Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов, контрольных работ и задачников по высшей математике и математическому анализу. В данной теме мы рассмотрим основные типы неопределённостей, возникающих при работе с такими пределами.
В первую очередь обсудим неопределённость \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Эта неопределённость означает, что под знаком предела имеется дробь, выражения в числителе и знаменателе которой стремятся к нулю. Обычно для пределов с иррациональностями это означает, что числитель и (или) знаменатель содержит разность типа \(\displaystyle{P-Q}\), где хотя бы одно из выражений \(\displaystyle{P}\) или \(\displaystyle{Q}\) является корнем некоторой степени, причём \(\displaystyle{(P-Q)\to{0}}\). Примеры таких выражений:
Конечно, решать такие пределы можно совершенно разными путями. На этой странице мы рассмотрим стандартный метод решения, который традиционно указан в большинстве решебников. Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
Домножаем \(\displaystyle{P-Q}\) на так называемое "сопряжённое" выражение;
При необходимости раскладываем выражения в числителе и (или) знаменателе на множители;
Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Впрочем, это не единственный вариант. В таких пределах удобно применять формулу Маклорена, а иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Или же удаётся применить замечательные пределы, – в частности, следствия из второго замечательного предела. Впрочем, это мы рассмотрим во второй части темы, а сейчас обратимся к классике.
Задача №1
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to {3}}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}}\).
В заданном пределе мы имеем неопределённость вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Чтобы раскрыть эту неопределённость, избавимся от разности \(\displaystyle{\sqrt{7-x}-2}\). В этом нам поможет известная формула
\[
(a-b)(a+b)=a^2-b^2
\]
Применим данную формулу, полагая \(\displaystyle{a=\sqrt{7-x}}\) и \(\displaystyle{b=2}\):
Как видите, если разность \(\displaystyle{\sqrt{7-x}-2}\) домножить на \(\displaystyle{\sqrt{7-x}+2}\) (это выражение именуют сопряжённым), то разность корней исчезает. Вернёмся к заданному пределу и домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю, а затем сократим дробь:
Мы вновь имеем дело с неопределённостью вида \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на выражение \(\displaystyle{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}}\), сопряжённое к знаменателю:
В задаче №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь же сперва придётся разложить на множители квадратные трёхчлены \(\displaystyle{3x^2-5x-2}\) и \(\displaystyle{x^2-4}\), а уж потом перейти к сокращению:
Разумеется, иррациональности могут присутствовать одновременно в числителе и в знаменателе дроби. В следующем пределе рассмотрим именно такой случай.
Задача №3
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to {5}}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}}\).
Решение
Мы имеем дело всё с той же неопределённостью \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придётся домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение \(\displaystyle{\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16}}\), сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение \(\displaystyle{\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9}}\), сопряжённое знаменателю.
В следующих задачах рассмотрим несколько пределов, содержащих корни более высоких степеней. Методика их нахождения будет той же – с помощью домножения на сопряжённое выражение избавиться от иррациональности, а затем сократить общие множители. Во всех указанных ниже задачах будем иметь неопределённость \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\), – отдельно обосновывать это уже не станем.
Задача №4
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}}\).
Решение
Нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. Однако сопряжённое выражение здесь будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Нам поможет формула разности кубов:
\[
(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right) = a^3 - b^3
\]
Применяя эту формулу для \(\displaystyle{a=\sqrt[3]{5x-12}}\),\(\displaystyle{b=\sqrt[3]{x+4}}\) получим:
Как видим, после домножения выражения в числителе на сопряжённое ему выражение \(\displaystyle{P(x)}\), разность кубических корней исчезла. Вернёмся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на \(\displaystyle{P(x)}\):
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}}\).
Решение
В числителе дроби размещено выражение с кубическим корнем, а в знаменателе – с квадратным. В этом случае приходится домножать числитель и знаменатель на разные сопряжённые выражения.
Принимая \(\displaystyle{a=\sqrt[4]{5x+6}}\),\(\displaystyle{b=2}\), получим получим сопряжённое выражение, которое для краткости обозначим как \(\displaystyle{P(x)}\):
Некоторый интерес среди скучных домножений на сопряжённое выражение может представлять случай, когда вычитаются корни разных степеней. В этой ситуации лучше использовать методы, указанные в следующей части темы, однако при решении несложных пределов можно обойтись и без них. Рассмотрим такой случай в следующей задаче.
Задача №7
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to {3}}\frac{\sqrt[3]{x^2-1}-\sqrt{3x-5}}{x-3}}\).
Решение
В данном примере возможно, конечно, убрать разность корней, домножив на сопряжённое выражение. Для этого можно использовать, например, следующую формулу:
\[
(a-b)\left(a^5 + a^4 b + a^3 b^2 + a^2 b^3 + a b^4 + b^5\right)
=a^6 - b^6
\]
В указанной формуле принимаем \(\displaystyle{a=\sqrt[3]{x^2-1}}\),\(\displaystyle{b=\sqrt{3x-5}}\). Однако такое решение будет довольно громоздким. Гораздо проще учесть вот что – каждый из корней в числителе стремится к 2. Прибавим и вычтем 2 в числителе, а затем разобъём дробь на две:
В заключение отмечу, что иногда можно вообще обойтись без домножения: см, например, задачу 1956. Также советую обратить внимание на дополнительные примеры из решебника: 1086, 1087, 1088, 1089, 1092, 1093, 1094, 1955, 1957, 1959, 1960, 1961, 1962.
Рассмотренный выше метод нахождения пределов с иррациональностями является стандартным и не особо интересным. Впрочем, для решения стандартных студенческих примеров его хватит. Во второй части темы поговорим о иных методах вычисленния пределов этого же типа.