Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\). Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: \(\rang A=\rang\widetilde{A} = 2\).

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как \(n\), т.е. \(n=4\)). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу \(r=2\). Так как \(r \lt{n}\), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться \(r\), т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на "ступеньках". Что это за "ступеньки" показано на рисунке:

На "ступеньках" стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной \(x_1\), а третий столбец соответствует переменной \(x_3\). Именно переменные \(x_1\) и \(x_3\) примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Базисные переменные выбраны: это \(x_1\) и \(x_3\). Остальные \(n-r=2\) переменных (т.е. \(x_2\) и \(x_4\)) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу \(\left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 5\\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\) от нулевой строки:

Свободным переменным, т.е. \(x_2\) и \(x_4\), соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной \(x_2\), а пятый столбец – переменной \(x_4\), то получим:

Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая \(x_2=0\) и \(x_4=0\), будем иметь:

Решение \(x_1=9\), \(x_2=0\), \(x_3=-2\), \(x_4=0\) и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая \(x_2=-4\) и \(x_4=1\), получим такое частное решение: \(\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{2}{3};\\ & x_2=-4;\\ & x_3=-\frac{10}{3};\\ & x_4=1. \end{aligned}\right.\). Базисное решение, которые мы нашли ранее – лишь одно из бесконечного множества частных решений заданной СЛАУ.

Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя \(x_1=9+2x_2-\frac{1}{3}x_4\) и \(x_3=-2-\frac{4}{3}x_4\) в левую часть первого уравнения, получим:

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Похожая задача уже был решен в теме "метод Крамера" (задача №4). Переменные \(x_4\) и \(x_5\) были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? :) Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущей задаче.

Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. \(\rang A=\rang\widetilde{A} = 3\). Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.

Количество неизвестных \(n=5\), ранги обеих матриц \(r=3\), поэтому нужно выбрать три базисных переменных и \(n-r=2\) свободных переменных. Применяя тот же метод "ступенек", что и в предыдущей задаче, выберем в качестве базисных переменных \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), а в качестве свободных переменных – \(x_4\) и \(x_5\).

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

Из последней матрицы имеем общее решение заданной СЛАУ: \(\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x_4-\frac{15}{2}x_5;\\ & x_2=\frac{11}{8}-\frac{11}{4}x_4+\frac{15}{4}x_5;\\ & x_3=\frac{5}{8}-\frac{5}{4}x_4+\frac{13}{4}x_5;\\ & x_4 \in R;\\ & x_5 \in R. \end{aligned}\right.\). Базисное решение получим, если приравняем свободные переменные к нулю, т.е. \(x_4=0\), \(x_5=0\):