Определитель Грама.
Пусть функции \(\displaystyle{y_1(x)}\), \(\displaystyle{y_2(x)}\), ..., \(\displaystyle{y_n(x)}\) непрерывны на отрезке \(\displaystyle{[a;b]}\). Определитель Грама (грамиан) для заданной системы функций определяется следующей формулой:
\[
\text{Г}\left(y_1,y_2,\ldots,y_n\right)
=\left| \begin{array}{cccc}
\langle y_1, y_1 \rangle & \langle y_1, y_2 \rangle & \ldots & \langle y_1, y_n\rangle\\
\langle y_2, y_1 \rangle & \langle y_2, y_2 \rangle & \ldots & \langle y_2, y_n\rangle\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
\langle y_n, y_1 \rangle & \langle y_n, y_2 \rangle & \ldots & \langle y_n, y_n\rangle
\end{array}\right|
\]
Здесь использовано такое обозначение: \(\displaystyle{\langle {y}_i, y_j \rangle=\int\limits_{a}^{b} y_i\cdot {y_j} dx}\).
Очевидно, что так как \(\displaystyle{\int\limits_{a}^{b} y_i\cdot y_j \, dx=\int\limits_{a}^{b} y_j\cdot y_i \, dx}\), то \(\displaystyle{\langle y_i, y_j \rangle=\langle y_j, y_i \rangle}\). Это значит, что элементы грамиана, симметричные относительно главной диагонали, одинаковы. Данным свойством можно пользоваться при вычислении грамиана, находя лишь те элементы, которые расположены на главной диагонали и над ней. Остальные элементы легко получить исходя из соображений симметрии.
Для того, чтобы функции \(\displaystyle{y_1(x)}\), \(\displaystyle{y_2(x)}\), ..., \(\displaystyle{y_n(x)}\) непрерывные на отрезке \(\displaystyle{[a;b]}\), были линейно независимыми на данном отрезке, необходимо и достаточно, чтобы \(\displaystyle{\text{Г}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq {0}}\). Для линейной зависимости упомянутой системы функций необходимо и достаточно, чтобы \(\displaystyle{\text{Г}(y_1,y_2,\ldots,y_n)= 0}\).
Задача №1
Условие
Используя определитель Грама, исследовать на линейную зависимость на отрезке \(\displaystyle{[0;3]}\) такие функции: \(\displaystyle{y_1=1}\), \(\displaystyle{y_2=x}\), \(\displaystyle{y_3=e^x}\).
Решение
Запишем грамиан для трех функций сначала в общем виде, а затем преобразуем его, подставив в общую формулу заданные функции:
\[
\text{Г}\left(y_1,y_2,y_3\right)
=\left| \begin{array}{ccc}
\langle y_1, y_1 \rangle & \langle y_1, y_2 \rangle & \langle y_1, y_3\rangle\\
\langle y_2, y_1 \rangle & \langle y_2, y_2 \rangle & \langle y_2, y_3\rangle\\
\langle y_3, y_1 \rangle & \langle y_3, y_2 \rangle & \langle y_3, y_3\rangle
\end{array}\right|=\\
=\left| \begin{array}{ccc}
\int\limits_{0}^{3}1\cdot{1}dx & \int\limits_{0}^{3}1\cdot{x}dx & \int\limits_{0}^{3}1\cdot{e^x}dx\\
\int\limits_{0}^{3}x\cdot{1}dx & \int\limits_{0}^{3}x\cdot{x}dx & \int\limits_{0}^{3}x\cdot{e^x}dx\\
\int\limits_{0}^{3}e^x\cdot{1}dx & \int\limits_{0}^{3}e^x\cdot{x}dx & \int\limits_{0}^{3}e^x\cdot{e^x}dx
\end{array}\right|
=\left| \begin{array}{ccc}
\int\limits_{0}^{3}dx & \int\limits_{0}^{3}x dx & \int\limits_{0}^{3}{e^x}dx\\
\int\limits_{0}^{3}xdx & \int\limits_{0}^{3}x^2dx & \int\limits_{0}^{3}x{e^x}dx\\
\int\limits_{0}^{3}{e^x}dx & \int\limits_{0}^{3}xe^x dx & \int\limits_{0}^{3}e^{2x}dx
\end{array}\right|
\]
Как видите, элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны между собой. Найдем значения элементов, расположенных над главной диагональю:
\[
\int\limits_{0}^{3}x dx
=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{3}
=\frac{9}{2};\;
\int\limits_{0}^{3}e^x dx
=\left.e^x\right|_{0}^{3}
=e^3-1;\;
\int\limits_{0}^{3}xe^x dx
=\left.\left(xe^x-e^x\right)\right|_{0}^{3}
=2e^3+1.
\]
Элементы, расположенные на главной диагонали:
\[
\int\limits_{0}^{3} dx
=3-0=3;\;
\int\limits_{0}^{3}x^2 dx
=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{3}
=9;\;
\int\limits_{0}^{3}e^{2x} dx
=\frac{1}{2}\cdot\left.e^{2x}\right|_{0}^{3}
=\frac{e^6-1}{2}.
\]
Запишем результаты в грамиан и вычислим значение определителя Грама:
\[
\text{Г}\left(y_1,y_2,y_3\right)
=\left| \begin{array}{ccc}
3 & 9/2 & e^3-1\\
9/2 & 9 & 2e^3+1\\
e^3-1 & 2e^3+1 & \frac{e^6-1}{2}
\end{array}\right|
=\frac{3e^6}{8}-3e^3-\frac{195}{8}
\]
Так как \(\displaystyle{\text{Г}(y_1,y_2,y_3)=\frac{3e^6}{8}-3e^3-\frac{195}{8}\neq {0}}\), то функции \(\displaystyle{y_1=1}\), \(\displaystyle{y_2=x}\), \(\displaystyle{y_3=e^x}\) линейно независимы на отрезке \(\displaystyle{[0;3]}\).
Ответ:
Функции линейно независимы на отрезке \(\displaystyle{[0;3]}\).
Задача №2
Условие
Используя определитель Грама, исследовать на линейную зависимость на отрезке \(\displaystyle{[2;5]}\) такие функции: \(\displaystyle{y_1=15x+12}\), \(\displaystyle{y_2=10x+8}\).
Решение
\[
\text{Г}\left(y_1,y_2\right)
=\left| \begin{array}{cc}
\int\limits_{-2}^{5}y_{1}^{2}dx & \int\limits_{-2}^{5}y_1y_2dx\\
\int\limits_{-2}^{5}y_2y_1dx & \int\limits_{-2}^{5}y_2^{2}dx
\end{array}\right|=\\
=\left| \begin{array}{cc}
\int\limits_{-2}^{5}(15x+12)^2dx & \int\limits_{-2}^{5}(15x+12)(10x+8)dx\\
\int\limits_{-2}^{5}(15x+12)(10x+8)dx & \int\limits_{-2}^{5}(10x+8)^2dx
\end{array}\right|
=\left| \begin{array}{cc}
14763 & 9842\\
9842 & 19684/3
\end{array}\right|
=0
\]
Так как \(\displaystyle{\text{Г}(y_1,y_2)= 0}\), то функции \(\displaystyle{y_1=15x+12}\) и \(\displaystyle{y_2=10x+8}\) линейно зависимы на отрезке \(\displaystyle{[-2;5]}\).
Ответ:
Функции линейно зависимы на отрезке \(\displaystyle{[-2;5]}\).
Задача №3
Условие
Исследовать функции \(\displaystyle{y_1=1}\), \(\displaystyle{y_2=\sin {x}}\), \(\displaystyle{y_3=\cos {x}}\), \(\displaystyle{y_4=\sin {2x}}\), \(\displaystyle{y_5=\cos {2x}}\), ..., \(\displaystyle{y_{2n}=\sin {nx}}\), \(\displaystyle{y_{2n+1}=\cos {nx}}\) на линейную зависимость на отрезке \(\displaystyle{[-\pi;\pi]}\).
Решение
Подынтегральные функции интегралов в первой строке и первом столбце грамиана содержат произведения первой функции (\(\displaystyle{y_1=1}\)) на остальные функции этой системы. Т.е. в первой строке (и в первом столбце) будут такие интегралы (при \(\displaystyle{k\in{N}}\)):
\[
\begin{aligned}
& \int\limits_{-\pi}^{\pi}dx = 2\pi;\\
& \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos {kx} dx = \frac{1}{k}\cdot \left.\sin{kx}\right|_{-\pi}^{\pi} = 0;\\
& \int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin {kx} dx = -\frac{1}{k}\cdot \left.\cos{kx}\right|_{-\pi}^{\pi} = 0.
\end{aligned}
\]
Все элементы первой строки и первого столбца равны нулю, – кроме первого элемента, равного \(\displaystyle{2\pi}\).
Рассмотрим элементы, расположенные на главной диагонали грамиана. На главной диагонали расположены интегралы такого вида: \(\displaystyle{\int\limits_{-\pi}^{\pi} y_i\cdot y_i dx=\int\limits_{-\pi}^{\pi} y_i^2 dx}\). Или, иными словами, на главной диагонали (после первого элемента) расположены интегралы вида \(\displaystyle{\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos^2 kx dx}\) и \(\displaystyle{\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin^2 kx dx}\).
\[
\begin{aligned}
& \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos^2 {kx} dx = \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \left(1+\cos{2kx}\right) dx = \pi;\\
& \int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin^2 {kx} dx = \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \left(1-\cos{2kx}\right) dx = \pi.
\end{aligned}
\]
Мы рассмотрели элементы грамиана, находящиеся в первой строке, столбце, и на главной диагонали. Все остальные элементы грамиана есть интегралы вида \(\displaystyle{\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos k_1 x\cdot\sin k_2 x dx}\), \(\displaystyle{\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos k_1 x\cdot\cos k_2 x dx}\) или \(\displaystyle{\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin k_1 x\cdot\sin k_2 x dx}\), где \(\displaystyle{k_1\neq k_2}\). Так как функция \(\displaystyle{\cos k_1 x\cdot \sin k_2 x}\) нечетная, то \(\displaystyle{\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos k_1 x\cdot\sin k_2 x dx=0}\). Для других интегралов получим:
\[
\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos{k_1 x}\cdot\cos{k_2 x}dx
=\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\cos\left(k_1x-k_2x\right)+\cos\left(k_1x+k_2x\right)\right)dx=\\
=\frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left(\cos\left(\left(k_1-k_2\right)x\right)+\cos\left(\left(k_1+k_2\right)x\right)\right)dx
=\frac{1}{2}\cdot\left.\left(\frac{\sin\left(\left(k_1-k_2\right)x\right)}{k_1-k_2}+\frac{\sin\left(\left(k_1+k_2\right)x\right)}{k_1+k_2}\right)\right|_{-\pi}^{\pi}
=0.
\]
Аналогично, \(\displaystyle{\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin{k_1 x}\cdot\sin{k_2 x}dx = 0}\). Итак, все элементы грамиана, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю. Первый элемент на главной диагонали равен \(\displaystyle{2\pi}\), все остальные равны \(\displaystyle{\pi}\).
\[
\text{Г}
=\left| \begin{array}{cccccc}
2\pi & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
0 & \pi & 0 & \ldots & 0 & 0\\
0 & 0 & \pi & \ldots & 0 & 0\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
0 & 0 & 0 & \ldots & \pi & 0\\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \pi
\end{array}\right|
=2\pi^{2n+1}
\]
Так как \(\displaystyle{\text{Г}=2\pi^{2n+1}\neq 0}\), то рассматриваемые функции линейно независимы на \(\displaystyle{[-\pi;\pi]}\).
Ответ:
Заданные функции линейно независимы на \(\displaystyle{[-\pi;\pi]}\).