими нуля, т.е. рассматриваемые многочлены не являются обычными действительными числами). Неопределённости, связанные с пределами такого типа, имеют вид \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\) или \(\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\). На данной странице мы рассмотрим методику раскрытия неопределенности вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\), а раскрытию неопределенности \(\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\) посвящена вторая часть этой темы.

Неопределённость \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\) возникает в том случае, когда \(\displaystyle{x_0}\) – конечное число, которое является одновременно корнем как многочлена \(\displaystyle{P_n(x)}\), так и многочлена \(\displaystyle{Q_m(x)}\), т.е. \(\displaystyle{P_n(x_0)=0}\) и \(\displaystyle{Q_m(x_0)=0}\).

Чтобы раскрыть эту неопределённость, нужно разложить на множители многочлены \(\displaystyle{P_n(x)}\) и \(\displaystyle{Q_m(x)}\) таким образом, чтобы в полученных разложениях наличествовали скобки вида \(\displaystyle{(x-x_0)^{k}}\). После того, как общие множители \(\displaystyle{(x-x_0)^{k}}\) в многочленах числителя и знаменателя будут сокращены, неопределённость исчезнет.

Немного формальности

Полагаю, что изложенное выше интуитивно понятно, но при желании можно добавить щепотку формализма. Мы должны представить многочлены числителя и знаменателя в таком виде:

\[ \begin{aligned} & P_n(x) = (x-x_0)^p\cdot{R(x)};\\ & Q_m(x) = (x-x_0)^q\cdot{S(x)}. \end{aligned} \]

Здесь \(\displaystyle{R(x)}\) и \(\displaystyle{S(x)}\) – некие многочлены, для которых \(\displaystyle{R(x_0)\neq{0}}\) и \(\displaystyle{S(x_0)\neq{0}}\), т.е. число \(\displaystyle{x_0}\) не является корнем ни одного из этих многочленов.

Если \(\displaystyle{p\lt{q}}\), то получим:

\[ \lim_{x\to{x_0}}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} =\lim_{x\to{x_0}}\frac{(x-x_0)^p\cdot{R(x)}}{(x-x_0)^q\cdot{S(x)}} =\lim_{x\to{x_0}}\frac{R(x)}{(x-x_0)^{q-p}\cdot{S(x)}} =\infty \]

Для случая \(\displaystyle{p=q}\) будем иметь:

\[ \lim_{x\to{x_0}}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} =\lim_{x\to{x_0}}\frac{(x-x_0)^p\cdot{R(x)}}{(x-x_0)^p\cdot{S(x)}} =\lim_{x\to{x_0}}\frac{R(x)}{S(x)} =\frac{R(x_0)}{S(x_0)} \]

Если же \(\displaystyle{p\gt{q}}\), то получим:

\[ \lim_{x\to{x_0}}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} =\lim_{x\to{x_0}}\frac{(x-x_0)^p\cdot{R(x)}}{(x-x_0)^p\cdot{S(x)}} =\lim_{x\to{x_0}}\frac{(x-x_0)^{p-q}\cdot{R(x)}}{S(x)} =0 \]

Для разложения на множители могут быть полезны несколько известных формул, которые я запишу ниже:

\[ \begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \]

\[ \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot\left(a^2+ab+b^2\right) \end{equation} \]

\[ \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot\left(a^2-ab+b^2\right) \end{equation} \]

\[ \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot\left(a^3+a^2 b+ab^2+b^3\right) \end{equation} \]

Если \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\) – корни квадратного трёхчлена \(\displaystyle{ax^2+bx+c}\), то разложить его на множители можно по следующей формуле:

\[ \begin{equation} ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation} \]

Замечу, что формулы (1)-(5) применяются в простейших случаях. В общем случае для задач такого типа удобно использовать схему Горнера или o-малое.

Задача №1

Условие

Найти \(\displaystyle{\lim_{x\to{-2}}\frac{x^3+8}{3x^2+10x+8}}\).

Решение

Этот пример рассмотрим подробно. Сперва выясним, чему равны пределы многочленов в числителе и знаменателе:

\[ \begin{aligned} & \lim_{x\to {-2}}\left(x^3+8\right)=(-2)^3+8=0;\\ & \lim_{x\to {-2}}\left(3x^2+10x+8\right)=3\cdot(-2)^2+10\cdot(-2)+8=0. \end{aligned} \]

Итак, в заданном пределе мы имеем неопределённость вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Эта неопределённость возникла из-за того, что \(\displaystyle{x=-2}\) – общий корень упомянутых многочленов, т.е. в разложении их на множители можно выделить скобку вида \(\displaystyle{(x+2)^k}\).

Отсюда следует цель дальнейших преобразований: разложить на множители данные многочлены, после чего сократить скобки вида \(\displaystyle{(x+2)^k}\). Применим формулу №3, чтобы разложить на множители \(\displaystyle{x^3+8}\):

\[ x^3+2^3 =(x+2)\cdot\left(x^2-2x+2^2\right) =(x+2)\cdot\left(x^2-2x+4\right) \]

Перейдём к разложению \(\displaystyle{3x^2+10x+8}\) – применим для этого формулу №5. Чтобы использовать данную формулу, сначала потребуется решить квадратное уравнение \(\displaystyle{3x^2+10x+8=0}\). Конечно, мы можем использовать стандартный путь – через дискриминант, однако в данной ситуации это плохой выбор. Дело в том, что один корень данного многочлена нам уже известен: мы знаем, ибо проверили в самом начале решения, что \(\displaystyle{x_1=-2}\) – корень трёхчлена \(\displaystyle{3x^2+10x+8}\). Для нахождения второго корня \(\displaystyle{x_2}\) можно воспользоваться формулами Виета. Например, так:

\[ x_1\cdot{x_2}=\frac{8}{3}\; \Rightarrow \; x_2=-\frac{4}{3}. \]

Или так:

\[ x_1+x_2=-\frac{10}{3}\; \Rightarrow \; x_2=-\frac{4}{3}. \]

Теперь можно записать разложение на множители:

\[ 3x^2+10x+8 =3\cdot(x-x_1)(x-x_2) =3\cdot(x+2)\cdot\left(x+\frac{4}{3}\right) =(x+2)\cdot(3x+4) \]

Как ещё можно получить разложение знаменателя на множители?

Мы знаем, что \(\displaystyle{x=-2}\) – корень многочлена \(\displaystyle{3x^2+10x+8}\). Следовательно, искомое разложение на множители будет иметь такой вид:

\[ 3x^2+10x+8=(x+2)\cdot(kx+d) \]

Далее исходим из того, что после раскрытия скобок в произведении \(\displaystyle{(x+2)\cdot(kx+d)}\) мы должны получить многочлен \(\displaystyle{3x^2+10x+8}\). Отсюда сразу следует, что \(\displaystyle{k=3}\), \(\displaystyle{d=4}\).

Можно использовать и схему Горнера. В данном примере её применение мне видится излишним, однако почему бы и нет – разделим многочлен \(\displaystyle{3x^2+10x+8}\) на \(\displaystyle{x+2}\), используя схему Горнера:

\[ \begin{array} {c|c|c|c} & 3 & 10 & 8\\ \hline -2 & 3 & 4 & 0 \end{array} \]

\[ 3x^2+10x+8=(x-(-2))\cdot(3\cdot x+4)=(x+2)\cdot(3x+4) \]

Вернёмся к рассматриваемому пределу и сократим скобки:

\[ \lim_{x\to{-2}}\frac{x^3+8}{3x^2+10x+8} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{-2}}\frac{(x+2)\left(x^2-2x+4\right)}{(x+2)(3x+4)} =\lim_{x\to{-2}}\frac{x^2-2x+4}{3x+4} =\frac{12}{-2} =-6. \]

Ответ:

\(\displaystyle{-6}\).

В следующей задаче мы применим ту же идею – разложить на множители и сократить, – только для разложения потребуется применить схему Горнера. Если вам этот метод знаком, то данную задачу можно пропустить.

Задача №2

Условие

Найти пределы:

\(\displaystyle{\lim_{x\to 4}\frac{2x^4-7x^3-4x^2-7x+28}{5x^3-19x^2+8x-48}}\)
\(\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{2x^5-5x^4+7x^3-11x^2+11x-4}{9x^4-18x^3+11x^2-4x+2}}\)

Решение

Пункт №1

В данном случае для числителя и знаменателя имеем:

\[ \begin{aligned} & \lim_{x\to 4}\left(2x^4-7x^3-4x^2-7x+28\right) =2\cdot4^4-7\cdot{4}^3-4\cdot{4}^2-7\cdot{4}+28 =0;\\ & \lim_{x\to 4}\left(5x^3-19x^2+8x-48\right) =5\cdot{4}^3-19\cdot{4}^2+8\cdot{4}-48 =0. \end{aligned} \]

Так как при \(\displaystyle{x\to{4}}\) числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Чтобы раскрыть оную неопределённость, нужно разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе. Для этой цели применим схему Горнера. Разделим многочлен \(\displaystyle{2x^4-7x^3-4x^2-7x+28}\) на \(\displaystyle{x-4}\):

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} & 2 & -7 & -4 & -7 & 28\\ \hline 4 & 2 & 1 & 0 & -7 & 0 \end{array} \]

\[ 2x^4-7x^3-4x^2-7x+28 =(x-4)\left(2\cdot{x}^3+1\cdot{x}^2+0\cdot{x}-7\right) =(x-4)\left(2x^3+x^2-7\right) \]

Отмечу, что дальнейшее деление на \(\displaystyle{x-4}\) не требуется. Если это не очевидно, то гляньте пояснения под примечанием.

Почему мы не стали делить дальше и остановились?

Дело в том, что число \(\displaystyle{x=4}\) не является корнем многочлена \(\displaystyle{2x^3+x^2-7}\). Это легко доказать: при \(\displaystyle{x=4}\) имеем \(\displaystyle{x^2-7\gt{0}}\), посему \(\displaystyle{2x^3+x^2-7\gt{0}}\).

Конечно, если есть желание, можно дописать ещё одну строку в схеме Горнера:

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c|c} & 2 & -7 & -4 & -7 & 28\\ \hline 4 & 2 & 1 & 0 & -7 & 0 \\ \hline 4 & 2 & 9 & 36 & 137 & \phantom{0} \end{array} \]

Как видите, последний элемент третьей строки не равен нулю, т.е. многочлен \(\displaystyle{2x^3+x^2-7}\) на \(\displaystyle{x-4}\) не делится.

Теперь разделим \(\displaystyle{5x^3-19x^2+8x-48}\) на \(\displaystyle{x-4}\):

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c} & 5 & -19 & 8 & -48\\ \hline 4 & 5 & 1 & 12 & 0 \end{array} \]

\[ 5x^3-19x^2+8x-48 =(x-4)\left(5\cdot{x}^2+1\cdot{x}+12\right) =(x-4)\left(5x^2+x+12\right) \]

Дальнейшее деление на \(\displaystyle{x-4}\) в данном случае не требуется. Разумеется, возможна ситуация, в которой схему Горнера придётся применить несколько раз, – подобный случай рассмотрим в пункте №2. Возвращаясь к исходному пределу, будем иметь:

\[ \lim_{x\to{4}}\frac{2x^4-7x^3-4x^2-7x+28}{5x^3-19x^2+8x-48} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{4}}\frac{(x-4)\left(2x^3+x^2-7\right)}{(x-4)\left(5x^2+x+12\right)} =\lim_{x\to{4}}\frac{2x^3+x^2-7}{5x^2+x+12} =\frac{137}{96} \]

Пункт №2

В даном случае для числителя и знаменателя имеем:

\[ \begin{aligned} & \lim_{x\to 1}\left(2x^5-5x^4+7x^3-11x^2+11x-4\right)=2-5+7-11+11-4=0;\\ & \lim_{x\to 1}\left(9x^4-18x^3+11x^2-4x+2\right)=9-18+11-4+2=0. \end{aligned} \]

Так как при \(\displaystyle{x\to{1}}\) числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе с помощью схемы Горнера. Начнём с многочлена \(\displaystyle{2x^5-5x^4+7x^3-11x^2+11x-4}\), который будем делить на бином \(\displaystyle{x-1}\):

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c} & 2 & -5 & 7 & -11 & 11 & -4\\ \hline 1 & 2 & -3 & 4 & -7 & 4 & 0 \\ \hline 1 & 2 & -1 & 3 & -4 & 0 & \\ \hline 1 & 2 & 1 & 4 & 0 & & \end{array} \]

Дальнейшие преобразования не нужны, в чём несложно убедиться, дописав ещё одну строку в схему Горнера или же просто подставив \(\displaystyle{x=1}\) в многочлен \(\displaystyle{2x^2+x+4}\).

\[ 2x^5-5x^4+7x^3-11x^2+11x-4 =(x-1)^3\cdot\left(2x^2+x+4\right) \]

Применим схему Горнера для деления многочлена \(\displaystyle{9x^4-18x^3+11x^2-4x+2}\) на бином \(\displaystyle{x-1}\):

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c|c} & 9 & -18 & 11 & -4 & 2\\ \hline 1 & 9 & -9 & 2 & -2 & 0 \\ \hline 1 & 9 & 0 & 2 & 0 & \end{array} \]

\[ 9x^4-18x^3+11x^2-4x+2 =(x-1)^2\cdot\left(9x^2+2\right) \]

Возвращаясь к исходному пределу, будем иметь:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{2x^5-5x^4+7x^3-11x^2+11x-4}{9x^4-18x^3+11x^2-4x+2} =\left[\frac{0}{0}\right]=\\ =\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^3\cdot\left(2x^2+x+4\right)}{(x-1)^2\cdot\left(9x^2+2\right)} =\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\cdot\left(2x^2+x+4\right)}{9x^2+2} =\frac{(1-1)\cdot(2+1+4)}{9+2} =0 \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{137}{96}}\)
0

В предыдущих примерах мы подробно разобрали основной классический путь решения задач такого рода: разложить на множители, а затем сократить рациональную дробь. В принципе, для большинства учебных задач этого хватит. Для практики можно дополнительно глянуть задачи из решебника: 1066, 1068, 1069, 1949. Также рекомендую глянуть задачу 1070, для решения которой перед разложением на множители требуется провести предварительные преобразования.

Нередко бывает удобен иной путь решения: ввести новую переменную таким образом, чтобы она устремилась к нулю. Говоря обобщённо, если у нас есть предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{x_0}}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}\), в котором имеется неопределённость вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\), то можно осуществить замену \(\displaystyle{t=x-x_0}\), при этом новая переменная \(\displaystyle{t\to{0}}\). После этого свободный член в многочленах числителя и знаменателя исчезнет, и останется лишь вынести за скобки и сократить \(\displaystyle{t}\) в некоторой степени. Например, предел из задачи №1 с помощью данной замены будет решён так:

\[ \lim_{x\to {-2}}\frac{x^3+8}{3x^2+10x+8} =\left[\begin{aligned}& t=x+2;\\& t\to{0}.\end{aligned}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{(t-2)^3+8}{3\cdot(t-2)^2+10\cdot(t-2)+8}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{t^3-6t^2+12t}{3t^2-2t} =\lim_{t\to{0}}\frac{t\cdot\left(t^2-6t+12\right)}{t\cdot(3t-2)} =\lim_{t\to{0}}\frac{t^2-6t+12}{3t-2} =\frac{12}{-2} =-6. \]

Разумеется, что в данном примере проще не делать никакой замены, а решить, банально разложив многочлены на множители – как это было показано в задаче №1. Приём с заменой, используемый вкупе с o-символикой, удобен, когда традиционное "разложить и сократить" приводит к громоздким преобразованиям. Если для вас запись \(\displaystyle{o(t)}\) незнакома, то под примечание я скрыл краткое пояснение, достаточное для текущей ситуации.

Что подразумевается под \(\displaystyle{o(t)}\)?

Отмечу, что эта запись крайне распространена в математической литературе, посему очень советую ознакомиться с нею не второпях, а детально. С этой целью могу порекомендовать, например, отменную методичку С.В. Ивановой "Формула Тейлора и её приложения к вычислению пределов функций" (МФТИ, 2011). Для текущей же темы нам хватит понимания \(\displaystyle{o(t^n)}\) как обозначения некоей произвольной функции, для которой выполнено такое равенство:

\[ \lim_{t\to{0}}\frac{o(t^n)}{t^n} =0 \]

Например, функцию \(\displaystyle{5t^4+2t^3}\) можно обозначить как \(\displaystyle{o(t^2)}\), так как

\[ \lim_{t\to{0}}\frac{5t^4+2t^3}{t^2} =\lim_{t\to{0}}\left(5t^2 + 2t\right) =0 \]

Впрочем, эту же функцию можно обозначить и как \(\displaystyle{o(t)}\), ибо

\[ \lim_{t\to{0}}\frac{5t^4+2t^3}{t} =\lim_{t\to{0}}\left(5t^3 + 2t^2\right) =0 \]

Функцию \(\displaystyle{10t^9+4t^7}\) можно обозначить как \(\displaystyle{o(t^3)}\), ибо

\[ \lim_{t\to{0}}\frac{10t^9+4t^7}{t^3} =\lim_{t\to{0}}\left(10t^6+4t^4\right) =0 \]

Эту же функцию можно обозначить, например, и как \(\displaystyle{o(t)}\), и как \(\displaystyle{o(t^2)}\), и как \(\displaystyle{o(t^5)}\).

Задача №3

Условие

Найти \(\displaystyle{\lim_{x\to{2}}\frac{(x-1)^{101}-101x+201}{3x^3-12x^2+12x}}\).

Решение

Так как при \(\displaystyle{x\to{2}}\) числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Как и ранее, нужно разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе, однако же для многочлена в числителе это сделать несколько затруднительно. Для знаменателя трудностей нет, разложение будет таким:

\[ 3x^3-12x^2+12x =3x\cdot\left(x^2-4x+4\right) =3x\cdot(x-2)^2 \]

Но в числителе скобка \(\displaystyle{(x-1)^{101}}\) становится препятствием: раскрывать её – дело чрезвычайно громоздкое. Попробуем пойти другими путями.

Замена \(\displaystyle{t=x-1}\)

Скобку не придется раскрывать, если скобки не будет, т.е. если вместо скобки будет одна переменная. Для этой цели введём новую переменную \(\displaystyle{t=x-1}\). Так как \(\displaystyle{x\to{2}}\), то \(\displaystyle{t\to{1}}\). При этом из условия \(\displaystyle{t=x-1}\) мы сразу получим \(\displaystyle{x=t+1}\).

Напомню, что мы уже разложили на множители знаменатель, который с новой переменной станет таким:

\[ 3x\cdot(x-2)^2=3\cdot(t+1)\cdot(t-1)^2 \]

Что же касается числителя, то для него будем иметь:

\[ (x-1)^{101}-101x+201 =t^{101}-101\cdot(t+1)+201 =t^{101}-101t+100 \]

Полученный многочлен нужно разложить на множители. Используя схему Горнера, получим:

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \phantom{0}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 & -101 & 100\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 1 & -100 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & 98 & 99 & 100 & 0 & \phantom{0} \end{array} \]

\[ t^{101}-101t+100 =(t-1)^2\cdot\left(t^{99}+2t^{98}+3t^{97}+4t^{96}+\ldots+99t+100\right) \]

Итак, переходим к пределу с новой переменной:

\[ \lim_{x\to{2}}\frac{(x-1)^{101}-101x+201}{3x^3-12x^2+12x} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{t\to{1}}\frac{t^{101}-101t+100}{3\cdot(t+1)\cdot(t-1)^2}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)^2\cdot\left(t^{99}+2t^{98}+3t^{97}+4t^{96}+\ldots+99t+100\right)}{3\cdot(t+1)\cdot(t-1)^2}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{t^{99}+2t^{98}+3t^{97}+4t^{96}+\ldots+99t+100}{3\cdot(t+1)} =\frac{1+2+3+4+\ldots+99+100}{3\cdot{2}} =\frac{5050}{3\cdot{2}} =\frac{2525}{3}. \]

На всякий случай напишу пояснение относительно числа 5050, полученного в числителе. Выражение \(\displaystyle{1+2+\ldots+100}\) есть сумма первых ста членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью, равными 1. Для суммы первых \(\displaystyle{n}\) членов арифметической прогрессии есть готовая формула, которую мы и применили:

\[ 1+2+3+4+\ldots+99+100=\frac{1+100}{2}\cdot{100}=5050. \]

Сделанная замена привела нас к ответу, однако данный способ решения едва ли можно назвать удачным. Удобнее сделать такую замену, чтобы новая переменная устремилась к нулю, что мы и рассмотрим далее.

Замена \(\displaystyle{t=x-2}\)

Эта замена удобна тем, что новая переменная \(\displaystyle{t\to{0}}\). Применение o-символики делает решение данного примера банальной рутиной. Сперва выполним замену:

\[ \lim_{x\to{2}}\frac{(x-1)^{101}-101x+201}{3x\cdot(x-2)^2} =\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^{101}-101(t+2)+201}{3t^2(t+2)} \]

Теперь обратимся к многочлену \(\displaystyle{(1+t)^{101}}\). Используем бином Ньютона:

\[ (1+t)^{101} =1+101t+5050t^2+o(t^2) \]

Почему в конце суммы записано \(\displaystyle{o(t^2)}\)?

При раскрытии скобок мы получим такой результат:

\[ (1+t)^{101} =1+101t+5050t^2+P(t) \]

Многочлен \(\displaystyle{P(t)}\) состоит из членов вида \(\displaystyle{kt^{n}}\), где степень \(\displaystyle{n\ge{3}}\). Это значит, что \(\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{P(t)}{t^2}=0}\), т.е. \(\displaystyle{P(t)}\) есть \(\displaystyle{o(t^2)}\):

\[ (1+t)^{101} =1+101t+5050t^2+o(t^2) \]

Теперь выражение в числителе можно записать так:

\[ (1+t)^{101}-101(t+2)+201 =1+101t+5050t^2+o(t^2)-101t-202+201 =5050t^2+o(t^2) \]

Вернёмся к пределу:

\[ \lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^{101}-101(t+2)+201}{3t^2(t+2)} =\lim_{t\to{0}}\frac{5050t^2+o(t^2)}{3t^2(t+2)} =\lim_{t\to{0}}\frac{5050+\frac{o(t^2)}{t^2}}{3(t+2)} =\frac{5050+0}{3\cdot(0+2)} =\frac{2525}{3} \]

Такой способ мне видится гораздо более удобным, нежели первый. Для практики советую обратить внимание на задачи 1073, 1946, 1950, 1951, 1952, 1953.

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{2525}{3}}\).