Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам. Вторая часть.

Задача №1

Условие

Найти общий член ряда \(\displaystyle{1-8+27-64+125-216+343-\ldots}\).

Решение

Нам известны первые семь членов ряда. Запишем их:

\[u_1=1;\; u_2=-8; \; u_3=27;\; u_4=-64;\; u_5=125;\; u_6=-216;\; u_7=343.\]

Что представляют собой числа 1, 8, 27, 64, 125, 343? Данные числа есть элементы последовательности \(\displaystyle{a_n=n^3}\):

\[ a_1=1^3=1; \; a_2=2^3=8;\; a_3=3^3=27;\; a_4=4^3=64;\; a_5=5^3=125;\; a_6=6^3=216;\; a_7=7^3=343. \]

Таким образом, для членов нашего ряда мы можем записать, что

\[ u_1=a_1;\; u_2=-a_2;\; u_3=a_3;\; u_4=-a_4;\; u_5=a_5;\; u_6=-a_6;\; u_7=a_7. \]

Теперь нужно разобраться с сменой знака у членов ряда. Каждый последующий член ряда меняет свой знак на противоположный. Все элементы с нечётными номерами (\(\displaystyle{u_1}\), \(\displaystyle{u_3}\), \(\displaystyle{u_5}\), \(\displaystyle{u_7}\)) имеют знак "плюс", а все члены ряда с чётными номерами (\(\displaystyle{u_2}\), \(\displaystyle{u_4}\), \(\displaystyle{u_6}\)) – знак "минус". Нам нужно ввести некий множитель, который при нечётных значениях \(\displaystyle{n}\) будет равен 1, а при чётных значениях \(\displaystyle{n}\) станет равняться -1. Такой множитель удобно представить в виде \(\displaystyle{(-1)^{n+1}}\), т.е. \(\displaystyle{u_n=(-1)^{n+1}a_n=(-1)^{n+1}n^3}\).

Проверим, верно ли мы записали общий член ряда. Вычислим первые семь членов по найденной формуле и выясним, равны ли они тем членам, которые заданы нам по условию:

\[ \begin{aligned} & u_1=(-1)^{1+1}\cdot{1^3}=1;\\ & u_2=(-1)^{2+1}\cdot {2^3}=-8;\\ & u_3=(-1)^{3+1}\cdot {3^3}=27;\\ & u_4=(-1)^{4+1}\cdot {4^3}=-64;\\ & u_5=(-1)^{5+1}\cdot {5^3}=125;\\ & u_6=(-1)^{6+1}\cdot {6^3}=-216;\\ & u_7=(-1)^{7+1}\cdot {7^3}=343. \end{aligned} \]

Полученная нами формула позволяет найти известные по условию семь членов ряда, поэтому общий член ряда записан верно.

Ответ:

\(\displaystyle{(-1)^{n+1}n^3}\).

Задача №2

Условие

Найти общий член ряда \(\displaystyle{-1+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{12}-\frac{\sqrt{5}}{120}+\ldots}\).

Решение

Нам известны первые пять членов ряда. Запишем их так, чтобы была видна закономерность:

\[ u_1=-\frac{1}{1};\; u_2=\frac{\sqrt{2}}{2}; \; u_3=-\frac{\sqrt{3}}{6};\; u_4=\frac{\sqrt{4}}{24};\; u_5=-\frac{\sqrt{5}}{120}. \]

Закономерность в числителях дробей очевидна: в числителях находятся элементы последовательности \(\displaystyle{a_n=\sqrt{n}}\).

Теперь обратимся к знаменателям. В них стоят числа 1, 2, 6, 24, 120 – это элементы последовательности \(\displaystyle{b_n=n!}\). Чередование знаков аналогично предыдущему примеру зададим с помощью \(\displaystyle{(-1)^n}\):

\[ u_n=(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n!} \]

Проверим, верно ли мы записали общий член ряда. Найдём первые пять членов и выясним, равны ли они тем числам, которые заданы нам по условию:

\[ \begin{aligned} & u_1=(-1)^1\frac{\sqrt{1}}{1!}=-1;\\ & u_2=(-1)^2\frac{\sqrt{2}}{2!}=\frac{\sqrt{2}}{2};\\ & u_3=(-1)^3\frac{\sqrt{3}}{3!}=-\frac{\sqrt{3}}{6};\\ & u_4=(-1)^4\frac{\sqrt{4}}{4!}=\frac{1}{12};\\ & u_5=(-1)^5\frac{\sqrt{5}}{5!}=-\frac{\sqrt{5}}{120}. \end{aligned} \]

Вывод: полученная формула позволяет точно найти заданные первые пять членов ряда, поэтому общий член ряда записан верно.

Ответ:

\(\displaystyle{(-1)^n\frac{\sqrt{n}}{n!}}\).

Задача №3

Условие

Найти общий член ряда \(\displaystyle{\frac{3}{13}+\frac{8}{103}+\frac{15}{1003}+\frac{24}{10003}+\frac{35}{100003}+\ldots}\).

Решение

Запишем известные по условию члены ряда:

\[u_1=\frac{3}{13};\; u_2=\frac{8}{103}; \; u_3=\frac{15}{1003};\; u_4=\frac{24}{10003};\; u_5=\frac{35}{100003}.\]

Числители образуют последовательность 3, 8, 15, 24, 35. Эти числа равны квадратам натуральных чисел (начиная с числа 2), уменьшенным на единицу:

\[ \begin{aligned} & a_1=2^2-1=3;\\ & a_2=3^2-1=8;\\ & a_3=4^2-1=15;\\ & a_4=5^2-1=24;\\ & a_5=6^2-1=35. \end{aligned} \]

Закономерность очевидна: \(\displaystyle{a_n=(n+1)^2-1}\). Теперь обратимся к знаменателям. Все числа в знаменателях оканчиваются на 3. Отделим эту тройку:

\[ \begin{aligned} & b_1=13=10+3=10^1+3;\\ & b_2=103=100+3=10^2+3;\\ & b_3=1003=1000+3=10^3+3;\\ & b_4=10003=10000+3=10^4+3;\\ & b_5=100003=100000+3=10^5+3. \end{aligned} \]

Полагаю, закономерность видна: \(\displaystyle{b_n=10^n+3}\). Общий член ряда имеет вид:

\[ u_n =\frac{(n+1)^2-1}{10^n+3} =\frac{n^2+2n}{10^n+3} \]

Проверка полученной формулы осуществляется так же, как и в предыдущих задачах.

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{n^2+2n}{10^n+3}}\).

Задача №4

Условие

Найти общий член ряда \(\displaystyle{\left(\frac{11}{4}\right)^2+\left(\frac{5}{3}\right)^3+\left(\frac{19}{14}\right)^4+\left(\frac{23}{19}\right)^5+\ldots}\).

Решение

Запишем известные члены ряда:

\[ u_1=\left(\frac{11}{4}\right)^2; \; u_2=\left(\frac{5}{3}\right)^3; \; u_3=\left(\frac{19}{14}\right)^4;\; u_4=\left(\frac{23}{19}\right)^5. \]

Чтобы увидеть закономерность, представим второй элемент так: \(\displaystyle{u_2=\left(\frac{15}{9}\right)^3}\). В числителях имеем последовательность 11, 15, 19, 23. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой \(\displaystyle{a_1=11}\), а разность \(\displaystyle{d=4}\). Общий член этой прогрессии:

\[ a_n =11+4\cdot (n-1) =4n+7 \]

В знаменателях имеем арифметическую прогрессию: 4, 9, 14, 19. Первый элемент этой прогрессии \(\displaystyle{b_1=4}\), а разность \(\displaystyle{d=5}\). Общий член этой прогрессии:

\[ b_n =4+5\cdot(n-1) =5n-1 \]

Во всех известных членах ряда степень каждой дроби на единицу больше, чем номер члена ряда. Поэтому общий член ряда имеет вид:

\[ u_n=\left(\frac{4n+7}{5n-1}\right)^{n+1} \]

Проверка полученной формулы осуществляется так же, как и задачах №1-№5.

Ответ:

\(\displaystyle{\left(\frac{4n+7}{5n-1}\right)^{n+1}}\).