Разложение определителя по строке (столбцу) с предварительным преобразованием определителя (метод эффективного понижения порядка).

Решение

Конечно, определитель третьего порядка можно найти и по готовой формуле, однако сейчас нас будет интересовать не конкретное значение определителя, а рассмотрение той техники, которая применяется в методе эффективного понижения порядка.

Каким бы методом не вычислялся определитель, сперва полезно выполнить некоторую предварительную оценку его элементов. Как минимум, проверить, нет ли в определителе нулевой строки (или столбца) или же равных строк (или столбцов). Если проверка будет удачной, то определитель равен 0, и более никакого решения не потребуется. Однако в заданном определителе \(\displaystyle{\Delta}\) нет ничего из вышеперечисленного, поэтому пойдём далее.

Стоит также выполнить ещё одну предварительную проверку: не имеют ли все элементы некоей строки или столбца общего множителя, который можно вынести за знак определителя? И вот тут нас ожидает удача: все элементы второй строки нацело делятся на 2, т.е. можно вынести 2 за знак определителя:

Обозначим полученный определитель как \(\displaystyle{\Delta_1}\) и приступим к его вычислению. Пока что мы не станем заботиться об оптимальности проводимых преобразований, так как нас будет интересовать лишь демонстрация методики вычислений. Про оптимизацию метода поговорим потом.

Выберем, для начала, какой-либо столбец: например, столбец №3. Далее выберем произвольный ненулевой элемент в этом столбце – например, -2 (этот элемент выделен красным цветом). Нам нужно обнулить остальные элементы третьего столбца, выделенные синим и зелёным цветами:

С этой целью выполним операции над второй и третьей строками определителя \(\displaystyle{\Delta_1}\). Для наглядности я запишу их отдельно:

Разумеется, что столь подробно расписывать обычно нет нужды, поэтому все вышеперечисленные действия оформляют так:

Дальнейшее решение состоит в том, чтобы разложить полученный определитель по третьему столбцу, используя для этого формулу (2). В этом разложении будет ненулевым лишь одно слагаемое, а два остальных будут равны 0:

Вспоминая, что \(\displaystyle{\Delta=2\Delta_1}\), получим \(\displaystyle{\Delta = 2\cdot(-63)=-126}\). Полное решение без пояснений и дополнительных обозначений будет выглядеть так:

Разумеется, что для обнуления мы могли избрать не столбец, а какую-либо строку. Например, можно обнулить все элементы первой строки, кроме некоего одного элемента. Так как этот процесс полностью аналогичен описанному выше, то его я скрыл под примечание.

Полагаю, что суть метода ясна, однако было ли решение оптимальным? Разумеется, нет. Для начала – выгоднее использовать ту строку или столбец, в которой уже есть нули. Кроме того, удобно, когда элемент, с помощью которого проводится обнуление остальных элементов строки или столбца, равен 1 или -1. Такие значения позволят избежать работы с дробями.

В определителе \(\displaystyle{\Delta_1}\) есть ноль во второй строке и втором столбце, однако нет элементов, равных 1 или -1. Но ведь необходимый нам элемент недолго и сделать, выполнив, например, такое предварительное преобразование: \(\displaystyle{r_2+r_1}\). Запишем вычисление исходного определителя заново:

Теперь выполним обнуление во втором столбце:

В конце мы вынесли общий множитель (число -9) из второй строки полученного определителя второго порядка. Записанные выше действия куда проще преобразований, которые мы выполняли до этого. По сути, мы осуществили всего две операции со строками: одну подготовительную и одну для обнуления.

Решение

Предварительный анализ этого определителя ничего не даёт: нулевой строки или нулевого столбца нет; одинаковые строки и столбцы также отсутствуют.

Выберем какую-либо строку или столбец в данном определителе. Разумеется, что такой выбор ничем не ограничен, но из соображений упрощения решения можно выдвинуть такие критерии выбора: побольше нулей и хотя бы одна единица (или -1) в том столбце или строке, что мы выберем. Конечно, если элемента, равного 1 или -1, нет, то его можно и сделать, выполнив соответствующее преобразование над строками или столбцами (см. задачу №1). Однако для заданного определителя в этом нет нужды – мы сразу можем выделить два кандидата: четвёртую строку и третий столбец. Я предпочитаю работать со столбцами, поэтому выбираю третий столбец.

Итак, столбец выбран. В столбце №3 выбираем один ненулевой элемент: число 1 будет вполне удачным выбором. Цель: сделать так, чтобы все элементы третьего столбца (кроме избранного) стали равны нулю. Выбранный элемент, который будем использовать для обнуления остальных, выделен красным цветом. Элементы, подлежащие обнулению, для наглядности выделены иными цветами:

Начнём обнуление. Преобразуем элементы столбца №3, выполнив во строками такие операции:

Подчеркну, что выбранный элемент (число \(\displaystyle{\boldred{1}}\)) оказывается в знаменателях дробей \(\displaystyle{-\frac{\normgreen{2}}{\boldred{1}}}\), \(\displaystyle{\frac{\normblue{-3}}{\boldred{1}}}\) и \(\displaystyle{\frac{\normpurple{-1}}{\boldred{1}}}\). Помещая в знаменатели единицу мы избегаем работы с дробями. В результате всех осуществлённых преобразований со строками элементы исходного определителя будут изменены:

Разложим полученный нами определитель по третьему столбцу, используя для этого формулу (2). В третьем столбце все элементы, кроме одного, равны 0, посему в формуле останется лишь одно слагаемое:

Итак, от определителя четвёртого порядка мы пришли к вычислению определителя третьего порядка. Кстати, необходимо обратить внимание на то, что все элементы второго столбца полученного определителя нацело делятся на 3, поэтому эту тройку можно вынести за знак определителя:

В принципе, для нахождения определителя третьего порядка мы уже можем применить готовую формулу (см. формулу №2 из темы, посвящённой вычислению определителей второго и третьего порядков). Однако для ещё большего упрощения сведём полученный определитель третьего порядка к определителю второго порядка, а уж затем применим готовую формулу.

Вновь нужно осуществить выбор какой-либо строки или столбца. Единица есть во втором столбце, посему логично было бы взять именно его. Однако с единицей мы уже работали, поэтому сугубо для демонстрационных целей будем работать с первым столбцом, в котором выберем число -1. Нужно обнулить все элементы первого столбца, кроме -1 (этот элемент выделен красным цветом).

Преобразования со строками аналогичны тем, что мы делали ранее:

Продолжим решение, выполнив требуемые преобразования. Если в уме выполнять их затруднительно (а для новичка так и бывает), то запишите их отдельно, как это было сделано ранее.

Разложим полученный нами определитель по элементам первого столбца. От определителя третьего порядка мы перейдём к определителю второго порядка:

Ответ получен, \(\displaystyle{\Delta=-297}\). Полное решение без пояснений и промежуточных обозначений вылядит так:

К слову, не стоит пренебрегать мелкими упрощениями, которые могут немного облегчить работу. Например, можно обратить внимание, что элементы второй строки определителя \(\displaystyle{\left|\begin{array} {cc} 7 & 15\\ -8 & -3 \end{array}\right|}\) отрицательны, т.е. можно вынести -1 за знак определителя:

Понятно, что для определителя второго порядка особого эффекта от такого действия нет, но для определителей высших порядков подобные мелкие упрощения могут быть куда более существенными.

Решение

Сразу обратим внимание на четвёртый столбец. В нём есть уже один ноль, а также присутствует единица. Сделаем так, чтобы в четвёртом столбце осталась лишь единица, а все остальные элементы стали нулями:

Все элементы второй строки равны соответствующим элементам третьей строки. Следовательно, такой определитель равен нулю, т.е. \(\displaystyle{\Delta = 0}\).