Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Вторая часть.

Решение

Расходимость этого ряда вполне очевидна. Дело в том, что общий член заданного ряда \(\displaystyle{a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}}\) есть сумма \(\displaystyle{a_n = b_n + c_n}\), где \(\displaystyle{b_n =\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}}\), \(\displaystyle{c_n = \frac{1}{n}}\). Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n}\) сходится по признаку Лейбница, а ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n}\) расходится, так как является гармоническим. Это означает расходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(b_n + c_n\right)}\).

Теперь обсудим свойства заданного ряда. Для членов ряда с нечётными номерами получим:

Для членов ряда с чётными номерами будем иметь:

Таким образом, ряд знакочередующийся, т.е. его можно записать в виде \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n}\), где \(\displaystyle{u_n=\left|a_n\right|}\).

Так как \(\displaystyle{b_n\to{0}}\) и \(\displaystyle{c_n\to{0}}\), то имеем \(\displaystyle{a_n\to{0}}\), откуда следует \(\displaystyle{u_n\to{0}}\). Первое условие признака Лейбница выполнено. Покажем, что второе условие будет нарушено. Для этого продемонстрируем, что \(\displaystyle{u_{2k+1}\gt{u_{2k}}}\).

Доказательство последнего неравенства довольно алгоритмично, но слегка длинновато, поэтому я скрыл его под примечание.

Подведём итоги: для заданного расходящегося знакочередующегося ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n}\) имеем выполнение первого условия признака Лейбница, при этом второе условие нарушено. В следующих примерах рассмотрим случаи нарушения второго условия для сходящихся знакочередующихся рядов.

Решение

Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов заданного ряда:

Так как \(\displaystyle{0\lt{n+(-1)^{n+1}}\le{n+1}}\), то имеем

Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}}\) расходится как остаток расходящегося гармонического ряда, посему согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд из модулей.

Проверим выполнение условий признака Лейбница для исходного ряда. Обозначим \(\displaystyle{u_n = \frac{1}{n+(-1)^{n+1}}}\). Первое условие выполнено, т.е. \(\displaystyle{u_n\to{0}}\). Проверим выполнение второго условия, для чего рассмотрим разность \(\displaystyle{u_{n}-u_{n+1}}\):

Если \(\displaystyle{n=2k}\), то \(\displaystyle{1+2\cdot(-1)^{n}\gt{0}}\), т.е. \(\displaystyle{u_n\gt{u_{n+1}}}\). Если же \(\displaystyle{n=2k-1}\), то имеем \(\displaystyle{1+2\cdot(-1)^{n}\lt{0}}\), т.е. \(\displaystyle{u_n\lt{u_{n+1}}}\), что означает нарушение второго условия признака Лейбница.

Однако несмотря на то, что второе условие признака Лейбница не будет выполнено, заданный знакочередующийся ряд будет сходиться. Докажем это. Общий член исходного ряда для любого \(\displaystyle{n\ge{2}}\) можно представить в такой форме:

Оба ряда – \(\displaystyle{\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n}{n^2-1}}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}}\) – сходятся. Сходимость первого доказывается признаком Лейбница, а сходимость второго – признаком сравнения. Это означает сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n+1}n}{n^2-1} - \frac{1}{n^2-1}\right)}\), откуда автоматически следует сходимость исходного ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+(-1)^{n+1}}}\). Так как ряд из модулей расходится, то рассматриваемый ряд сходится условно.

Решение

Для наглядности запишу несколько первых членов заданного знакочередующегося ряда:

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов заданного ряда:

Здесь \(\displaystyle{u_n = \left\{\begin{aligned} & \frac{1}{3^n},\; n=2k-1;\\ & \frac{1}{9^n},\; n=2k.\end{aligned}\right.}\). Так как \(\displaystyle{u_n\lt\frac{1}{2^n}}\) и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}}\) сходится, то согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\). Следовательно, ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n}\) сходится абсолютно. Вообще, можно не только констатировать абсолютную сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n}\), но даже и найти сумму этого ряда, если заметить, что ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n}\) образован, фактически, двумя геометрическими прогрессиями.

Однако попробуем проверить выполнение условий признака Лейбница для исходного ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n}\). То, что \(\displaystyle{u_n\to{0}}\), вполне очевидно. Однако ввиду того, что \(\displaystyle{4k\gt{2k+1}}\), получим:

Таким образом, \(\displaystyle{u_{2k}\lt{u_{2k+1}}}\), т.е. второе условие признака Лейбница нарушено. Однако же исходный знакочередующийся ряд при этом сходится абсолютно.