Признак Д'Аламбера. Первая часть.

Признак Д'Аламбера (или, как часто пишут в нашей литературе, – Даламбера) используется для исследования сходимости рядов, общий член которых строго больше нуля, т.е. \(\displaystyle{u_n \gt {0}}\). Такие ряды иногда называют строго положительными. В стандартных примерах признак Д'Аламбера используют в предельной форме.

Признак Д'Аламбера (в предельной форме)

Если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) строго положителен и

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=L, \]

то при \(\displaystyle{L\lt{1}}\) ряд сходится, а при \(\displaystyle{L\gt{1}}\) (и при \(\displaystyle{L=\infty}\)) ряд расходится.

Если \(\displaystyle{L=1}\), то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Чаще всего в стандартных примерах признак Д'Аламбера применяется, если в выражении общего члена ряда присутствуют многочлен (он может быть и под корнем) и степень вида \(\displaystyle{a^n}\) или \(\displaystyle{n!}\). Вообще, для стандартного примера наличие факториала – это своеобразная "визитная карточка" признака Д'Аламбера.

Кроме того, нередко признак Д'Аламбера используют для исследования сходимости ряда, общий член которого содержит произведение такой структуры: \(\displaystyle{u_n=\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}}\).

Задача №1

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}}\) на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}}\). Так как при \(\displaystyle{n\in{N}}\) имеем \(\displaystyle{3n+7 \gt {0}}\), \(\displaystyle{5^n\gt{0}}\) и \(\displaystyle{2n^3-1 \gt {0}}\), то \(\displaystyle{u_n \gt {0}}\).

Проверять выполнение необходимого условия сходимости здесь несколько затруднительно, поэтому эту проверку мы пропустим – она вовсе не является обязательной.

Что мы можем сказать про общий член ряда? Он содержит многочлены \(\displaystyle{3n+7}\), \(\displaystyle{2n^3-1}\) и степень \(\displaystyle{5^n}\). Это сразу наводит на мысль о применении признака Д'Аламбера:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5^{n+1}\cdot(3n+10)}{2(n+1)^3-1}}{\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5\cdot(3n+10)\left(2n^3-1\right)}{\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7)} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5\cdot(3n+10)\left(2n^3-1\right)}{n^4}}{\frac{\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7)}{n^4}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5\cdot\frac{3n+10}{n}\cdot\frac{2n^3-1}{n^3}}{\frac{\left(2(n+1)^3-1\right)}{n^3}\cdot\frac{3n+7}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5\cdot\left(3+\frac{10}{n}\right)\cdot\left(2-\frac{1}{n^3}\right)}{\left(2\left(1+\frac{1}{n}\right)^3-\frac{1}{n^3}\right)\cdot\left(3+\frac{7}{n}\right)} =5 \]

Так как \(\displaystyle{5\gt{1}}\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд расходится.

Вообще, признак Д'Аламбера – не единственный вариант в данной ситуации. Можно использовать, например, радикальный признак Коши. Однако применение радикального признака Коши потребует знания (или доказательства) дополнительных формул. Поэтому использование признака Д'Аламбера в данной ситуации более удобно.

Ответ:

ряд расходится.

Задача №2

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}}\) на сходимость.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}}\). Заданный ряд является строго положительным, т.е. \(\displaystyle{u_n\gt{0}}\).

Общий член ряда содержит многочлен под корнем, т.е. \(\displaystyle{\sqrt{4n+5}}\), и факториал \(\displaystyle{(3n-2)!}\). Наличие факториала в стандартном примере – почти стопроцентная гарантия применения признака Д'Аламбера. Вычислим значение \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}}\):

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}}{\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{1}{(3n-1)\cdot {3n}\cdot(3n+1)}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right) =1\cdot {0} =0 \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt {1}}\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд сходится.

Ответ:

ряд сходится.

Задача №3

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}}\) на сходимость.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}\gt{0}}\). Общий член ряда содержит как факториал \(\displaystyle{(2n+5)!}\), так и степень \(\displaystyle{4^{3n+2}}\). Применяем признак Д'Аламбера.

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(2n+7)!}{4^{3n+5}}}{\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4^{3n+2}}{4^{3n+5}}\cdot\frac{(2n+7)!}{(2n+5)!}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{64}\cdot(2n+6)(2n+7)\right)=\infty. \]

Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\infty}\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд расходится.

Ответ:

ряд расходится.