Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).

Для вычисления определителей второго и третьего порядков есть готовые формулы. Аналогичные формулы можно записать и для определителей высших порядков, однако для практического использования такие формулы будут малопригодны. Даже формулу для вычисления определителя третьего порядка запомнить несколько затруднительно, а ведь она содержит всего 6 слагаемых. Для сравнения – формула для нахождения определителя четвёртого порядка содержит 24 слагаемых, что делает её запоминание практически нереальным.

Однако кроме упомянутых выше формул для вычисления определителей есть и иные методы. Один из таких методов – разложение по строке или разложение по столбцу (ещё говорят "разложение по элементам строки" или "разложение по элементам столбца"). Этот метод основан на следствии из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Сформулируем указанное следствие:

Следствие из теоремы Лапласа

Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (или столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

Для наглядности рассмотрим определитель третьего порядка. Выберем в нём любую строку или столбец: например, возьмём столбец №3. Умножим каждый элемент третьего столбца (\(\displaystyle{a_{13}}\), \(\displaystyle{a_{23}}\) и \(\displaystyle{a_{33}}\)) на алгебраическое дополнение этого элемента, а затем просуммируем полученные произведения:

\[\left| \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & \normgreen{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & \normgreen{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & \normgreen{a_{33}} \end{array} \right| =\normgreen{a_{13}}A_{13}+\normgreen{a_{23}}A_{23}+\normgreen{a_{33}}A_{33} \]

Мы записали разложение определителя по третьему столбцу. Разумеется, для разложения можно было выбрать иную строку или столбец. Например, запишем разложение по первой строке:

\[\left| \begin{array} {ccc} \normgreen{a_{11}} & \normgreen{a_{12}} & \normgreen{a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right| =\normgreen{a_{11}}A_{11}+\normgreen{a_{12}}A_{12}+\normgreen{a_{13}}A_{13} \]

Конечно, можно записать и общую формулу. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу n-го порядка \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)}\) и дадим формулы для разложения определителя этой матрицы по строке и столбцу.

Разложение определителя по i-й строке осуществляется с помощью следующей формулы:

\[ \begin{equation} \Delta {A} =\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation} \]

Разложение определителя по j-му столбцу осуществляется с помощью такой формулы:

\[ \begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation} \]

Задача №1

Условие

Вычислить определитель матрицы \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)}\), используя разложение по первой строке и второму столбцу.

Решение

Нам нужно вычислить определитель третьего порядка \(\displaystyle{\Delta{A}}\). Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу (1). Запишем это разложение в общем виде:

\[ \Delta {A}= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}. \]

Сразу отметим, что \(\displaystyle{a_{11}=5}\), \(\displaystyle{a_{12}=-4}\), \(\displaystyle{a_{13}=3}\). Далее вычислим алгебраические дополнения \(\displaystyle{A_{11}}\), \(\displaystyle{A_{12}}\), \(\displaystyle{A_{13}}\):

\[ \begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot \left| \begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array} \right| =2\cdot{4}-(-1)\cdot{0}=8;\\ & A_{12}=(-1)^3\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right| =-(7\cdot{4}-(-1)\cdot{9})=-37;\\ & A_{13}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right| =7\cdot{0}-2\cdot{9}=-18. \end{aligned} \]

Подставляя значения элементов и алгебраических дополнений в записанную выше формулу, получим:

\[ \Delta {A} = a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13} = 5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18) = 134 \]

Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка.

Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего не вводят никаких новых обозначений, – сразу записывают готовое выражение:

\[ \begin{aligned} \left| \begin{array} {ccc} \normgreen{5} & \normgreen{-4} & \normgreen{3} \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right| & =\normgreen{5}\cdot(-1)^2\cdot \left| \begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array} \right| +\normgreen{(-4)}\cdot(-1)^3\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right| +\normgreen{3}\cdot(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right| =\\ & =5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18) = 134 \end{aligned} \]

Именно так, не вводя никаких дополнительных обозначений и не делая вспомогательных расчётов, мы станем раскладывать определитель по второму столбцу, используя формулу (2). Для наглядности я всё же запишу сперва разложение в общем виде:

\[ \Delta{A} = a_{12}\cdot {A}_{12}+a_{22}\cdot {A}_{22}+a_{32}\cdot {A}_{32} \]

Обратите внимание, что третье слагаемое в разложении равно 0, т.е. ввиду того, что \(\displaystyle{a_{32}=0}\), имеем \(\displaystyle{a_{32}\cdot{A_{32}} = 0}\). Таким образом, в разложении будут записаны только два слагаемых:

\[ \left| \begin{array} {ccc} 5 & \normgreen{-4} & 3 \\ 7 & \normgreen{2} & -1 \\ 9 & \normgreen{0} & 4 \end{array} \right| = \normgreen{-4}\cdot(-1)\cdot \left|\begin{array}{cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|+\normgreen{2}\cdot\left|\begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{array} \right| = 4\cdot 37+2\cdot (-7) = 134 \]

Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.

Ответ:

\(\displaystyle{\Delta {A} = 134}\).

Задача №2

Условие

Вычислить определитель матрицы \(\displaystyle{A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)}\), используя разложение по произвольно выбранной строке или столбцу.

Решение

Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу (1), запишем разложение определителя по третьей строке в общем виде:

\[ \Delta{A} = a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34} \]

Указанная выше формула нужна лишь для наглядности. Само решение запишем ниже. При этом учтём, что \(\displaystyle{a_{32}\cdot A_{32}=0}\) и \(\displaystyle{a_{34}\cdot A_{34}=0}\).

\[ \Delta{A} =-5 \cdot(-1)^4\cdot\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right| -4\cdot(-1)^6\cdot\left|\begin{array}{ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right| =-5\cdot{10}-4\cdot (-34) =86 \]

Ответ:

\(\displaystyle{\Delta{A}=86}\).