Высшая математика » Числовые ряды » Признак Д'Аламбера » Признак Д'Аламбера. Первая часть

Признак Д'Аламбера. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов".

Признак Д'Аламбера (или признак Даламбера) используется для исследования сходимости рядов, общий член которых строго больше нуля, т.е. \(u_n > 0\). Такие ряды называют строго положительными. В стандартных примерах признак Д'Аламбера используют в предельной форме.

Признак Д'Аламбера (в предельной форме)

Если ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) строго положителен и

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=L, \]

то при \(L\lt 1\) ряд сходится, а при \(L>1\) (и при \(L=\infty\)) ряд расходится.

Формулировка довольно проста, но остаётся открытым следующий вопрос: что будет, если \(L=1\)? Ответа на данный вопрос признак Д'Аламбера дать не в состоянии. Если \(L=1\), то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Чаще всего в стандартных примерах признак Д'Аламбера применяется, если в выражении общего члена ряда присутствуют многочлен от \(n\) (многочлен может быть и под корнем) и степень вида \(a^n\) или \(n!\). Например, \(u_n=\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}\) (см. задачу №1) или \(u_n=\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}\) (см. задачу №2). Вообще, для стандартного примера наличие \(n!\) – это своеобразная "визитная карточка" признака Д'Аламбера.

Что обозначает выражение "n!"?

Запись "n!" (читается "эн факториал") обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.

\[ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n \]

По определению полагается, что \(0!=1!=1\). Для примера найдём 5!:

\[ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. \]

Кроме того, нередко признак Д'Аламбера используют для выяснения сходимости ряда, общий член которого содержит произведение такой структуры: \(u_n=\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}\).

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в темах "Пределы с иррациональностями", "Предел отношения двух многочленов", а также в теме "Второй замечательный предел".

Задача №1

Условие

Исследовать ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}\) на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}\). Так как при \(n≥ 1\) имеем \(3n+7 > 0\), \(5^n>0\) и \(2n^3-1 > 0\), то \(u_n > 0\). Следовательно, наш ряд является строго положительным.

Проверять выполнение необходимого условия сходимости здесь несколько затруднительно, поэтому эту проверку мы пропустим.

Что мы можем сказать про общий член ряда? Он содержит многочлены \(3n+7\), \(2n^3-1\) и степень \(5^n\). Это сразу наводит на мысль о применении признака Д'Аламбера.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Общий член ряда у нас есть, вот он: \(u_n=\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}\). А формулу для \(u_{n+1}\) запишем отдельно. Чтобы записать \(u_n\), нужно в формулу \(u_n=\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}\) вместо \(n\) подставить \(n+1\):

\[ u_{n+1}=\frac{5^{n+1}\cdot(3(n+1)+7)}{2(n+1)^3-1}=\frac{5^{n+1}\cdot(3n+10)}{2(n+1)^3-1}. \]

При желании знаменатель можно записать без скобок, так как \(2(n+1)^3-1=2n^3+6n^2+6n+1\), однако в этом нет необходимости. Итак, найдём чему же равно значение \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\). При упрощении получившегося выражения учтём, что \(\frac{5^{n+1}}{5^n}=5^{n+1-n}=5^1=5\).

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5^{n+1}\cdot(3n+10)}{2(n+1)^3-1}}{\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}}= \lim_{n\to\infty}\frac{5\cdot(3n+10)\left(2n^3-1\right)}{\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7)}=5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+10)\left(2n^3-1\right)}{\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7)}. \]

Чтобы вычислить получившийся предел, нужно разделить и числитель и знаменатель на \(n^4\) (см. задачу №6 на этой странице):

\[ 5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+10)\left(2n^3-1\right)}{\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7)}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= 5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(3n+10)\left(2n^3-1\right)}{n^4}}{\frac{\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7)}{n^4}}= 5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n+10}{n}\cdot\frac{2n^3-1}{n^3}}{\frac{\left(2(n+1)^3-1\right)}{n^3}\cdot\frac{3n+7}{n}}=\\ =5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{3n}{n}+\frac{10}{n}\right)\cdot\left(\frac{2n^3}{n^3}-\frac{1}{n^3}\right)}{\left(2\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^3-\frac{1}{n^3}\right)\cdot\left(\frac{3n}{n}+\frac{7}{n}\right)}=5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\left(3+\frac{10}{n}\right)\cdot\left(2-\frac{1}{n^3}\right)}{\left(2\left(1+\frac{1}{n}\right)^3-\frac{1}{n^3}\right)\cdot\left(3+\frac{7}{n}\right)}=5\cdot\frac{3\cdot 2}{2\cdot 3}=5. \]

Так как \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=5>1\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд расходится.

Честно говоря, признак Д'Аламбера – не единственный вариант в данной ситуации. Можно использовать, например, радикальный признак Коши. Однако применение радикального признака Коши потребует знания (или доказательства) дополнительных формул. Поэтому использование признака Д'Аламбера в данной ситуации более удобно.

Ответ:

Ряд расходится.

Задача №2

Условие

Исследовать ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}\) на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}\). Заданный ряд является строго положительным, т.е. \(u_n>0\).

Общий член ряда содержит многочлен под корнем, т.е. \(\sqrt{4n+5}\), и факториал \((3n-2)!\). Наличие факториала в стандартном примере – почти стопроцентная гарантия применения признака Д'Аламбера.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Чтобы записать \(u_{n+1}\), нужно в формулу \(u_n=\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}\) вместо \(n\) подставить \(n+1\):

\[ u_{n+1}=\frac{\sqrt{4(n+1)+5}}{(3(n+1)-2)!}=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. \]

Так как

\[(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1),\]

то формулу для \(u_{n+1}\) можно записать по-иному:

\[ u_{n+1}=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. \]

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом. Если равенство с факториалами требует пояснений, то прошу раскрыть примечание ниже.

Как мы получили равенство \((3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)\)?

Запись \((3n+1)!\) означает произведение всех натуральных чисел от 1 до \(3n+1\). Т.е. данное выражение можно записать так:

\[ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). \]

Непосредственно перед числом \(3n+1\) стоит число, на единицу меньшее, т.е. число \(3n+1-1=3n\). А непосредственно перед числом \(3n\) стоит число \(3n-1\). Ну, а непосредственно перед числом \(3n-1\) имеем число \(3n-1-1=3n-2\). Перепишем формулу для \((3n+1)!\):

\[ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) \]

Что представляет собой произведение \(1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\)? Это произведение равно \((3n-2)!\). Следовательно, выражение для \((3n+1)!\) можно переписать в такой форме:

\[(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)\]

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом.

Вычислим значение \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\):

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}}{\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. \]

Так как \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0 \lt 1\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд сходится.

Ответ:

Ряд сходится.

Задача №3

Условие

Исследовать ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}\) на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}\). Заданный ряд ряд является строго положительным, т.е. \(u_n>0\).

Общий член ряда содержит как факториал \((2n+5)!\), так и степень \(4^{3n+2}\). Применяем признак Д'Аламбера.

Нам потребуется \(u_{n+1}\). Подставляя в формулу \(u_n=\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}\) вместо \(n\) выражение \(n+1\), будем иметь:

\[ u_{n+1}=\frac{(2(n+1)+5)!}{4^{3(n+1)+2}}=\frac{(2n+7)!}{4^{3n+5}} \]

Вычислим значение \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}\). При сокращении станем учитывать, что \((2n+7)!=(2n+5)!(2n+6)(2n+7)\) (см. примечание в предыдущей задаче №2) и \(\frac{4^{3n+2}}{4^{3n+5}}=4^{3n+2-(3n+5)}=4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}\).

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(2n+7)!}{4^{3n+5}}}{\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4^{3n+2}}{4^{3n+5}}\cdot\frac{(2n+7)!}{(2n+5)!}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{64}\cdot(2n+6)(2n+7)\right)=\infty. \]

Так как \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\infty\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд расходится.

Ответ:

Ряд расходится.

Часть №1

Часть №2

Часть №3