Теорема Кронекера – Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.

Решение

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы \(\displaystyle{A}\) и ранг расширенной матрицы системы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\). Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данной задаче нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данныую задачу решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 2\\0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1-k^2\end{array} \right)}\).

Каким бы ни было значение параметра \(\displaystyle{k}\), полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера – Капелли указаны три случая, и в данной задаче легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта \(\displaystyle{\rang A\neq\rang\widetilde{A}}\), при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

\(\displaystyle{\rang A\neq\rang\widetilde{A}}\)

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда \(\displaystyle{1-k^2=0}\), при этом \(\displaystyle{2k-2\neq{0}}\). В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. \(\displaystyle{\rang A=2}\)), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. \(\displaystyle{\rang \widetilde{A}=3}\)). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:

Из первого уравнения имеем: \(\displaystyle{k=1}\) или \(\displaystyle{k=-1}\), однако \(\displaystyle{k\neq{1}}\), поэтому остаётся лишь один случай: \(\displaystyle{k=-1}\). Следовательно, при \(\displaystyle{k=-1}\) система не имеет решений.

\(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A}\lt{3}}\)

Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера – Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.

Из данной системы имеем: \(\displaystyle{k=1}\). Именно при \(\displaystyle{k=1}\) третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому \(\displaystyle{\rang{A}=\rang\widetilde{A}=2}\). При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай \(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A}=2 \lt 3}\).

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим \(\displaystyle{k=1}\) в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

Из последней матрицы имеем: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned}& x_1=x_3-2;\\& x_2=-x_3+5.\end{aligned}\right.}\)

\(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A}=3}\)

Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера – Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если \(\displaystyle{1-k^2\neq{0}}\), т.е. \(\displaystyle{k\neq{-1}}\) и \(\displaystyle{k\neq{1}}\). Продолжаем решение методом Гаусса:

Из последней матрицы имеем: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned}& x_1=-\frac{6}{k+1};\\& x_2=\frac{7k+5}{k+1}\\& x_3=-\frac{2}{k+1}.\end{aligned}\right.}\)

Решение

Вновь, как и в предыдущей задаче, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы \(\displaystyle{A}\) и ранг расширенной матрицы системы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\). Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущей задаче мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Если \(\displaystyle{\Delta{A}\neq{0}}\), то ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы согласно определению ранга равны 3. Так как ранги равны между собой и равны количеству неизвестных, т.е. \(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A}=3}\), то система будет иметь единственное решение. Найдём это решение (случай \(\displaystyle{\Delta{A}={0}}\) рассмотрим позже).

Значения переменных \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\), \(\displaystyle{x_3}\) будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии \(\displaystyle{\Delta{A}=0}\). Это равенство возможно при \(\displaystyle{k=0}\) или \(\displaystyle{k=1}\).

Случай \(\displaystyle{k=0}\)

Если \(\displaystyle{k=0}\), то \(\displaystyle{\Delta{A}=0}\), при этом \(\displaystyle{\Delta_{x_1}=3(1-0)=3}\). Так как \(\displaystyle{\Delta{A}=0}\), то согласно определению ранга имеем: \(\displaystyle{\rang{A}≤2}\). Так как \(\displaystyle{\Delta_{x_1}\neq{0}}\), то \(\displaystyle{\rang{\widetilde{A}}=3}\). Следовательно, \(\displaystyle{\rang{A}\neq\rang\widetilde{A}}\), поэтому система несовместна, т.е. не имеет решений.

Нам остаётся рассмотреть последний случай: \(\displaystyle{k=1}\).

Случай \(\displaystyle{k=1}\)

Для наглядности я запишу здесь матрицу системы \(\displaystyle{A}\) и расширенную матрицу системы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\), подставив \(\displaystyle{k=1}\):

Если \(\displaystyle{k=1}\), то \(\displaystyle{\Delta{A}=0}\). Это значит, что \(\displaystyle{\rang{A}≤2}\). Рассмотрим миноры второго порядка матрицы \(\displaystyle{A}\). Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: \(\displaystyle{M=\left|\begin{array}{cc}2 & 1\\ 1 & -1\end{array}\right|=-3}\). Так как \(\displaystyle{M\neq{0}}\), то ранг матрицы \(\displaystyle{A}\) равен 2.

Найдём ранг расширенной матрицы системы. При \(\displaystyle{k=1}\) имеем: \(\displaystyle{\Delta{A}=\Delta_{x_1}=\Delta_{x_2}=\Delta_{x_3}=0}\). Все миноры третьего порядка матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) либо совпадают с минорами \(\displaystyle{\Delta{A}}\), \(\displaystyle{\Delta_{x_1}}\), \(\displaystyle{\Delta_{x_2}}\), \(\displaystyle{\Delta_{x_3}}\), либо получаются из данных миноров перестановкой столбцов. Следовательно, все миноры третьего порядка матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) равны нулю. Отсюда имеем вывод: \(\displaystyle{\rang{\widetilde{A}}\le{2}}\). Минор \(\displaystyle{M}\), записанный ранее, является также минором второго порядка матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\). Отсюда имеем вывод: \(\displaystyle{\rang{\widetilde{A}}=2}\). Так как \(\displaystyle{\rang{A}=\rang\widetilde{A}=2\lt{3}}\), то система явлется неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Найдём указанные решения, вновь применяя метод Крамера. Так как \(\displaystyle{\rang{A}=2}\), то система имеет два линейно независимых уравнения. Учитывая \(\displaystyle{M\neq{0}}\), делаем вывод: первые два уравнения линейно независимы, – их и выберем. Дальнейшее решение будет таким же, как и решение задачи №3 в разделе "Метод Крамера".

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Решение

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи \(\displaystyle{k=1}\) и \(\displaystyle{k\neq{1}}\) отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на \(\displaystyle{k-1}\) при условии \(\displaystyle{k-1\neq{0}}\). Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) зависят от значения параметра \(\displaystyle{k}\). Рассмотрим три случая: \(\displaystyle{k=1}\), \(\displaystyle{k=-3}\) и случай \(\displaystyle{k\neq{1}}\), \(\displaystyle{k\neq{-3}}\).

Случай \(\displaystyle{k=-3}\)

Если \(\displaystyle{k=-3}\), то преобразованная матрица станет такой: \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccccс|c} 1 & -3 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 4 & -4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 4 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right)}\). Так как \(\displaystyle{\rang{A}=3}\) и \(\displaystyle{\rang{\widetilde{A}}=4}\), то \(\displaystyle{\rang{A}\neq\rang{\widetilde{A}}}\), следовательно, система несовместна.

Случай \(\displaystyle{k=1}\)

Если \(\displaystyle{k=1}\), то преобразованная матрица станет такой: \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccccс|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)}\). Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой (и равны 1), но меньше, чем количество переменных, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}=\rang{\widetilde{A}}=1\lt{4}}\). Вывод: система является неопределённой. Общее решение системы непосредственно получим из первой строки записанной матрицы:

Случай \(\displaystyle{k\neq{1}}\) и \(\displaystyle{\neq{-3}}\)

Продолжим решение методом Гаусса. Так как \(\displaystyle{k\neq{1}}\) и \(\displaystyle{\neq{-3}}\), то \(\displaystyle{(1-k)(k+3)\neq{0}}\). Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на \(\displaystyle{1-k}\), четвёртую строку – на выражение \(\displaystyle{(1-k)(k+3)}\). С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

Из последней матрицы имеем: \(\displaystyle{x_1=x_2=x_3=x_4=\frac{1}{k+3}}\).