Радикальный признак Коши. Первая часть.

Радикальный признак Коши используется для исследования сходимости рядов, общий член которых является неотрицательным, т.е. \(\displaystyle{u_n \ge {0}}\). Обычно в стандартных примерах радикальный признак Коши используют в предельной форме.

Радикальный признак Коши (в предельной форме)

Если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) положителен и

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=L, \]

то при \(\displaystyle{L \lt {1}}\) ряд сходится, а при \(\displaystyle{L\gt{1}}\) (и при \(\displaystyle{L=\infty}\)) ряд расходится.

Если \(\displaystyle{L=1}\), то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Чаще всего в стандартных примерах радикальный признак Коши применяется, если в выражении общего члена ряда все элементы возведены в степень, которую можно сократить на \(\displaystyle{n}\).

Задача №1

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^{2n}}\) на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^{2n}}\). Так как при \(\displaystyle{n\in{N}}\) имеем \(\displaystyle{3n^2-1 \gt {0}}\) и \(\displaystyle{5n^2+7n \gt {0}}\), то \(\displaystyle{u_n \gt {0}}\).

Проверка выполнения необходимого условия сходимости здесь возможна, хоть и бессмысленна. Обычно эту проверку делают устно или вообще пропускают. Давайте проведем простые рассуждения: так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-1}{5n^2+7}=\frac{3}{5}}\), то

\[ \lim_{n\to\infty}u_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7}\right)^{2n} =0 \]

Предел общего члена ряда равен нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено. Это говорит лишь о том, что наш ряд может сходиться (а может и расходиться). Поэтому требуется дальнейшее исследование вопроса сходимости ряда.

Выражение для общего члена ряда содержит дробь в степени \(\displaystyle{2n}\). Для стандартного примера такая структура общего члена ряда – практически стопроцентная гарантия применения радикального признака Коши. Дело в том, что радикальный признак Коши работает с корнем, который позволит упростить степень.

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^{2n}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^{\frac{2n}{n}}=\\ =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^2 =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{3n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2}+\frac{7n}{n^2}}\right)^2 =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{7}{n}}\right)^2 =\left(\frac{3-0}{5+0}\right)^2 =\frac{9}{25} \]

Так как \(\displaystyle{\frac{9}{25} \lt {1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится.

Ответ:

ряд сходится.

Задача №2

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^{n^2}}\) на сходимость.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^{n^2}\gt{0}}\). Проверять выполнение необходимого условия сходимости не станем, так как она полностью аналогична проверке этого условия в предыдущей задаче. Общий член ряда стремится к нулю, что ничего нам не даёт для разрешения вопроса о сходимости этого ряда. Применим радикальный принак Коши:

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^{\frac{n^2}{n}}=\\ =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{7n}{n}-\frac{5}{n}}\right)^n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2+\frac{3}{n}}{7-\frac{5}{n}}\right)^n =0 \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt {1}}\), то заданный ряд сходится.

Ответ:

ряд сходится.

Задача №3

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{n(3n+4)}}\) на сходимость.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{n(3n+4)}\gt{0}}\). Общий член ряда содержит дробь в степени \(\displaystyle{n(3n+4)}\). Корень в радикальном признаке Коши уберет эту степень, упростив выражение общего члена ряда:

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{n(3n+4)}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{\frac{n(3n+4)}{n}}=\\ =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{3n+4} =\left[1^\infty\right] =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2n+1}{2n-1}-1\right)^{3n+4}=\\ =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)^{3n+4} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2n-1}{2}}\right)^{3n+4} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2n-1}{2}}\right)^{\frac{2n-1}{2}\cdot\frac{2\cdot(3n+4)}{2n-1}} =e^\frac{6}{2} =e^3 \]

Так как \(\displaystyle{e^3\gt{1}}\), то ряд расходится.

Ответ:

ряд расходится.

Задача №4

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(5n+4)^n}{7^{2n}\cdot n^n}}\) на сходимость.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{(5n+4)^n}{7^{2n}\cdot n^n}\gt{0}}\). Общий член ряда содержит произведение элементов в степенях \(\displaystyle{n}\) и \(\displaystyle{2n}\). Корень в радикальном признаке Коши разделит эти степени на \(\displaystyle{n}\), упростив выражение:

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(5n+4)^n}{7^{2n}\cdot n^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{(5n+4)^n}}{\sqrt[n]{7^{2n}}\cdot \sqrt[n]{n^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5n+4}{7^2\cdot n}=\\ =\frac{1}{49}\lim_{n\to\infty}\frac{5n+4}{n}=\frac{1}{49}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5n}{n}+\frac{4}{n}\right) =\frac{1}{49}\lim_{n\to\infty}\left(5+\frac{4}{n}\right) =\frac{1}{49}\cdot 5=\frac{5}{49} \]

Так как то \(\displaystyle{\frac{5}{49} \lt {1}}\), то ряд сходится.

Ответ:

ряд сходится.