Признаки сравнения числовых рядов. Третья часть.

В первой и второй частях этой темы мы начали разбирать примеры применения признаков сравнения для исследования вопроса сходимости положительных рядов. На этой странице мы станем использовать сугубо второй признак сравнения (кроме последней задачи), или как его ещё именуют, признак сравнения в предельной форме. Ряды, с которыми станем сравнивать, те же, что и в предыдущих частях.

Для исследования рядов на этой странице будет полезна информация, указанная в таблице в конце этого документа.

Задача №1

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}}\).

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}}\). Так как \(\displaystyle{\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}} \gt{0}}\), то и \(\displaystyle{\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\gt{0}}\). Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования сходимости этого ряда.

Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если \(\displaystyle{n\to\infty}\), то \(\displaystyle{\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\to 0}\). Следовательно,

\[ \arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n}}; \; u_n\sim\frac{\pi}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{5}{6}}}. \]

Именно с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{5}{6}}}}\) мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как \(\displaystyle{\frac{5}{6} \le {1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}}\) расходится.

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}}{\frac{1}{n^\frac{5}{6}}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\left[\begin{aligned} &\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\to 0;\\ &\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}. \end{aligned}\right]=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}}{\frac{1}{n^\frac{5}{6}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\pi\cdot\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2n-1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{\sqrt[3]{2-\frac{1}{n}}} =\frac{\pi}{\sqrt[3]{2-0}} =\frac{\pi}{\sqrt[3]{2}} \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt \frac{\pi}{\sqrt[3]{2}} \lt \infty}\), то из расходимости ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}}\) следует расходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

Ответ:

ряд расходится.

Задача №2

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)}\) на сходимость.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=1-\cos\frac{7}{n}}\). Так как \(\displaystyle{1-\cos\frac{7}{n} \ge {0}}\), то мы имеем дело с положительным рядом. Если \(\displaystyle{n\to\infty}\), то \(\displaystyle{\frac{7}{n}\to 0}\). Следовательно,

\[ u_n =1-\cos\frac{7}{n}\sim \frac{\left(\frac{7}{n}\right)^2}{2} =\frac{49}{2n^2} \]

Заданный ряд станем сравнивать с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\), используя второй признак сравнения. Так как \(\displaystyle{2 \gt {1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится.

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos\frac{7}{n}}{\frac{1}{n^2}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\left[\begin{aligned} &\frac{7}{n}\to 0;\\ & 1-\cos\frac{7}{n}\sim\frac{49}{2n^2}.\end{aligned}\right] =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{49}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}} =\frac{49}{2} \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt \frac{49}{2} \lt \infty}\), то ряды \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

Ответ:

ряд сходится.

Задача №3

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^{\frac{3}{n}}-1\right)^2}\).

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=n\left(e^{\frac{3}{n}}-1\right)^2}\). Так как оба сомножителя положительны, то \(\displaystyle{u_n \gt{0}}\), т.е. мы имеем дело с положительным рядом. Если \(\displaystyle{n\to\infty}\), то \(\displaystyle{\frac{3}{n}\to {0}}\). Следовательно,

\[ e^{\frac{3}{n}}-1\sim\frac{3}{n}; \; u_n\sim{n}\cdot\left(\frac{3}{n}\right)^2 =\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{n}. \]

Заданный ряд станем сравнивать с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\), используя второй признак сравнения. Напомню, что гармонический ряд расходится.

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2}{\frac{1}{n^2}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\left[\begin{aligned}&\frac{3}{n}\to 0;\\&e^\frac{3}{n}-1\sim\frac{3}{n}.\end{aligned}\right] =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9}{n^2}}{\frac{1}{n^2}} =9 \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt {9} \lt \infty}\), то одновременно с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

Ответ:

ряд расходится.

Задача №4

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}}\).

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}}\). Так как для любого значения \(\displaystyle{n\in{N}}\) имеем \(\displaystyle{n^3+7 \gt {n^3+5}}\), то \(\displaystyle{\frac{n^3+7}{n^3+5} \gt {1}}\). Следовательно, \(\displaystyle{\ln\frac{n^3+7}{n^3+5} \gt {0}}\), т.е. \(\displaystyle{u_n \gt {0}}\). Мы имеем дело с положительным рядом.

Чтобы заметить нужную эквивалентность, запишем выражение под логарифмом немного в иной форме:

\[ \ln\frac{n^3+7}{n^3+5}=\ln\frac{n^3+5+2}{n^3+5} =\ln\left(\frac{n^3+5}{n^3+5}+\frac{2}{n^3+5}\right) =\ln\left(1+\frac{2}{n^3+5}\right) \]

Так как при \(\displaystyle{n\to\infty}\) имеем \(\displaystyle{\frac{2}{n^3+5}\to 0}\), то

\[ u_n=\ln\left(1+\frac{2}{n^3+5}\right)\sim\frac{2}{n^3+5}\sim\frac{2}{n^3} \]

Станем сравнивать с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}}\). Так как \(\displaystyle{3 \gt {1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}}\) сходится.

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}}{\frac{1}{n^3}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{2}{n^3+5}\right)}{\frac{1}{n^3}} =\left[\frac{0}{0}\right]=\\ =\left[\begin{aligned}&\frac{2}{n^3+5}\to 0;\\&\ln\left(1+\frac{2}{n^3+5}\right)\sim\frac{2}{n^3+5}.\end{aligned}\right] =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n^3+5}}{\frac{1}{n^3}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3}{n^3+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{1+\frac{5}{n^3}} =2 \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt 2 \lt \infty}\), то одновременно с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}}\) сходится и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

Ответ:

ряд сходится.

Задача №5

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot {n!}}}\) на сходимость.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{n^n}{7^n\cdot {n!}}}\). Так как \(\displaystyle{u_n \ge {0}}\), то заданный ряд является положительным.

Общий член ряда содержит произведение элементов в степени \(\displaystyle{n}\) и, кроме того, имеется множитель \(\displaystyle{n!}\). В этом случае удобно применить признак Д'Аламбера. Однако при желании можно использовать и признак сравнения. Так как \(\displaystyle{\left(\frac{n}{e}\right)^n \lt {n!} \lt e\cdot\left(\frac{n}{2}\right)^n}\), то можем записать такое неравенство для общего члена ряда:

\[ \frac{n^n}{7^n\cdot {e}\cdot\left(\frac{n}{2}\right)^n} \lt \frac{n^n}{7^n\cdot {n!}} \lt \frac{n^n}{7^n\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n};\\ \frac{2^n}{7^n\cdot {e}} \lt \frac{n^n}{7^n\cdot {n!}} \lt \frac{e^n}{7^n} =\left(\frac{e}{7}\right)^n \]

Так как \(\displaystyle{\left|\frac{e}{7}\right| \lt {1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e}{7}\right)^n}\) (это ряд вида (2)) сходится. Значит, то согласно первому признаку сравнения (пункт №2) будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

Ответ:

ряд сходится.