Метод Гаусса-Жордана. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Жордана.
Метод Гаусса-Жордана предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является модификацией метода Гаусса. Нередко этот метод называют методом Жордана или Жордана-Гаусса.
В данном методе решения СЛАУ мы работаем с расширенной матрицей системы. Преобразования, допустимые в методе Гаусса-Жордана те же, что и в методе Гаусса:
- Смена мест двух строк.
- Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
- Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
- Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю.
В принципе, можно менять местами и столбцы матрицы системы, но тогда нужно запоминать новый порядок переменных в уравнениях. Например, смена мест второго и пятого столбцов матрицы системы означает, что переменные \(x_2\) и \(x_5\) поменялись местами во всех уравнениях.
Буквами \(r\) (от слова "row") я стану обозначать строки: \(r_1\) – первая строка, \(r_2\) – вторая строка и так далее.
Перед тем, как описать алгоритм решения СЛАУ рассматриваемым методом, отмечу пару моментов насчёт вычёркивания строк. Договоримся, что нулевые строки мы вычёркиваем по мере их появления. Кроме того, на любом шаге можно, хоть это и не обязательно, вычёркивать одинаковые строки (т.е. строки, все соответствующие элементы которых равны меж собой), оставляя при этом одну из этих строк. Например, если строки \(r_2\), \(r_5\), \(r_6\) одинаковы, то можно оставить одну из них, – например, строку \(r_2\). При этом строки \(r_5\) и \(r_6\) будут удалены.
Удалять можно не только одинаковые строки. Если все элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки, умноженным на некое отличное от нуля число, то одну из этих строк можно вычеркнуть. Например, для строк \((-2;\;5;\;0)\) и \((-6;\;15;\;0)\) имеем \((-6;\;15;\;0)=3\cdot(-2;\;5;\;0)\). Следовательно, одну из этих строк можно вычеркнуть из матрицы.
Впрочем, обязательным условием оставим лишь вычёркивание нулевых строк. Из повторяющихся или пропорциональных строк в любом случае останется лишь одна, а остальные позже станут нулевыми и будут удалены из матрицы.
Если в ходе выполнения алгоритма возникла строка вида \(\left(\begin{array} {cccc|c}0 & 0 &\ldots & 0 & x\end{array}\right)\), где \(x\neq{0}\), то нет смысла продолжать преобразования, так как система является несовместной, т.е. не имеет решения.
Перед тем, как рассмотреть преобразования метода Гаусса-Жордана, введём несколько терминов.
Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке \((0;0;5;-9;0)\) ведущим будет третий элемент (он равен 5).
Буквами \(r\) (от слова "row") станем обозначать строки: \(r_1\) – первая строка, \(r_2\) – вторая строка и так далее.
Описание алгоритма с произвольным выбором разрешающего элемента
Если говорить коротко, то суть данного метода состоит в последовательном переборе столбцов матрицы системы, в каждом из которых выбирается некий ненулевой элемент, именуемый разрешающим элементом. Пусть в текущем столбце в качестве разрешающего элемента выбран \(a_{ij}\). Если \(a_{ij}\neq{1}\), то домножая строку \(r_i\) на \(\frac{1}{a_{ij}}\), добиваемся того, чтобы разрешающий элемент стал равен 1.
Далее выполняем действия со строками, чтобы обнулить все ненулевые элементы j-го столбца, кроме разрешающего элемента. После этого переходим к следующему столбцу. При этом из каждой строки можно взять разрешающий элемент лишь один раз.
Нулевые строки вычёркиваются по мере их появления. Если разрешающий элемент станет выбрать невозможно, алгоритм прекращается. Данным методом решены задачи №1 и №2 на этой странице.
Более развёрнутое пояснение этого метода дано в примечании ниже.
Подробное описание метода
На первом шаге мы работаем с первым столбцом матрицы системы. Выберем в первом столбце произвольный отличный от нуля элемент \(a_{i1}\neq{0}\). Это разрешающий элемент. Если \(a_{i1}\neq{1}\), то умножаем строку \(r_i\), содержащую разрешающий элемент, на \(\frac{1}{a_{i1}}\), чтобы разрешающий элемент стал равен единице. Если \(a_{i1}=1\), то никакого домножения, разумеется, делать не нужно. Затем с помощью строки \(r_i\) производим обнуление всех остальных ненулевых элементов первого столбца, после чего переходим к следующему шагу. Из строки \(r_i\) выбирать разрешающие элементы в последующих шагах запрещено. Из некоей строки можно выбрать разрешающий элемент лишь один раз – это крайне важно.
На втором шаге переходим к следующему столбцу матрицы системы. Посмотрим, нет ли в этом столбце элемента, не равного нулю, при этом не принадлежащего строке, из которой был выбран разрешающий элемент на предыдущем шаге. Если такого разрешающего элемента во втором столбце нет, то переходим к третьему, четвёртому столбцу и так далее – до тех пор, пока либо не найдём столбец, в котором будет нужный нам элемент, либо убедимся, что искомый столбец в матрице системы отсутствует (это будет означать окончание алгоритма).
Допустим, что мы нашли столбец, в котором присутствует искомый разрешающий элемент. Обозначим этот элемент \(b_{nk}\). Затем, аналогично первому шагу, если \(b_{nk}\neq{1}\), умножаем строку \(r_n\), содержащую разрешающий элемент, на \(\frac{1}{b_{nk}}\). После этого производим обнуление всех остальных ненулевых элементов k-го столбца. Из строк, которым принадлежали разрешающие элементы на первом и втором шагах, выбирать разрешающие элементы в последующих шагах запрещено.
После обнуления переходим к следующему столбцу и так далее. Полагаю, что логика данного метода ясна. На каждом шаге мы рассматриваем некий столбец. В этом столбце ищем ненулевой разрешающий элемент \(a\), при этом данный ненулевой элемент не должен лежать в тех строках, из которых выбирались разрешающие элементы на предыдущих шагах. Если такой разрешающий элемент \(a\) мы находим, то при \(a\neq{1}\) умножаем строку, содержащую данный элемент, на \(\frac{1}{a}\). Затем выполняем обнуление всех остальных ненулевых элементов текущего столбца. Если же мы не находим искомого элемента в текущем столбце, то переходим к следующему столбцу – пока не найдём нужный столбец или же не убедимся в отсутствии искомого столбца. Как только выбор разрешающего элемента станет невозможен, алгоритм закончится.
Описание алгоритма с последовательным перебором строк
Если предыдущий вариант алгоритма предполагал последовательный перебор столбцов, то в данном случае мы будем осуществлять последовательный перебор строк. На каждом шаге этого варианта метода Гаусса-Жордана используется некая строка расширенной матрицы системы. На первом шаге применяется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Замечание про нулевые и повторяющиеся строки, сделанное выше, остаётся в силе. Нулевые строки вычёркиваем по мере их появления.
Обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеется хоть одна строка, причём \(k\) – номер ведущего элемента текущей строки (этот элемент обозначим буквой \(a\)), а \(k_{\min}\) – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.
- Пусть \(k\le{k_{\min}}\), тогда в качестве разрешающего элемента принимаем ведущий элемент текущей строки. Умножаем текущую строку на \(\frac{1}{a}\), чтобы разрешающий элемент стал равен 1. Разумеется, если разрешающий элемент изначально равнялся 1, то никакого домножения не нужно. Затем производим обнуление ненулевых элементов, которые находятся в k-м столбце выше и ниже текущей строки. Если таких элементов нет, т.е. все элементы k-го столбца, кроме разрешающего, равны 0, то просто переходим к следующему шагу.
- Если \(k\gt{k_{\min}}\), то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(k_{\min}\). После этого для текущей строки будет верным неравенство \(k\le{k_{\min}}\), поэтому выполняем операции, описанные в предыдущем пункте.
Последовательно перебирая строки, мы придём к использованию последней строки. Пусть ведущий элемент \(a\) этой строки имеет номер \(k\). Если \(a\neq{1}\), то умножаем последнюю строку на \(\frac{1}{a}\). Затем обнуляем ненулевые элементы k-го столбца, расположенные над последней строкой. На этом решение заканчивается. Данным способом решены задачи №3, №4, №5 и №6 на этой странице.
Как конкретно происходит обнуление элементов, рассмотрим на практике. Буквой \(k\) я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись \(k_{\min}\) будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой. Разрешающий элемент во всех примерах выделен красным цветом.
Во всех задачах \(A\) обозначает матрицу системы, \(\widetilde{A}\) – расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть здесь.
Условие
Решить СЛАУ \( \left\{ \begin{aligned}
& 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\
& 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\
& -3x_1+11x_2+x_3=16.
\end{aligned} \right.\) методом Гаусса-Жордана.
Решение
Расширенная матрица системы будет такой:
\[
\widetilde{A}
=\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & -7 & 8 & -23\\
2 & -4& 5 & -13 \\
-3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)
\]
На каждом шаге метода Гаусса-Жордана нам придётся выбирать некие ненулевые элементы матрицы системы (разрешающие элементы). Выбирать можно по-разному, и в зависимости от выбора разрешающих элементов будет отличаться процесс решения. В этой задаче мы станем выбирать разрешающий элемент произвольно.
Первый шаг
Обратимся к первому столбцу матрицы системы (матрица системы записана до черты). Надо выбрать в первом столбце какой-либо ненулевой элемент, который и будет разрешающим элементом.
У нас в первом столбце три ненулевых элемента: 4, 2, -3. Мы можем выбрать любой из них. Удобно, когда разрешающий элемент равен 1 или -1 (почему это так, будет ясно из дальнейшего), однако такого элемента в первом столбце нет. Возьмём в качестве разрешающего элемента число 2.
Для начала сделаем так, чтобы разрешающий элемент (он выделен красным цветом) стал равен единице. Для этого разделим все элементы второй строки на 2. Это преобразование обозначается так: \(1/2\cdot{r_2}\) и записывается следующим образом:
\[
\left( \begin{array} {ccc|c}
4 & -7 & 8 & -23\\
\boldred{2} & -4& 5 & -13 \\
-3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ 1/2\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
\normblue{4} & -7 & 8 & -23\\
\boldred{1} & -2& 5/2 & -13/2\\
\normblue{-3} & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)
\]
Наша цель: обнулить все ненулевые элементы первого столбца, кроме разрешающего элемента. Т.е. обнулению подлежат числа 4 и -3, которые выделены синим цветом. Для этого нужно выполнить такие операции со строками:
\[
\begin{aligned}
&r_1-\normblue{4}\cdot{r_2}=r_1-4r_2;\\
&r_3-\normblue{(-3)}\cdot{r_2}=r_3+3r_2.
\end{aligned}
\]
Запись \(r_1-4r_2\) означает, что из элементов первой строки вычитаются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 4. А запись \(r_3+3r_2\) говорит о том, что к элементам третьей строки прибавляются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 3. Если выполнение подобных операций в уме затруднительно (а поначалу именно так и бывает), то выпишите изменяемые строки отдельно. Например, так:
\[
\begin{aligned}
& r_1-4r_2=(4;\;-7;\;8;\;-23)-4\cdot(1;\;-2;\;5/2;\;-13/2)=\\
& =(4;\;-7;\;8;\;-23)-(4;\;-8;\;10;\;-26)=(0;\;1;\;-2;\;3)
\end{aligned}
\]
Заметьте, что вторую строку эти преобразования не затрагивают, поэтому в новую матрицу вторая строка перейдёт без изменений.
\[
\left( \begin{array} {ccc|c}
\normblue{4} & -7 & 8 & -23\\
\boldred{1} & -2& 5/2 & -13/2\\
\normblue{-3} & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-4r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+3r_2 \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
0 & 1 & -2 & 3\\
1 & -2& 5/2 & -13/2\\
0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array}\right).
\]
На этом первый шаг закончен. Все "синие элементы" первого столбца обнулены. Полагаю, теперь ясно, почему в качестве разрешающего элемента удобно брать 1 или -1: этот выбор банально позволит уменьшить работу с дробями или же вообще избежать такой работы.
Второй шаг
Обратимся к следующему столбцу. Посмотрим, можно ли выбрать разрешающий элемент во втором столбце. В этом столбце есть три ненулевых элемента: 1, -2 и 5. Элемент -2 мы не можем выбрать в качестве разрешающего, так как он принадлежит строке, из которой был взят разрешающий элемент на предыдущем шаге. Следовательно, на роль разрешающего элемента есть два кандидата: 1 и 5.
Разумеется, самым удачным выбором будет 1. На первом шаге, чтобы разрешающим элементом стала единица, мы делили вторую строку на 2. Здесь эта операция не нужна, так как разрешающий элемент уже равен 1. С помощью разрешающего элемента (он выделен красным) мы обнулим два остальных ненулевых элемента второго столбца, выделенных синим цветом:
\[
\left( \begin{array} {ccc|c}
0 & \boldred{1} & -2 & 3\\
1 & \normblue{-2}& 5/2 & -13/2\\
0 & \normblue{5} & 17/2 & -7/2 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2+2r_1\\ r_3-5r_1 \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
0 & 1 & -2 & 3\\
1 & 0 & -3/2 & -1/2\\
0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array}\right).
\]
Второй шаг окончен. Все "синие элементы" обнулены. Переходим к третьему шагу.
Третий шаг
Теперь перейдём к следующему, т.е. третьему столбцу. В этом столбце есть три ненулевых элемента, т.е. -2, -3/2 и 37/2. Элементы -2 и -3/2 не могут быть разрешающими, так как из строк, в которых лежат данные элементы, мы брали разрешающие элементы на предыдущих шагах. В качестве разрешающего элемента можно взять лишь 37/2. Операции, которые мы станем выполнять, полностью аналогичны производимым ранее: сделать разрешающий элемент единицей, а потом обнулить ненулевые элементы текущего столбца:
\[
\left( \begin{array} {ccc|c}
0 & 1 & -2 & 3\\
1 & 0 & -3/2 & -1/2\\
0 & 0 & \boldred{37/2} & -37/2 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\ 2/37\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
0 & 1 & \normblue{-2} & 3\\
1 & 0 & \normblue{-3/2} & -1/2\\
0 & 0 & \boldred{1} & -1 \end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1+2r_3\\r_2+3/2\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {ccc|c}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right).
\]
Выбрать разрешающий элемент в следующем столбце матрицы системы невозможно, так как матрица системы содержит всего три столбца. Решение окончено, ответ получен.
Единица в первом столбце соответствует первой переменной \(x_1\), т.е. \(x_1=-2\). Единица во втором столбце соответствует переменной \(x_2\), т.е. \(x_2=1\). Наконец, единица в третьем столбце соответствует третьей переменной, т.е. \(x_3=-1\). Если хотите более подробных пояснений, то прошу раскрыть примечание.
Как получились значения переменных?
Давайте перейдём от последней полученной нами матрице к системе:
\[
\left\{ \begin{aligned}
& 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\
& 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2;\\
& 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1.
\end{aligned} \right.
\]
Упрощая полученную систему, имеем:
\[
\left\{ \begin{aligned}
& x_2=1;\\
& x_1=-2;\\
& x_3=-1.
\end{aligned} \right.
\]
Полное решение без пояснений выглядит так:
\[
\left( \begin{array} {ccc|c}
4 & -7 & 8 & -23\\
\boldred{2} & -4& 5 & -13 \\
-3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ 1/2\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
4 & -7 & 8 & -23\\
\boldred{1} & -2& 5/2 & -13/2\\
-3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-4r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+3r_2 \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left( \begin{array} {ccc|c}
0 & \boldred{1} & -2 & 3\\
1 & -2 & 5/2 & -13/2\\
0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2+2r_1\\ r_3-5r_1 \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
0 & 1 & -2 & 3\\
1 & 0 & -3/2 & -1/2\\
0 & 0 & \boldred{37/2} & -37/2 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\ 2/37\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left( \begin{array} {ccc|c}
0 & 1 & -2 & 3\\
1 & 0 & -3/2 & -1/2\\
0 & 0 & \boldred{1} & -1 \end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1+2r_3\\r_2+3/2\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {ccc|c}
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right).
\]
Ответ:
\(x_1=-2\), \(x_2=1\), \(x_3=-1\).
Напишу пару строк относительно возможного облегчения преобразований данного метода. Как видно из предыдущей задачи, работа с дробями может быть довольно утомительной, поэтому, разумеется, возникает желание эту работу минимизировать. Зачастую такой работы удаётся избежать, если разрешающий элемент равен 1 или -1.
Самое первое действие, которое можно попробовать выполнить, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1, это банальная смена мест строк. Например, представим себе, что после первого шага мы получили такую матрицу:
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 5 & 4 & 0 & 3\\
0 & 12 & -5 & -3 & 3\\
0 & -3 & -1 & 5 & 7\\
0 & 1 & 10 & -4 & 1
\end{array} \right)
\]
Разумным будет выбор единицы из четвёртой строки в качестве разрешающего элемента во втором столбце. Однако если есть необходимость взять разрешающий элемент из иной строки, то можно просто поменять строки местами. Например, если мы хотим, чтобы разрешающий элемент принадлежал второй строке, поступим так:
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 5 & 4 & 0 & 3\\
0 & 12 & -5 & -3 & 3\\
0 & -3 & -1 & 5 & 7\\
0 & -1 & 1 & -4 & 1
\end{array} \right)
\overset{r_2\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 5 & 4 & 0 & 3\\
0 & 1 & 10 & -4 & 1\\
0 & -3 & -1 & 5 & 7\\
0 & 12 & -5 & -3 & 3
\end{array} \right)
\]
Смена мест строк зачастую позволяет упростить расчёты, поэтому этим приёмом нередко пользуются. Можно использовать и иной приём: выполнить вспомогательную операцию со строками, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1. Для демонстрации этого приёма обратимся к разобранной нами задаче №1. Мы хотим использовать на первом шаге разрешающий элемент из второй строки, но нас не устраивает, что данный элемент равен 2. Выполним вспомогательное действие \(r_2+r_3\), и тогда разрешающий элемент станет равен -1:
\[
\left( \begin{array} {ccc|c}
4 & -7 & 8 & -23\\
2 & -4& 5 & -13 \\
-3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2+r_3 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c}
4 & -7 & 8 & -23\\
-1 & 7& 6 & 3 \\
-3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)
\]
Выполнять описанные выше вспомогательные действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если действий с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов метода Гаусса-Жордана, то, разумеется, лучше упростить себе расчёты и выполнить некое дополнительное действие, чтобы потом не работать с дробями.
Условие
Решить СЛАУ
\[ \left\{ \begin{aligned}
&12x_3-18x_4+5x_5=-9;\\
& -6x_1+12x_2+9x_3+15x_4=-21;\\
& x_1-2x_2-3x_3-x_5=4;\\
&-4x_1+8x_2+12x_3-2x_4+7x_5=-11.
\end{aligned} \right.\]
методом Гаусса-Жордана.
Решение
Расширенная матрица системы будет такой:
\[
\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-6 & 12 & 9 & 15 & 0 & -21\\
1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
-4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11
\end{array} \right)
\]
В этой задаче мы, как и в предыдущей задаче №1, станем выбирать разрешающий элемент произвольно.
Первый шаг
Обратимся к первому столбцу матрицы системы. Надо выбрать в первом столбце какой-либо ненулевой элемент, который и будет разрешающим элементом.
У нас в первом столбце три ненулевых элемента: -6, 1, -4. Мы можем выбрать любой из них. Возьмём в качестве разрешающего элемента число 1. Так как разрешающий элемент уже равен 1, то домножать третью строку на некий множитель нет необходимости, т.е. просто переходим к обнулению всех остальных ненулевых элементов первого столбца.
Стоит обратить внимание на то, что все элементы второй строки нацело делятся на 3, поэтому умножим вторую строку на \(\frac{1}{3}\). Это не обязательное действие, просто немного упростит расчёты.
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-6 & 12 & 9 & 15 & 0 & -21\\
1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
-4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ 1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\
\boldred{1} & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
-4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+2r_3 \\ \phantom{0} \\ r_4+4r_2 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\]
Второй шаг
Обратимся к следующему столбцу. Посмотрим, можно ли выбрать разрешающий элемент во втором столбце. В этом столбце есть лишь один ненулевой элемент: число -2. Однако элемент -2 мы не можем выбрать в качестве разрешающего, так как он принадлежит строке, из которой был взят разрешающий элемент на предыдущем шаге.
Переходим к следующему столбцу. В третьем столбце есть три ненулевых элемента: 12, -3 и -3. Выберем в качестве разрешающего элемента число -3, расположенное во второй строке.
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & \boldred{-3} & 5 & -2 & 1\\
1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ -1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & \boldred{1} & -5/3 & 2/3 & -1/3\\
1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-12r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+3r_2 \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\
0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\
1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\]
Обратите внимание, что \(r_4=-r_1\), поэтому мы уже сейчас можем убрать одну из строк \(r_1\) или \(r_4\), однако для наглядности уберём лишнюю строку на следующем шаге, когда четвёртая строка станет нулевой.
Третий шаг
Вновь переходим к следующему, т.е. уже четвёртому, столбцу. В этом столбце есть четыре ненулевых элемента: 2, -5/3, -5, -2. Элементы -5/3 и -5 мы не можем взять в качестве разрешающих, потому что они принадлежат строкам, из которых разрешающие элементы брались на предыдущих шагах. Выберем 2 в качестве разрешающего элемента:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & \boldred{2} & -3 & -5\\
0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\
1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} 1/2\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & \boldred{1} & -3/2 & -5/2\\
0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\
1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5/3\cdot{r_1} \\ r_3+5r_1 \\ r_4+2r_1\end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\
0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\
1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)\rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\
0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\
1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2
\end{array} \right)
\]
На последней матрице мы убрали нулевую строку. Решение окончено, так как в следующем столбце разрешающий элемент выбрать уже невозможно – все строки использованы.
Обратите внимание на столбцы, которые содержат по одному ведущему элементу некоей строки. Это столбец №1 (он содержит ведущий элемент строки №3), столбец №3 (он содержит ведущий элемент строки №2) и столбец №4 (он содержит ведущий элемент строки №1). Эти столбцы для наглядности я выделил синим цветом:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
\normblue{0} & 0 & \normblue{0} & \normblue{1} & -3/2 & -5/2\\
\normblue{0} & 0 & \normblue{1} & \normblue{0} & -11/6 & -9/2\\
\normblue{1} & -2 & \normblue{0} & \normblue{0} & -13/2 & -19/2
\end{array} \right)
\]
Выделенные столбцы соответствуют переменным \(x_1\), \(x_3\) и \(x_4\). Эти переменные будут базисными, а переменные \(x_2\) и \(x_5\) – свободными. В принципе, из полученной матрицы можно сразу записать ответ. Например, первая строка данной матрицы соответствует уравнению \(x_4-\frac{3}{2}x_5=-\frac{5}{2}\), откуда имеем \(x_4=-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x_5\). Ответ будет таким:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1=-\frac{19}{2}+2x_2+\frac{13}{2}x_5;\\
&x_3=-\frac{9}{2}+\frac{11}{6}x_5;\\
&x_4=-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x_5;\\
&x_2\in{R};\;x_5\in{R}.
\end{aligned}\right.
\]
Полное решение без пояснений таково:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-6 & 12 & 9 & 15 & 0 & -21\\
1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
-4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ 1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\
\boldred{1} & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
-4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+2r_3 \\ \phantom{0} \\ r_4+4r_2 \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & \boldred{-3} & 5 & -2 & 1\\
1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ -1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & \boldred{1} & -5/3 & 2/3 & -1/3\\
1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-12r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+3r_2 \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & \boldred{2} & -3 & -5\\
0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\
1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} 1/2\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & \boldred{1} & -3/2 & -5/2\\
0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\
1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5/3\cdot{r_1} \\ r_3+5r_1 \\ r_4+2r_1\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\
0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\
1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)\rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\
0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\
1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2
\end{array} \right)
\]
Ответ:
\(\left\{\begin{aligned}
& x_1=-\frac{19}{2}+2x_2+\frac{13}{2}x_5;\\
&x_3=-\frac{9}{2}+\frac{11}{6}x_5;\\
&x_4=-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x_5;\\
&x_2\in{R};\;x_5\in{R}.
\end{aligned}\right.\)
Условие
Решить СЛАУ
\[ \left\{ \begin{aligned}
& 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\
& 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\
& 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27;\\
& -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1.
\end{aligned} \right.\]
методом Гаусса-Жордана.
Решение
Эту задачу станем решать с помощью последовательного перебора строк. Для начала запишем расширенную матрицу данной системы:
\[
\widetilde{A}=\left(\begin{array} {cccc|c}
3 & 1 & 2 & 5 & -6\\
3 & 1& 0 & 2 & -10\\
6 & 4 & 11 & 11 & -27\\
-3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end{array} \right)
\]
Первый шаг
На первом шаге алгоритма мы станем использовать первую строку. В первой строке ведущим является первый элемент (число 3), т.е. номер ведущего элемента первой строки \(k=1\). Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках (числа 3, 6 и -3) имеют номера 1. Наименьшим из этих номеров есть \(k_{\min}=1\). Так как \(k\le{k_{\min}}\), то разрешающим элементом будет ведущий элемент первой строки, т.е. число 3. Умножим первую строку на \(\frac{1}{3}\), чтобы разрешающий элемент стал равен 1, а затем обнулим ненулевые элементы первого столбца.
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
\boldred{3} & 1 & 2 & 5 & -6\\
3 & 1 & 0 & 2 & -10\\
6 & 4 & 11 & 11 & -27\\
-3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right)
\begin{array} {l} 1/3\cdot{r_1}\\ \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
\boldred{1} & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
3 & 1 & 0 & 2 & -10\\
6 & 4 & 11 & 11 & -27\\
-3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-3r_1\\r_3-6r_1\\r_4+3r_1\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\\
0 & 2 & 7 & 1 & -15\\
0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right).
\]
Второй шаг
На втором шаге алгоритма используем вторую строку. Ведущий элемент второй строки (число -2) имеет номер \(k=3\). Ведущие элементы нижележащих строк (числа 2 и -1) имеют номера 2, т.е. наименьшим из этих номеров есть \(k_{\min}=2\). Так как \(k\gt{k_{\min}}\), то надо поменять местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(k_{\min}\). Иными словами, надо поменять местами вторую строку с третьей или четвёртой.
Так как в четвёртой строке ведущий элемент равен -1, что удобно в расчётах, то пусть в обмене поучавствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\\
0 & 2 & 7 & 1 & -15\\
0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right)
\overset{r_2\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
0 & -1 & 0 & -5 & -5\\
0 & 2 & 7 & 1 & -15\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\]
Теперь ведущий элемент во второй строке имеет номер \(k=2\). Ведущие элементы в нижележащих строках (числа 2 и -2) имеют номера 2 и 3, наименьшим из которых будет \(k_{\min}=2\). Так как \(k\le{k_{\min}}\), то разрешающим элементом будет ведущий элемент второй строки. Умножим вторую строку на -1, чтобы разрешающий элемент стал равен 1, а затем обнулим ненулевые элементы второго столбца.
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
0 & \boldred{-1} & 0 & -5 & -5\\
0 & 2 & 7 & 1 & -15\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\-1\cdot{r_2} \\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
0 & \boldred{1} & 0 & 5 & 5\\
0 & 2 & 7 & 1 & -15\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-1/3\cdot{r_2}\\ \phantom{0} \\r_3-2r_2\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & 7 & -9 & -25\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right).
\]
Третий шаг
На третьем шаге применяем третью строку. Ведущий элемент третьей строки (число 7) имеет номер \(k=3\). Под третьей строкой лежит лишь одна строка, ведущий элемент которой (число -2) имеет номер 3. Следовательно, \(k_{\min}=3\). Так как \(k\le{k_{\min}}\), то умножим третью строку на \(\frac{1}{7}\), а затем обнулим ненулевые элементы третьего столбца.
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & \boldred{7} & -9 & -25\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\1/7\cdot{r_3}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & \boldred{1} & -9/7 & -25/7\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-2/3r_3\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\r_4+2r_3\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\
0 & 0 & 0 & -39/7 & -78/7\end{array}\right)
\]
Четвёртый шаг
На этом шаге мы используем четвёртую строку, которая является последней. Следовательно, это завершающий шаг алгоритма. Умножаем четвёртую строку на \(-\frac{7}{39}\), а затем обнуляем ненулевые элементы четвёртого столбца, расположенные над четвёртой строкой:
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\
0 & 0 & 0 & \boldred{-39/7} & -78/7\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\-7/39\cdot{r_4} \end{array}\rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\
0 & 0 & 0 & \boldred{1} & 2\end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-6/7\cdot{r_4}\\ r_2-5r_4 \\ r_3+9/7r_4 \\ \phantom{0} \end{array}\rightarrow
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & -3\\
0 & 1 & 0 & 0 & -5\\
0 & 0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right).
\]
Решение окончено. Ответ таков: \(x_1=-3\), \(x_2=-5\), \(x_3=-1\), \(x_4=2\). Полное решение без пояснений:
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
\boldred{3} & 1 & 2 & 5 & -6\\
3 & 1 & 0 & 2 & -10\\
6 & 4 & 11 & 11 & -27\\
-3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right)
\begin{array} {l} 1/3\cdot{r_1}\\ \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
\boldred{1} & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
3 & 1 & 0 & 2 & -10\\
6 & 4 & 11 & 11 & -27\\
-3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-3r_1\\r_3-6r_1\\r_4+3r_1\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\\
0 & 2 & 7 & 1 & -15\\
0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right)
\overset{r_2\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
0 & \boldred{-1} & 0 & -5 & -5\\
0 & 2 & 7 & 1 & -15\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\-1\cdot{r_2} \\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\
0 & \boldred{1} & 0 & 5 & 5\\
0 & 2 & 7 & 1 & -15\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-1/3\cdot{r_2}\\ \phantom{0} \\r_3-2r_2\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & \boldred{7} & -9 & -25\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\1/7\cdot{r_3}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\]
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & \boldred{1} & -9/7 & -25/7\\
0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-2/3r_3\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\r_4+2r_3\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\
0 & 0 & 0 & \boldred{-39/7} & -78/7\end{array}\right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\-7/39\cdot{r_4} \end{array}\rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\
0 & 1 & 0 & 5 & 5\\
0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\
0 & 0 & 0 & \boldred{1} & 2\end{array}\right)
\begin{array} {l} r_1-6/7\cdot{r_4}\\ r_2-5r_4 \\ r_3+9/7r_4 \\ \phantom{0} \end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & -3\\
0 & 1 & 0 & 0 & -5\\
0 & 0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right).
\]
Ответ:
\(x_1=-3\), \(x_2=-5\), \(x_3=-1\), \(x_4=2\).
Условие
Решить СЛАУ
\[ \left\{ \begin{aligned}
& x_4-4x_5=-5;\\
& -x_1+2x_2-7x_4+39x_5=55;\\
& -2x_3-x_5=1;\\
& x_1-2x_2+3x_4-17x_5=-23;\\
&-2x_1+4x_2-x_4+16x_5=25.
\end{aligned} \right.\]
методом Гаусса-Жордана.
Решение
Эту задачу станем решать с помощью последовательного перебора строк. Для начала запишем расширенную матрицу данной системы:
\[
\widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccccc|c}
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
-1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
-2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25.
\end{array} \right)
\]
Первый шаг
На первом шаге алгоритма мы станем использовать первую строку. Ведущий элемент первой строки (число 1) имеет номер \(k=4\). Ведущие элементы строк, расположенных под первой строкой (числа -1, -2, 1 и -2) имеют номера 1, 3, 1 и 1. Наименьшим среди перечисленных номеров ведущих элементов нижележащих строк будет \(k_{\min}=1\). Так как \(k\gt{k_{\min}}\), то нужно поменять местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(k_{\min}\). Иными словами, надо поменять местами первую строку с второй, третьей или пятой. В принципе, выбрать для обмена можно любую строку, но так как в четвёртой строке ведущий элемент равен 1, то поменяем местами первую и четвёртую строки:
\[
\left(\begin{array} {ccccc|c}
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
-1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
-2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25.
\end{array} \right)
\overset{r_1\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow}
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
-1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
-2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25.
\end{array} \right)
\]
Теперь у первой строки номер ведущего элемента равен \(k=1\), а наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк равен \(k_{\min}=1\). Так как \(k\le{k_{\min}}\), то в качестве разрешающего элемента принимаем ведущий элемент первой строки. Разрешающий элемент уже равен 1, поэтому нужно просто обнулить все ненулевые элементы первого столбца, расположенные под первой строкой:
\[
\left(\begin{array} {ccccc|c}
\boldred{1} & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
-1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
-2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25.
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2+r_1\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\r_5+2r_1\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21.
\end{array} \right)
\]
Второй шаг
На втором шаге алгоритма мы станем использовать вторую строку. Ведущий элемент второй строки (число -4) имеет номер \(k=4\). Ведущие элементы строк, расположенных под первой строкой (числа -2, 1 и 5) имеют номера 3, 4 и 4. Наименьшим среди перечисленных номеров ведущих элементов нижележащих строк будет \(k_{\min}=3\). Так как \(k\gt{k_{\min}}\), то нужно поменять местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(k_{\min}\). Иными словами, надо поменять местами вторую и третью строки:
\[
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21.
\end{array} \right)
\overset{r_2\leftrightarrow{r_3}}{\rightarrow}
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21.
\end{array} \right)
\]
Теперь \(k=3\), \(k_{\min}=4\). Так как \(k\le{k_{\min}}\), то в качестве разрешающего элемента принимаем ведущий элемент второй строки. Домножая на \(-\frac{1}{2}\) вторую строку, добьёмся того, чтобы разрешающий элемент стал равен 1. Кроме того, все элементы третьей строки нацело делятся на 2, поэтому домножим третью строку на \(\frac{1}{2}\).
\[
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & \boldred{-2} & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21.
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\-1/2\cdot{r_2}\\1/2\cdot{r_3}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & \boldred{1} & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21.
\end{array} \right)
\]
Теперь пора обнулять все ненулевые элементы третьего столбца, расположенные ниже и выше второй строки, однако эти элементы и так равны нулю. Следовательно, просто переходим к следующему шагу.
Третий шаг
На третьем шаге используем третью строку. Номер ведущего элемента третьей строки \(k=4\), наиименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк \(k_{\min}=4\). Так как \(k\le{k_{\min}}\), разрешающим элементом будет ведущий элемент третьей строки (число -2). Нужно домножить третью строку на \(-\frac{1}{2}\), а затем с помощью третьей строки обнулить все ненулевые элементы четвёртого столбца, расположенные выше и ниже третьей строки.
В принципе, нам ничто не мешает выполнить эти преобразования. Однако работать с дробями не очень хочется. Чтобы избежать работы с дробями можно поменять местами текущую третью строку с одной из нижележащих строк – с четвёртой строкой. Если мы это сделаем, то разрешающим элементом станет единица, что означает отсутствие необходимости работать с дробями. После смены строк выполним обнуление требуемых элементов:
\[
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21
\end{array} \right)
\overset{r_3\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow}\\
\rightarrow\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & \boldred{1} & -4 & -5\\
0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21
\end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-3r_3\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\r_4+2r_3\\r_5-5r_3\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\
0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4
\end{array} \right)
\]
Обратите внимание на то, что для четвёртой и пятой строк выполнено равенство \(r_5=\frac{2}{3}r_4\). Это означает, что одну из данных строк можно вычеркнуть из матрицы. Если это соотношение между пятой и четвёртой строками осталось нами незамеченным, то можно заметить, что все элементы четвёртой строки делятся нацело на 3, а все элементы пятой строки делятся нацело на 2. После выполнения соответствующих преобразований четвёртая и пятая строки станут одинаковыми, поэтому одну из них можно будет вычеркнуть. Вот так:
\[
\rightarrow\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\
0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\1/3\cdot{r_4}\\1/2\cdot{r_5}\end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2
\end{array} \right)\rightarrow
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2
\end{array} \right)
\]
Однако допустим, что мы не заметили ни выполнения равенства \(r_5=\frac{2}{3}r_4\), ни то, что элементы четвёртой и пятой строк нацело делятся на 2 и 3 соответственно. Тогда просто перейдём к следующему шагу алгоритма, и пятая строка станет нулевой. В следующих задачах я буду вычёркивать лишние строки по мере их появления, но сейчас, сугубо для демонстрационных целей, перейдём к четвёртому шагу без предварительного вычёркивания строк.
Четвёртый шаг
На четвёртом шаге используем четвёртую строку. Аналогично предыдущим шагам, получим:
\[
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\
0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\1/3\cdot{r_4}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4
\end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1+5r_4\\r_2+1/2\cdot{r_4}\\r_3+4r_4\\\phantom{0}\\r_5-2r_4\end{array} \rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0
\end{array} \right)\rightarrow
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2
\end{array} \right)
\]
Решение окончено. Посмотрим на столбцы, в которых есть ведущий элемент некоей строки. Это первый, третий, четвёртый и пятый столбцы. Следовательно, переменные \(x_1\), \(x_3\), \(x_4\) и \(x_5\) будут базисными, а переменная \(x_2\) – свободной. Ответ будет таким:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1=2+2x_2;\\
& x_2\in{R};\\
& x_3=-\frac{3}{2};\\
&x_4=3;\\
&x_5=2.
\end{aligned}\right.
\]
Запишем полное решение без пояснений. В этой записи я вычеркну повторяющиеся строки сразу, как только они появятся, т.е. не дожидаясь обнуления пятой строки. Как вы уже поняли, метод Гаусса-Жордана допускает определённые вариации процесса решения. Мы можем вычеркнуть повторяющиеся или пропорциональные строки сразу (оставив при этом одну из них), а можем не делать этого и удалить впоследствии нулевые строки. Мы можем работать с дробями, а можем произвести вспомогательные действия, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1. Мы можем выбирать разрешающие элементы произвольно, а можем спускаться по строкам. Остаётся неизменной лишь общая идея метода: обнуление всех элементов столбца, кроме одного.
\[
\left(\begin{array} {ccccc|c}
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
-1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
-2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25.
\end{array} \right)
\overset{r_1\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow}
\left(\begin{array} {ccccc|c}
\boldred{1} & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
-1 & 2 & 0 & -7 & 39 & 55\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
-2 & 4 & 0& -1 & 16 & 25.
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2+r_1\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\r_5+2r_1\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21.
\end{array} \right)
\overset{r_2\leftrightarrow{r_3}}{\rightarrow}
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & \boldred{-2} & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -4 & 22 & 32\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21.
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\-1/2\cdot{r_2}\\1/2\cdot{r_3}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21
\end{array} \right)
\overset{r_3\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow}
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 3 & -17 & -23\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & \boldred{1} & -4 & -5\\
0 & 0 & 0 & -2 & 11 & 16\\
0 & 0 & 0& 5 & -18 & -21
\end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-3r_3\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\r_4+2r_3\\r_5-5r_3\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\
0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\1/3\cdot{r_4}\\1/2\cdot{r_5}\end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\
0 & 0 & 0& 0 & \boldred{1} & 2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1+5r_4\\r_2+1/2\cdot{r_4}\\r_3+4r_4\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow
\left(\begin{array} {ccccc|c}
1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3/2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2
\end{array} \right)
\]
Ответ:
\(x_1=-3\), \(x_2=-5\), \(x_3=-1\), \(x_4=2\).
Условие
Решить СЛАУ
\( \left\{ \begin{aligned}
& x_1-x_2+2x_3=-1;\\
& -x_1+2x_2-3x_3=3;\\
& 2x_1-3x_2+5x_3=-4\\
& 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\
& 2x_1-x_2+3x_3=2. \end{aligned} \right.\) методом Гаусса-Жордана.
Решение
Данную задачу я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее. Решать станем с помощью последовательного перебора строк.
\[
\left( \begin{array} {ccc|c} \boldred{1} & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end{array}\rightarrow
\left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right)\rightarrow\\
\rightarrow
\left[\begin{aligned}
&\text{Строки №4 и №5 одинаковы,}\\
&\text{вычёркиваем строку №5.}\end{aligned}\right]\rightarrow
\left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & \boldred{1} & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1+r_2\\\phantom{0}\\r_3+r_2\\ r_4-r_2\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array} {ccc|c}
1 & 0 & 1 & -1\\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right)
\]
Напомню, что появление строки вида \(\left(\begin{array} {cccc|c}0 & 0 &\ldots & 0 & x\end{array} \right)\), где \(x\neq{0}\), на любом этапе метода Гаусса-Жордана означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. \(\left(\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)\), относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: \(0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2\), откуда имеем \(0=2\). Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.
Впрочем, к этому же выводу можно прийти, записав ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы. Вычеркнем нулевую строку:
\[
\left(\begin{array} {ccc|c}
1 & 0 & 1 & -1\\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right)
\]
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. \(\rang\widetilde{A}\neq\rang{A}\), поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна.
Ответ:
Система несовместна.
Условие
Исследовать на совместность СЛАУ
\[\left\{ \begin{aligned}
& x_1-5x_2-x_3-2x_4=0;\\
& 4x_2+3x_3=0;\\
& -3x_1+15x_2+22x_3-14x_4=0;\\
& 2x_1-10x_2-21x_3+16x_4=0.
\end{aligned} \right.\]
Найти её решение методом Гаусса-Жордана.
Решение
Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. \(x_1=x_2=x_3=x_4=0\). Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса-Жордана.
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
\boldred{1} & -5 & -1 & -2 & 0\\
0 & 4 & 3 & 0 & 0\\
-3 & 15 & 22 & -14 & 0\\
2 & -10 & -21 & 16 & 0\end{array} \right)
\begin{array}{l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\r_3+3r_1\\r_4-2r_1\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & -5 & -1 & -2 & 0\\
0 & 4 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 19 & -20 & 0\\
0 & 0 & -19 & 20 & 0\end{array} \right)
\]
Обратите внимание на то, что \(r_4=-r_3\), т.е. можно удалить одну из строк \(r_3\) или \(r_4\). Впрочем, если бы мы не заметили, что \(r_4=-r_3\), то впоследствии четвёртая строка стала бы нулевой, и была бы удалена из матрицы. Убирая из матрицы строку \(r_4\) и продолжая преобразования, получим:
\[
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & -5 & -1 & -2 & 0\\
0 & \boldred{4} & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 19 & -20 & 0
\end{array} \right)
\begin{array}{l} \phantom{0} \\ 1/4\cdot{r_2}\\ \phantom{0}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & -5 & -1 & -2 & 0\\
0 & \boldred{1} & 3/4 & 0 & 0\\
0 & 0 & 19 & -20 & 0
\end{array} \right)
\begin{array}{l} r_1+5r_2 \\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array}\rightarrow\\
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 11/4 & -2 & 0\\
0 & 1 & 3/4 & 0 & 0\\
0 & 0 & \boldred{19} & -20 & 0
\end{array} \right)
\begin{array}{l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ 1/19\cdot{r_3}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 11/4 & -2 & 0\\
0 & 1 & 3/4 & 0 & 0\\
0 & 0 & \boldred{1} & -20/19 & 0
\end{array} \right)
\begin{array}{l} r_1-11/4\cdot{r_3} \\ r_2-3/4\cdot{r_3} \\ \phantom{0}\end{array}\rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 17/19 & 0\\
0 & 1 & 0 & 15/19 & 0\\
0 & 0 & 1 & -20/19 & 0
\end{array} \right)
\]
Перед тем, как записать ответ, сделаем вывод относительно совместности данной системы. Так как ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. \(\rang\widetilde{A}=\rang{A}=3\lt{4}\), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (имеет бесконечное количество решений). Ответ будет таким:
\[
\left\{ \begin{aligned}
& x_1=-\frac{17}{19}x_4;\\
& x_2=-\frac{15}{19}x_4;\\
& x_3=\frac{20}{19}x_4;\\
& x_4\in R.
\end{aligned} \right.
\]
Ответ:
\(\left\{ \begin{aligned}
& x_1=-\frac{17}{19}x_4;\\
& x_2=-\frac{15}{19}x_4;\\
& x_3=\frac{20}{19}x_4;\\
& x_4\in R.
\end{aligned} \right.\)