AMKbook.Net Задачи должны иметь решение

Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Третья часть.

Задача №1

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{-2x^4+5x^3+6x^2+8}{x^5+4x^3}dx}\).

Решение

Нужно найти интеграл от правильной рациональной дроби \(\displaystyle{\frac{-2x^4+5x^3+6x^2+8}{x^5+4x^3}}\), которая была разложена на простейшие в задаче №3. Используем готовое разложение:

\[ \frac{-2x^4+5x^3+6x^2+8}{x^5+4x^3} =\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}+\frac{-3x+5}{x^2+4} \]

Осталось лишь проинтегрировать. Для нахождения \(\displaystyle{\int\frac{-3x+5}{x^2+4}dx}\) можно применить формулу (3) (подставив в неё \(\displaystyle{M=-3}\), \(\displaystyle{N=5}\), \(\displaystyle{p=0}\), \(\displaystyle{q=4}\)), а можно пойти иным путём:

\[ \int\frac{-3x+5}{x^2+4}dx =\int\frac{-3x}{x^2+4}dx+\int\frac{5}{x^2+4}dx=\\ =-\frac{3}{2}\int\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}+5\int\frac{dx}{x^2+4} =-\frac{3}{2}\ln(x^2+4)+\frac{5}{2}\arctg\frac{x}{2}+C \]

Можно, повторюсь, напрямую применить готовую формулу (3), – разницы нет. Вернёмся к исходному интегралу:

\[ \int\frac{-2x^4+5x^3+6x^2+8}{x^5+4x^3}dx =\int\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^3}+\frac{-3x+5}{x^2+4}\right)dx =\ln|x|-\frac{1}{x^2}-\frac{3}{2}\ln(x^2+4)+\frac{5}{2}\;\arctg\frac{x}{2}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\ln|x|-\frac{1}{x^2}-\frac{3}{2}\ln(x^2+4)+\frac{5}{2}\;\arctg\frac{x}{2}+C}\).

Задача №2

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{3x+5}{\left(x^2+4x+7\right)^2}dx}\).

Решение

Под интегралом расположена правильная рациональная дробь. Это элементарная рациональная дробь четвёртого типа, и для интегрирования её будем применять формулу (4). Для начала сделаем замену \(\displaystyle{t=x+\frac{4}{2}=x+2}\). Тогда \(\displaystyle{x=t-2}\), \(\displaystyle{dx=d(t-2)=dt}\).

\[ \int\frac{3x+5}{(x^2+4x+7)^2}dx =\left[ \begin{aligned} & x=t-2;\\ & dx=dt. \end{aligned} \right] =\int\frac{3(t-2)+5}{\left((t-2)^2+4(t-2)+7\right)^2}dt=\\ =\int\frac{3t-1}{(t^2-4t+4+4t-8+7)^2}dt =\int\frac{3t-1}{\left(t^2+3\right)^2}dt =\int\frac{3t}{\left(t^2+3\right)^2}dt-\int\frac{dt}{\left(t^2+3\right)^2} \]

Поработаем с каждым интегралом по отдельности. Для первого интеграла получим:

\[ \int\frac{3t}{\left(t^2+3\right)^2}dt =\frac{3}{2}\int\frac{d\left(t^2+3\right)}{\left(t^2+3\right)^2} =-\frac{3}{2\left(t^2+3\right)}+C \]

Перейдём к интегралу \(\displaystyle{\int\frac{dt}{\left(t^2+3\right)^2}}\). Он имеет структуру \(\displaystyle{I_n=\int\frac{dt}{\left(t^2+a^2\right)^n}}\). Подставляя в рекуррентную формулу (4) значения \(\displaystyle{n=1}\) и \(\displaystyle{a^2=3}\) будем иметь:

\[ I_{2}=\frac{1}{2\cdot 1\cdot 3}\cdot\frac{t}{(t^2+3)^1}+\frac{2\cdot {1}-1}{2\cdot {1}\cdot 3}\cdot{I_1} =\frac{1}{6}\cdot\frac{t}{t^2+3}+\frac{1}{6}I_1 \]

В полученном равенстве использованы такие интегралы:

\[ \begin{aligned} & I_2=\int\frac{dt}{(t^2+3)^2}\\ & I_1=\int\frac{dt}{(t^2+3)^1}=\int\frac{dt}{t^2+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\;\arctg\frac{t}{\sqrt{3}}+C \end{aligned} \]

Рекуррентная формула, указанная выше, примет вид:

\[ \int\frac{dt}{\left(t^2+3\right)^2} =\frac{1}{6}\cdot\frac{t}{t^2+3}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\arctg\frac{t}{\sqrt{3}}+C =\frac{1}{6}\cdot\frac{t}{t^2+3}+\frac{1}{6 \sqrt{3}}\arctg\frac{t}{\sqrt{3}}+C \]

Соединим полученные результаты воедино.

\[ \int\frac{3t}{\left(t^2+3\right)^2}dt-\int\frac{dt}{\left(t^2+3\right)^2} =-\frac{3}{2(t^2+3)}-\frac{1}{6}\cdot\frac{t}{t^2+3}-\frac{1}{6\sqrt{3}}\arctg\frac{t}{\sqrt{3}}+C \]

Вернёмся к изначальной переменной. Вспоминая, что \(\displaystyle{t=x+2}\), получим:

\[ -\frac{3}{2\left(t^2+3\right)}-\frac{1}{6}\cdot\frac{t}{t^2+3}-\frac{1}{6 \sqrt{3}}\arctg\frac{t}{\sqrt{3}} +C =-\frac{x+11}{6\left(x^2+4x+7\right)}-\frac{1}{6 \sqrt{3}}\arctg\frac{x+2}{\sqrt{3}} +C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{x+11}{6\left(x^2+4x+7\right)}-\frac{1}{6 \sqrt{3}}\arctg\frac{x+2}{\sqrt{3}} +C}\).

Напоследок отмечу, что не стоит торопиться применять общий алгоритм разложения рациональной дроби на простейшие. Нередко вместо громоздкого алгоритма можно обойтись несложными преобразованиями вроде "вычесть и прибавить константу" или "вычесть и прибавить переменную в некоей степени". Рекомендую посмотреть задачу №2 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на простейшие, а также задачу №8 и задачу №9 в теме про интегрирование подстановкой. Общие алгоритмы, конечно, хороши своей универсальностью, но зачастую их непосредственное применение приводит к объёмному решению.