Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

Решение

Итак, мы имеем СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\), \(\displaystyle{x_3}\), \(\displaystyle{x_4}\). Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: \(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A} = 2}\).

Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как \(\displaystyle{n}\), т.е. \(\displaystyle{n=4}\)). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу \(\displaystyle{r=2}\). Так как \(\displaystyle{r \lt{n}}\), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться \(\displaystyle{r}\), т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на "ступеньках". Что это за "ступеньки" показано на рисунке:

На "ступеньках" стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной \(\displaystyle{x_1}\), а третий столбец соответствует переменной \(\displaystyle{x_3}\). Именно переменные \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_3}\) примем в качестве базисных.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Базисные переменные выбраны: это \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_3}\). Остальные \(\displaystyle{n-r=2}\) переменных (т.е. \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_4}\)) являются свободными. Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.

Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 5\\ 0 & 0 & 3 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)}\) от нулевой строки:

Свободным переменным, т.е. \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_4}\), соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Если вспомнить, что четвёртый столбец соответствует переменной \(\displaystyle{x_2}\), а пятый столбец – переменной \(\displaystyle{x_4}\), то получим:

Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти базисное решение, нужно все свободные переменные приравнять к нулю. Т.е. полагая \(\displaystyle{x_2=0}\) и \(\displaystyle{x_4=0}\), будем иметь:

Решение \(\displaystyle{x_1=9}\), \(\displaystyle{x_2=0}\), \(\displaystyle{x_3=-2}\), \(\displaystyle{x_4=0}\) и является базисным решением данной СЛАУ. В принципе, задавая свободным переменным иные значения, можно получить иные частные решения данной системы. Таких частных решений бесконечное количество. Например, принимая \(\displaystyle{x_2=-4}\) и \(\displaystyle{x_4=1}\), получим такое частное решение: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{2}{3};\\ & x_2=-4;\\ & x_3=-\frac{10}{3};\\ & x_4=1. \end{aligned}\right.}\). Базисное решение, которые мы нашли ранее – лишь одно из бесконечного множества частных решений заданной СЛАУ.

Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя \(\displaystyle{x_1=9+2x_2-\frac{1}{3}x_4}\) и \(\displaystyle{x_3=-2-\frac{4}{3}x_4}\) в левую часть первого уравнения, получим:

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Решение

Похожая задача уже был решен в теме "метод Крамера" (задача №4). Переменные \(\displaystyle{x_4}\) и \(\displaystyle{x_5}\) были перенесены в правые части, а дальше применялись стандартные операции метода Крамера. Однако такой метод решения не гарантирует достижения результата. Например, мы переносим некие переменные в правую часть, а оставшийся определитель оказывается равным нулю, – что тогда? Решать перебором? :) Поэтому гораздо удобнее применять преобразования метода Гаусса, как и в предыдущей задаче.

Матрица системы и расширенная матрица системы приведены к трапециевидной форме. Ранги этих матриц равны между собой и равны числу 3, т.е. \(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A} = 3}\). Так как ранги равны между собой и меньше, чем количество переменных, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система имеет бесконечное количество решений.

Количество неизвестных \(\displaystyle{n=5}\), ранги обеих матриц \(\displaystyle{r=3}\), поэтому нужно выбрать три базисных переменных и \(\displaystyle{n-r=2}\) свободных переменных. Применяя тот же метод "ступенек", что и в предыдущей задаче, выберем в качестве базисных переменных \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\), \(\displaystyle{x_3}\), а в качестве свободных переменных – \(\displaystyle{x_4}\) и \(\displaystyle{x_5}\).

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

Из последней матрицы имеем общее решение заданной СЛАУ: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x_4-\frac{15}{2}x_5;\\ & x_2=\frac{11}{8}-\frac{11}{4}x_4+\frac{15}{4}x_5;\\ & x_3=\frac{5}{8}-\frac{5}{4}x_4+\frac{13}{4}x_5;\\ & x_4 \in R;\\ & x_5 \in R. \end{aligned}\right.}\). Базисное решение получим, если приравняем свободные переменные к нулю, т.е. \(\displaystyle{x_4=0}\), \(\displaystyle{x_5=0}\):