Линейно зависимые и линейно независимые функции. Примеры исследования функций на линейную зависимость по определению.

Решение

Рассмотрим линейную комбинацию этих функций:

Если \(\displaystyle{\forall {x}\in R}\) равенство \(\displaystyle{\alpha_1\cdot {y_1}+\alpha_2\cdot {y_2}+\alpha_3\cdot {y_3}=0}\) выполняется только при \(\displaystyle{\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0}\), то рассматриваемые функции линейно независимы. Если же упомянутое равенство возможно при условии, что хотя бы один из коэффициентов \(\displaystyle{\alpha_i}\) не равен нулю, то функции линейно зависимы. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Полученный многочлен может быть равным нулю при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\) лишь в том случае, когда все коэффициенты при степенях переменной \(\displaystyle{x}\) одновременно равны нулю, т.е.

Мы получили однородную систему линейных уравнений. Нам нет необходимости в её решении, нужно лишь установить количество решений. Если решение лишь одно – нулевое, т.е. \(\displaystyle{\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0}\), то функции линейно независимы. Если же есть иные решения, кроме нулевого, то функции линейно зависимы. Найдем ранг матрицы системы \(\displaystyle{A= \left( \begin{matrix} 1 & -4& -5\\ 2 & 7& 20 \\ -4& -1& -14 \end{matrix} \right)}\) и ранг расширенной матрицы системы: \(\displaystyle{\tilde{A}= \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -4& -5& 0\\ 2 & 7& 20 & 0 \\ -4& -1& -14 & 0 \end{array} \right)}\), а затем применим следствие из теоремы Кронекера-Капелли.

Итак, \(\displaystyle{\rang \tilde{A}=\rang {A}=2 \lt {3}}\), т.е. система имеет бесконечное количество решений. Следовательно, функции \(\displaystyle{y_1}\), \(\displaystyle{y_2}\), \(\displaystyle{y_3}\) линейно зависимы. При желании можно отыскать один из этого бесконечного множества наборов значений \(\displaystyle{\alpha_1}\), \(\displaystyle{\alpha_2}\) и \(\displaystyle{\alpha_3}\), в котором хотя бы один элемент не равен нулю. Продолжим решение системы уравнений, вычеркнув нулевую строку и перенеся третий столбец (он соответствует переменной \(\displaystyle{\alpha_3}\)) за черту:

Отсюда получаем решение: \(\displaystyle{\left\{ \begin{aligned}&\alpha_1=-3\alpha_3;\\&\alpha_2=-2\alpha_3;\\&\alpha_3=\alpha_3;\;\alpha_3 \in R \end{aligned} \right.}\) Например, подставив \(\displaystyle{\alpha_3=-1}\), получим \(\displaystyle{\alpha_1=3}\), \(\displaystyle{\alpha_2=2}\). Несложно убедиться непосредственной проверкой, что равенство \(\displaystyle{\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0}\) при найденных коэффициентах будет выполнено \(\displaystyle{\forall {x}\in {R}}\):

Решение

Исследование проведем в интервале \(\displaystyle{T=(4;+\infty)}\), который представляет собой пересечение областей определения заданных функций. Применим правило для определения линейной зависимости двух функций, указанное в начале страницы. Так как при \(\displaystyle{x\in(4;+\infty)}\) имеем: \(\displaystyle{\frac{y_1(x)}{y_2(x)}=\frac{\ln(x-4)}{3}\neq {const}}\), то данные функции линейно независимы на \(\displaystyle{T=(4;+\infty)}\).

Решение

Так как \(\displaystyle{\arcsin {x}+\arccos {x}=\frac{\pi}{2}}\) \(\displaystyle{\forall x \in [-1;1]}\) то:

Итак, существует такой набор констант \(\displaystyle{\alpha_1}\), \(\displaystyle{\alpha_2}\), \(\displaystyle{\alpha_3}\) (например, \(\displaystyle{\alpha_1=1}\), \(\displaystyle{\alpha_2=1}\), \(\displaystyle{\alpha_3=-\frac{\pi}{8}}\)), среди которых есть хотя бы одна константа, отличная от нуля, что равенство \(\displaystyle{\alpha_1\cdot {y}_1+\alpha_2\cdot {y}_2+\alpha_3\cdot{y}_3=0}\) будет выполнено для всех \(\displaystyle{x\in[-1;1]}\). Это означает, что функции \(\displaystyle{y_1(x)=4}\), \(\displaystyle{y_2(x)=\arcsin{x}}\), \(\displaystyle{y_3(x)=\arccos{x}}\) линейно зависимы на отрезке \(\displaystyle{[-1;1]}\).

Решение

Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. \(\displaystyle{x\in {R}}\). Рассмотрим линейную комбинацию заданных функций:

Функции будут линейно зависимыми, если существует такой набор констант \(\displaystyle{\alpha_1}\) и \(\displaystyle{\alpha_2}\), что для всех значений \(\displaystyle{x\in {R}}\) выполнено равенство \(\displaystyle{f(x)=0}\), причем хотя бы один из коэффициентов (\(\displaystyle{\alpha_1}\) или \(\displaystyle{\alpha_2}\)) не равен нулю. Если же выполнение равенства \(\displaystyle{f(x)=0}\) при \(\displaystyle{\forall x\in {R}}\) возможно лишь при \(\displaystyle{\alpha_1=\alpha_2=0}\), то заданные функции будут линейно независимыми. Рассмотрим равенство \(\displaystyle{f(x)=0}\) подробнее.

Если \(\displaystyle{x\ge {0}}\), то \(\displaystyle{|x|=x}\), поэтому равенство \(\displaystyle{f(x)=0}\) станет таким:

Полученное равенство должно быть выполнено при всех \(\displaystyle{x\ge{0}}\), поэтому \(\displaystyle{\alpha_1+\alpha_2=0}\).

Если же \(\displaystyle{x \lt {0}}\), то \(\displaystyle{|x|=-x}\), поэтому равенство \(\displaystyle{f(x)=0}\) станет таким:

Полученное равенство должно быть выполнено при всех значениях \(\displaystyle{x \lt {0}}\), поэтому \(\displaystyle{\alpha_1-\alpha_2=0}\).

Итак, чтобы равенство \(\displaystyle{f(x)=0}\) было верным для всех \(\displaystyle{x\in {R}}\), требуется одновременное выполнение двух условий:

Полученная система имеет лишь нулевое решение: \(\displaystyle{\alpha_1=\alpha_2=0}\). Итак, выполнение равенства \(\displaystyle{f(x)=0}\) при \(\displaystyle{\forall {x}\in {R}}\) возможно лишь в случае \(\displaystyle{\alpha_1=\alpha_2=0}\), поэтому функции линейно независимы на R.