Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

В данной теме нам понадобятся такие понятия как минор матрицы и окаймляющий минор. В теме "Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений" есть подробное пояснение этих понятий.

В этой теме было рассмотрено понятие ранга матрицы, а также на примерах показано, как находить ранг по определению – как наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы. Конечно, находить ранг матрицы таким образом несколько затруднительно – в первую очередь из-за объёма вычислений. Однако количество вычисляемых миноров можно существенно уменьшить, если использовать метод окаймляющих миноров. Данный метод основан на следующей теореме:

Если некий минор k-го порядка матрицы \(\displaystyle{A}\) не равен нулю, а окаймляющие его миноры либо не существуют, либо все равны нулю, то \(\displaystyle{\rang{A}=k}\).

Собственно, отсюда и вытекает алгоритм данного метода. Сперва находим некий ненулевой минор \(\displaystyle{M}\) матрицы \(\displaystyle{A}\), порядок которого равен \(\displaystyle{k}\). Существование такого минора уже говорит о том, что \(\displaystyle{\rang{A}\ge{k}}\). Далее рассматриваем миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор \(\displaystyle{M}\).

Если миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие \(\displaystyle{M}\), составить невозможно, или же они все равны нулю, то \(\displaystyle{\rang{A}=k}\). Если среди окаймляющих миноров найдётся хоть один минор \(\displaystyle{P}\), отличный от нуля, то \(\displaystyle{\rang{A}\ge{k+1}}\). В этом случае мы повторяем процедуру окаймления уже для минора \(\displaystyle{P}\).

Процесс будет завершён, когда на некоем шаге мы либо не сможем составить окаймляющие миноры, либо же они все будут нулевыми. Порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы.

Задача №1

Условие

Найти ранг матрицы \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 2 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & 5 & 4 \\ -5 & 4 & 7 & 10 \end{array} \right)}\) методом окаймляющих миноров.

Решение

Можно, конечно, начать с миноров первого порядка, которые представляют собой просто элементы данной матрицы. Но лучше сразу выбрать какой-либо не равный нулю минор хотя бы второго порядка, тем паче что такой выбор большой сложности не представляет. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора \(\displaystyle{\left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{array} \right|}\), который несложно вычислить, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

\[ \left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{array} \right|=-1\cdot 0-2\cdot (-3)=6. \]

Итак, существует минор второго порядка, не равный нулю, из чего следует, что \(\displaystyle{\rang{A}\ge {2}}\). Рассмотрим миноры третьего порядка, окаймляющие данный минор второго порядка. Чтобы составить окаймляющий минор, нужно к набору строк и столбцов, на пересечении которых лежат элементы рассматриваемого минора второго порядка, добавить ещё одну строку и ещё один столбец. Вспоминаем, что элементы записанного нами минора второго порядка расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2. Добавим к строкам ещё строку №3, а к столбцам – столбец №3. Мы получим минор третьего порядка, элементы которого (они для наглядности показаны в матрице синим цветом) лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

\[ \left(\begin{array}{cccc} \normblue{-1} & \normblue{2} & \normblue{1} & 3 \\ \normblue{-3} & \normblue{0} & \normblue{5} & 4 \\ \normblue{-5} & \normblue{4} & \normblue{7} & 10 \end{array} \right);\; \left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ -5 & 4 & 7 \end{array} \right| =0. \]

Окаймляющий минор равен нулю. Это говорит о том, что нам нужно продолжить нахождение окаймляющих миноров. Либо они все будут равны нулю (и тогда \(\displaystyle{\rang{A} = 2}\)), либо среди них найдётся хотя бы один, отличный от нуля.

Элементы иного окаймляющего минора лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. В матрице для наглядности элементы этого минора показаны зелёным цветом. Вычислим данный минор:

\[ \left(\begin{array}{cccc} \normgreen{-1} & \normgreen{2} & 1 & \normgreen{3} \\ \normgreen{-3} & \normgreen{0} & 5 & \normgreen{4} \\ \normgreen{-5} & \normgreen{4} & 7 & \normgreen{10} \end{array} \right);\; \left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & 4 \\ -5 & 4 & 10 \end{array} \right|=0. \]

И этот окаймляющий минор равен нулю. Иных окаймляющих миноров нет. Следовательно, все окаймляющие миноры равны нулю. Порядок последнего составленного ненулевого минора равен 2. Вывод: ранг равен 2, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}=2}\).

Ответ:

\(\displaystyle{\rang A=2}\).

Задача №2

Условие

Найти ранг матрицы \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 4 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -1 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 5 & 7\\ -1 & -2 & 2 & 9 & 11 \end{array} \right)}\) методом окаймляющих миноров.

Решение

Вновь, как и в предыдущей задаче, начнём решение с выбора минора любого порядка, не равного нулю. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора \(\displaystyle{\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array} \right|}\), который несложно вычислить:

\[ \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array} \right|=1\cdot 6-2\cdot 3=0. \]

Данный минор второго порядка равен нулю, т.е. выбор неудачен. Возьмём иной минор второго порядка. Например, тот, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2, №3:

\[ \left|\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 6 & -2 \end{array} \right|=-4. \]

Итак, ненулевой минор второго порядка существует, поэтому \(\displaystyle{\rang{A}\ge{2}}\). Обозначим этот минор как \(\displaystyle{M_2}\) и станем окаймлять его минорами третьего порядка. Например, добавим к строкам и столбцам, на которых расположены элементы \(\displaystyle{M_2}\), ещё строку №3 и столбец №1. Т.е. найдём минор третьего порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3.

\[ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -2 \\ -2 & -4 & 2 \end{array} \right|=0. \]

Этот минор равен нулю, значит нужно переходить к иному окаймляющему минору. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4. Этот минор тоже окаймляет \(\displaystyle{M_2}\):

\[ \left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 6 & -2 & -1 \\ -4 & 2 & 5 \end{array} \right|=0. \]

И вновь минор третьего порядка, окаймляющий \(\displaystyle{M_2}\), равен нулю. Значит, переходим к иному минору третьего порядка. Возьмём минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №5. Этот минор также окаймляет \(\displaystyle{M_2}\):

\[ \left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 7 \end{array} \right|=4. \]

Итак, среди миноров третьего порядка, окаймляющих \(\displaystyle{M_2}\), есть не равный нулю, откуда следует \(\displaystyle{\rang{A}\ge{3}}\). Обозначим этот ненулевой минор как \(\displaystyle{M_3}\). Элементы минора \(\displaystyle{M_3}\) лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №5. Станем окаймлять минор \(\displaystyle{M_3}\) минорами четвёртого порядка. Для начала возьмём минор четвёртого порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3, №4 и столбцов №1, №2, №3, №5. Для его вычисления можно использовать, например, разложение по строке или по столбцу:

\[ \left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 7\\ -1 & -2 & 2 & 11 \end{array} \right|=0. \]

Аналогично, рассматривая минор четвёртого порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4, №5, получим:

\[ \left|\begin{array}{cccc} 2 & 0 & 4 & 5\\ 6 & -2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 5 & 7\\ -2 & 2 & 9 & 11 \end{array} \right|=0.\]

Иных окаймляющих миноров для минора \(\displaystyle{M_3}\) нет. Все миноры четвёртого порядка, окаймляющие \(\displaystyle{M_3}\), равны нулю. Последний ненулевой минор \(\displaystyle{M_3}\) был третьего порядка. Вывод: ранг равен 3, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}=3}\).

Ответ:

\(\displaystyle{\rang A=3}\).

Задача №3

Условие

Найти ранг матрицы \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 3 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & -3\\ 1 & -5 & 3 & 7 & 6 \end{array} \right)}\) методом окаймляющих миноров.

Решение

Снова начинаем решение с выбора минора (любого порядка), не равного нулю. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы такого минора:

\[ \left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{array} \right|=2. \]

Данный минор (обозначим его \(\displaystyle{M_2}\)) не равен нулю, посему именно его мы и станем окаймлять минорами третьего порядка. Например, добавим к строкам и столбцам, на которых расположены элементы \(\displaystyle{M_2}\), ещё строку №3 и столбец №3. Т.е. найдём минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3:

\[ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & -5 & 3 \end{array} \right|=0. \]

Этот минор равен нулю, значит нужно переходить к иному окаймляющему минору. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. Этот минор тоже окаймляет \(\displaystyle{M_2}\):

\[ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -5 & 7 \end{array} \right|=22. \]

Итак, среди миноров третьего порядка, окаймляющих \(\displaystyle{M_2}\), есть хоть один, не равный нулю. Миноры четвёртого порядка мы образовать уже не можем, так как для них потребуется 4 строки, а в матрице \(\displaystyle{A}\) всего 3 строки. Посему, так как последний ненулевой минор был третьего порядка, то ранг равен 3, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}=3}\).

Ответ:

\(\displaystyle{\rang A=3}\).