AMKbook.Net Задачи должны иметь решение

Пределы с иррациональностями. Вторая часть.

В этой части рассмотрим методы нахождения пределов с иррациональностями, отличные от домножения на сопряжённое выражение (этот метод был рассмотрен в первой части).

Задача №1

Условие

Найти \(\displaystyle{\lim_{x\to{2}}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}}\).

Решение

Мы имеем дело с неопределенностью \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Конечно, можно применить домножение на сопряжённые выражения, как мы делали в первой части темы, однако такой метод решения несколько громоздок. Рассмотрим иные варианты.

Первый способ: замена

В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать замену. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. \(\displaystyle{3x-5}\)), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение \(\displaystyle{3x-5}\) буквой \(\displaystyle{t}\). Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: \(\displaystyle{\frac{\sqrt[5]{t}-1}{\sqrt[3]{t}-1}}\). Иррациональность никуда не исчезла, – лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.

Здесь уместно вспомнить, что убрать корень поможет степень, но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятой, а другой – третьей степени. Степень замены должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня. Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на \(\displaystyle{3}\) и на \(\displaystyle{5}\). Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них – число \(\displaystyle{15}\). Полагая \(\displaystyle{t^{15}=3x-5}\), будем иметь:

\[ \sqrt[5]{3x-5}=\sqrt[5]{t^{15}}=t^3;\\ \sqrt[3]{3x-5}=\sqrt[3]{t^{15}}=t^5. \]

Корни исчезли, остались лишь степени. Следовательно,

\[ \frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\frac{t^3-1}{t^5-1} \]

При этом нужно отметить, что так как \(\displaystyle{t=\sqrt[15]{3x-5}}\) и \(\displaystyle{x\to{2}}\), то \(\displaystyle{t\to{1}}\). Теперь можем вернуться к пределу:

\[ \lim_{x\to{2}}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{t\to{1}}\frac{t^3-1}{t^5-1}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)} =\lim_{t\to{1}}\frac{t^2+t+1}{t^4+t^3+t^2+t+1} =\frac{3}{5}. \]

В ходе преобразований мы раскладывали на множители многочлены \(\displaystyle{t^3-1}\) и \(\displaystyle{t^5-1}\). В принципе, для этого есть готовые формулы, но можно использовать и схему Горнера. Для примера разделим многочлен \(\displaystyle{t^5-1}\) на \(\displaystyle{t-1}\) с помощью схемы Горнера:

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \]

Из второй строки таблицы записываем результат:

\[t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)\]

Второй способ: следствие из второго замечательного предела

Для решения этим способом желательно, хоть и не обязательно, осуществить замену с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю. В данном случае полагаем \(\displaystyle{t=x-2}\), при этом \(\displaystyle{t\to{0}}\).

\[ \lim_{x\to{2}}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[5]{3(t+2)-5}-1}{\sqrt[3]{3(t+2)-5}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{(1+3t)^{\frac{1}{5}}-1}{(1+3t)^{\frac{1}{3}}-1} \]

Далее мы вспоминаем формулу №5 из темы про следствия из второго замечательного предела. Разделим числитель и знаменатель на \(\displaystyle{3t}\), чтобы иметь возможность применить упомянутую формулу:

\[ \lim_{t\to{0}}\frac{(1+3t)^{\frac{1}{5}}-1}{(1+3t)^{\frac{1}{3}}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{(1+3t)^{\frac{1}{5}}-1}{3t}}{\frac{(1+3t)^{\frac{1}{3}}-1}{3t}} =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} =\frac{3}{5} \]

Третий способ: формула Маклорена

Тут можно обойтись и без замены переменной, однако с моей точки зрения такая замена всё же удобна. Как и при решении предыдущим способом полагаем \(\displaystyle{t=x-2}\), при этом \(\displaystyle{t\to{0}}\). Применим формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано:

\[ (1+x)^{\alpha} =1+\alpha{x} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdot\ldots\cdot(\alpha-(n-1))}{n!}x^n + o(x^n) \]

Полагая \(\displaystyle{x=3t}\) и \(\displaystyle{\alpha=\frac{1}{5}}\), получим:

\[ (1+3t)^{\frac{1}{5}} = 1 + \frac{3t}{5}+o(t) \]

Аналогично имеем \(\displaystyle{(1+3t)^{\frac{1}{3}} = 1 + t + o(t)}\). Теперь вернёмся к пределу:

\[ \lim_{t\to{0}}\frac{(1+3t)^{\frac{1}{5}}-1}{(1+3t)^{\frac{1}{3}}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{1 + \frac{3t}{5}+o(t)-1}{1 + t + o(t)-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{3t}{5}+o(t)}{t + o(t)} =\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{3}{5}+\frac{o(t)}{t}}{1 + \frac{o(t)}{t}} =\frac{3}{5} \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{3}{5}}\).

Задача №2

Условие

Найти \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt[7]{1+x}}{\sqrt[4]{1+2x}+x-\sqrt[3]{1+x}}}\).

Решение

Домножать на сопряжённые выражения здесь смысла нет. Можно применить формулы Маклорена или же упомянутое в предыдущей задаче следствие из второго замечательного предела.

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt[7]{1+x}}{\sqrt[4]{1+2x}+x-\sqrt[3]{1+x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+3x}-1-\left(\sqrt[7]{1+x}-1\right)}{\sqrt[4]{1+2x}-1+x-\left(\sqrt[3]{1+x}-1\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{3\cdot\frac{(1+3x)^{\frac{1}{2}}-1}{3x} - \frac{(1+x)^{\frac{1}{7}}-1}{x}}{2\cdot\frac{(1+2x)^{\frac{1}{4}}-1}{2x}+ 1 - \frac{(1+x)^{\frac{1}{3}}-1}{x}} =\frac{3\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{7}}{2\cdot\frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{3}} =\frac{57}{49} \]

Если использовать формулу Маклорена, решение будет таким:

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt[7]{1+x}}{\sqrt[4]{1+2x}+x-\sqrt[3]{1+x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{1+\frac{3x}{2}+o(x)-\left(1+\frac{x}{7} + o(x)\right)}{1+\frac{x}{2}+o(x) + x - \left(1+\frac{x}{3}+o(x)\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{19x}{14}+o(x)}{\frac{7x}{6}+o(x)} =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{19}{14}+\frac{o(x)}{x}}{\frac{7}{6}+\frac{o(x)}{x}} =\frac{\frac{19}{14}+0}{\frac{7}{6}+0} =\frac{57}{49} \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{57}{49}}\).

Дополнительно рекомендую посмотреть решения задач, в которых пределы с иррациональностями решаются с помощью формул Маклорена, замены переменной и следствия из второго замечательного предела: 1963, 1964, 1965, 1966, 1969, 1970, 1971.