Возведение матрицы в степень. Вычисление результатов выражений с матрицами.

Решение

Вычисление матрицы \(\displaystyle{D}\) начнем с нахождения результата произведения \(\displaystyle{AB}\). Матрицы \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) можно перемножать, так как количество столбцов матрицы \(\displaystyle{A}\) равно количеству строк матрицы \(\displaystyle{B}\). Обозначим \(\displaystyle{F=AB}\). При этом матрица \(\displaystyle{F}\) будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу \(\displaystyle{F}\), вычислив все её элементы:

Итак, \(\displaystyle{F=\left(\begin{array} {ccc} -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end{array} \right)}\). Пойдём далее. Матрица \(\displaystyle{C^T}\) – транспонированная матрица для матрицы \(\displaystyle{C}\), т.е. \(\displaystyle{ C^T=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end{array} \right) }\). Что же касаемо матрицы \(\displaystyle{E}\), то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. \(\displaystyle{E=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)}\).

В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.

Задача решена, \(\displaystyle{D=\left(\begin{array} {ccc} 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end{array} \right)}\).

Решение

Если \(\displaystyle{f(x)=2x^2+3x-9}\), то под \(\displaystyle{f(A)}\) понимают такую матрицу:

Выражение \(\displaystyle{f(A)=2A^2+3A-9E}\) называют многочленом от матрицы \(\displaystyle{A}\). Нам нужно найти значение \(\displaystyle{f(A)}\), подставив матрицу \(\displaystyle{A}\) в выражение \(\displaystyle{2A^2+3A-9E}\). Так как все действия были подробно разобраны ранее, то тут я просто приведу решение.

Решение

Согласно определению, \(\displaystyle{A^2=A\cdot A}\), т.е. для нахождения \(\displaystyle{A^2}\) нам просто нужно умножить матрицу \(\displaystyle{A}\) саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы, поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:

Чтобы найти матрицу \(\displaystyle{A^6}\) у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать \(\displaystyle{A^2}\) на матрицу \(\displaystyle{A}\):

Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для \(\displaystyle{A^6}\):

Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа – лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:

Решение

Для начала запишем \(\displaystyle{A^2}\):

Ещё отыщем \(\displaystyle{A^3}\):

В целом, можно и продолжать непосредственный расчёт, применяя, например, такую формулу:

Однако такой вариант решения, хоть и приемлем в целом, довольно неудобен, если речь будет идти о больших степенях. Например, вычислить \(\displaystyle{A^{43}}\) таким способом уже несколько затруднительно.

В этом случае можно попытаться найти закономерность, которая связывает показатель степени и значения элементов матрицы. Запишем те степени матриц, что уже были получены:

Можно предположить, что закономерность будет сохранена, т.е.

Однако это предположение ещё надо доказать. Применим для доказательства метод математической индукции.

При \(\displaystyle{n=1}\) доказываемая формула истинна. Пусть она истинна при \(\displaystyle{n=k}\), т.е.

Проверим выполнение равенства (4.1) при \(\displaystyle{n=k+1}\), т.е. докажем, что

С учётом формулы (4.2) получим:

Равенство (4.3) выполнено. Итак, исходя из предположения, что формула (4.1) истинна при \(\displaystyle{n=k}\), мы доказали истинность данной формулы при \(\displaystyle{n=k+1}\). Вывод: формула (4.1) верна при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\).

Подставляя в формулу (4.1) значение \(\displaystyle{n=43}\), получим:

Решение

Сперва докажем, что

При \(\displaystyle{n=1}\) формула верна. Пусть она истинна при \(\displaystyle{n=k}\), т.е.

Проверим выполнение равенства (5.1) при \(\displaystyle{n=k+1}\), т.е. докажем, что

С учётом формулы (5.2) получим:

Равенство (5.3) выполнено. Итак, исходя из предположения, что формула (5.1) истинна при \(\displaystyle{n=k}\), мы доказали истинность данной формулы при \(\displaystyle{n=k+1}\). Вывод: формула (5.1) верна при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\).

С учётом доказанной формулы вычислим \(\displaystyle{B^{72}}\), только предварительно запишем матрицу \(\displaystyle{B}\) в ином виде:

Таким образом, мы имеем матрицу вида \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cc} \cos{x} & -\sin{x} \\ \sin{x} & \cos{x} \end{array} \right)}\), где \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{3}}\). Применяя формулу (5.1) при условии \(\displaystyle{n=72}\) и \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{3}}\), будем иметь:

Итак, \(\displaystyle{B^{72}=E}\), где \(\displaystyle{E}\) – единичная матрица. К слову, найти \(\displaystyle{B^{72}}\) можно было бы и последовательным умножением – если сперва отыскать \(\displaystyle{B^{3}}\).