Метод Гаусса – Жордана. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса – Жордана.

Решение

Расширенная матрица системы будет такой:

На каждом шаге метода Гаусса – Жордана нам придётся выбирать некие ненулевые элементы матрицы системы (разрешающие элементы). Выбирать можно по-разному, и в зависимости от выбора разрешающих элементов будет отличаться процесс решения. В этой задаче мы станем выбирать разрешающий элемент произвольно.

Первый шаг

Обратимся к первому столбцу матрицы системы. Надо выбрать в первом столбце какой-либо ненулевой элемент, который и будет разрешающим элементом.

У нас в первом столбце три ненулевых элемента: 4, 2, -3. Мы можем выбрать любой из них. Удобно, когда разрешающий элемент равен 1 или -1 (почему это так, будет ясно из дальнейшего), однако такого элемента в первом столбце нет. Возьмём в качестве разрешающего элемента число 2.

Для начала сделаем так, чтобы разрешающий элемент (он выделен красным цветом) стал равен единице. Для этого разделим все элементы второй строки на 2. Это преобразование обозначается так: \(\displaystyle{1/2\cdot{r_2}}\) и записывается следующим образом:

Наша цель: обнулить все ненулевые элементы первого столбца, кроме разрешающего элемента. Т.е. обнулению подлежат числа 4 и -3, которые выделены синим цветом. Для этого нужно выполнить такие операции со строками:

Запись \(\displaystyle{r_1-4r_2}\) означает, что из элементов первой строки вычитаются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 4. А запись \(\displaystyle{r_3+3r_2}\) говорит о том, что к элементам третьей строки прибавляются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 3. Если выполнение подобных операций в уме затруднительно, выпишите изменяемые строки отдельно. Например, так:

Заметьте, что вторую строку эти преобразования не затрагивают, поэтому в новую матрицу вторая строка перейдёт без изменений.

На этом первый шаг закончен. Все "синие элементы" первого столбца обнулены. Полагаю, теперь ясно, почему в качестве разрешающего элемента удобно брать 1 или -1: этот выбор банально позволит уменьшить работу с дробями или же вообще избежать такой работы.

Второй шаг

Обратимся к следующему столбцу. Посмотрим, можно ли выбрать разрешающий элемент во втором столбце. В этом столбце есть три ненулевых элемента: 1, -2 и 5. Элемент -2 мы не можем выбрать в качестве разрешающего, так как он принадлежит строке, из которой был взят разрешающий элемент на предыдущем шаге. Следовательно, на роль разрешающего элемента есть два кандидата: 1 и 5.

Разумеется, самым удачным выбором будет 1. На первом шаге мы делили вторую строку на 2, но здесь эта операция не нужна, так как разрешающий элемент уже равен 1. С помощью разрешающего элемента (он выделен красным) мы обнулим два остальных ненулевых элемента второго столбца, выделенных синим цветом:

Второй шаг окончен. Все "синие элементы" обнулены. Переходим к третьему шагу.

Третий шаг

Теперь перейдём к следующему, т.е. третьему столбцу. В этом столбце есть три ненулевых элемента, т.е. -2, -3/2 и 37/2. Элементы -2 и -3/2 не могут быть разрешающими, так как из строк, в которых лежат данные элементы, мы брали разрешающие элементы на предыдущих шагах. В качестве разрешающего элемента можно взять лишь 37/2. Операции, которые мы станем выполнять, полностью аналогичны производимым ранее: сделать разрешающий элемент единицей, а потом обнулить остальные ненулевые элементы текущего столбца:

Выбрать разрешающий элемент в следующем столбце матрицы системы невозможно, так как матрица системы содержит всего три столбца. Решение окончено, ответ получен.

Единица в первом столбце соответствует первой переменной \(\displaystyle{x_1}\), т.е. \(\displaystyle{x_1=-2}\). Единица во втором столбце соответствует переменной \(\displaystyle{x_2}\), т.е. \(\displaystyle{x_2=1}\). Наконец, единица в третьем столбце соответствует третьей переменной, т.е. \(\displaystyle{x_3=-1}\). Если хотите более подробных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Полное решение без пояснений выглядит так:

Решение

Расширенная матрица системы будет такой:

В этой задаче мы, как и в предыдущей задаче №1, станем выбирать разрешающий элемент произвольно.

Первый шаг

Обратимся к первому столбцу матрицы системы. Надо выбрать в первом столбце какой-либо ненулевой элемент, который и будет разрешающим элементом.

У нас в первом столбце три ненулевых элемента: -6, 1, -4. Мы можем выбрать любой из них. Возьмём в качестве разрешающего элемента число 1 из третьей строки. Так как разрешающий элемент уже равен 1, то домножать третью строку на некий множитель нет необходимости, поэтому переходим к обнулению всех остальных ненулевых элементов первого столбца.

Стоит обратить внимание на то, что все элементы второй строки нацело делятся на 3, поэтому перед обнулением элементов умножим вторую строку на \(\displaystyle{\frac{1}{3}}\). Это не обязательное действие, просто немного упростит расчёты.

Второй шаг

Обратимся к следующему столбцу. Посмотрим, можно ли выбрать разрешающий элемент во втором столбце. В этом столбце есть лишь один ненулевой элемент: число -2. Однако элемент -2 мы не можем выбрать в качестве разрешающего, так как он принадлежит третьей строке, из которой был взят разрешающий элемент на предыдущем шаге.

Переходим к следующему столбцу. В третьем столбце есть три ненулевых элемента: 12, -3 и -3. Выберем в качестве разрешающего элемента число -3, расположенное во второй строке.

Обратите внимание, что \(\displaystyle{r_4=-r_1}\), поэтому мы уже сейчас можем убрать одну из строк \(\displaystyle{r_1}\) или \(\displaystyle{r_4}\), однако для наглядности уберём лишнюю строку на следующем шаге, когда четвёртая строка станет нулевой.

Третий шаг

Вновь переходим к следующему, т.е. уже четвёртому, столбцу. В этом столбце есть четыре ненулевых элемента: 2, -5/3, -5, -2. Элементы -5/3 и -5 мы не можем взять в качестве разрешающих, потому что они принадлежат строкам, из которых разрешающие элементы брались на предыдущих шагах. Выберем 2 в качестве разрешающего элемента:

В последней матрице мы убрали нулевую строку. Решение окончено, так как в следующем столбце разрешающий элемент выбрать уже невозможно – все строки использованы.

Обратите внимание на столбцы, над которыми мы выполняли преобразования. Это столбец №1, столбец №3 и столбец №4. Эти столбцы для наглядности я выделил синим цветом:

Выделенные столбцы соответствуют переменным \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_3}\) и \(\displaystyle{x_4}\). Эти переменные будут базисными, а переменные \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_5}\) – свободными. В принципе, из полученной матрицы можно сразу записать ответ. Например, первая строка данной матрицы соответствует уравнению \(\displaystyle{x_4-\frac{3}{2}x_5=-\frac{5}{2}}\), откуда имеем \(\displaystyle{x_4=-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x_5}\). Ответ будет таким:

Полное решение без пояснений таково:

Решение

Эту задачу для разнообразия станем решать, выбирая лишь диагональные элементы в качестве разрешающих. Для начала запишем расширенную матрицу данной системы:

Первый шаг

На первом шаге алгоритма используем первый столбец, выбирая в нём элемент -3 в качестве разрешающего. Умножим первую строку на \(\displaystyle{\frac{1}{3}}\), чтобы разрешающий элемент стал равен 1, а затем обнулим остальные ненулевые элементы первого столбца:

Второй шаг

На втором шаге алгоритма используем второй столбец. Так как мы условились брать в качестве разрешающих элементов лишь диагональные, а даигональный элемент во втором столбце равен 0, то поменяем местами вторую строку с третьей или четвёртой.

Так как в четвёртой строке ведущий элемент равен -1, что удобно в расчётах, то пусть в обмене поучаствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:

Умножим вторую строку на -1, чтобы разрешающий элемент стал равен 1, а затем обнулим ненулевые элементы второго столбца.

Третий шаг

На третьем шаге обрабатываем третий столбец, принимая 7 в качестве разрешающего элемента.

Четвёртый шаг

На этом шаге мы используем четвёртый столбец, который является последним. Разрешающий элемент равен \(\displaystyle{-\frac{7}{39}}\).

Решение окончено, матрица до черты стала единичной. Ответ таков: \(\displaystyle{x_1=-3}\), \(\displaystyle{x_2=-5}\), \(\displaystyle{x_3=-1}\), \(\displaystyle{x_4=2}\). Полное решение без пояснений:

Решение

В этом примере мы станем выбирать разрешающие элементы последовательно: сперва из первой строки, затем из второй, потом из третьей и так далее. Для начала запишем расширенную матрицу данной системы:

Первый шаг

На первом шаге алгоритма используем первый столбец. Мы хотим выбрать разрешающий элемент из первой строки, однако этот элемент равен нулю. Смена мест первой и четвёртой строк сделает нужный нам элемент единицей:

Теперь разрешающий элемент стал равен 1, поэтому нужно просто обнулить все ненулевые элементы первого столбца, кроме разрешающего:

Второй шаг

Второй столбец не имеет элементов, которые можно выбрать в качестве разрешающих. Во втором столбце лишь один элемент (число -2) является ненулевым, однако этот элемент принадлежит первой строке, из которой брался разрешающий элемент на первом шаге. Поэтому переходим к третьему столбцу. Мы хотим выбрать в качестве разрешающего элемент из второй строки, однако сейчас этот элемент равен 0. Поменяем местами вторую и третью строки:

Домножая на \(\displaystyle{-\frac{1}{2}}\) вторую строку, добьёмся того, чтобы разрешающий элемент стал равен 1. Кроме того, все элементы третьей строки нацело делятся на 2, поэтому домножим третью строку на \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\).

Теперь пора обнулять все ненулевые элементы текущего третьего столбца, кроме разрешающего элемента, однако эти элементы и так равны нулю. Следовательно, просто переходим к следующему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге используем следующий, четвёртый, столбец. Разрешающий элемент надо выбрать из третьей строки, однако тогда разрешающим элементом будет число -2. В принципе, это не проблема: придётся лишь домножить третью строку на \(\displaystyle{-\frac{1}{2}}\), чтобы разрешающий элемент стал равен 1.

Однако работать с дробями не очень хочется. Чтобы избежать работы с дробями можно поменять местами третью строку с одной из нижележащих строк – с четвёртой строкой. Если мы это сделаем, то разрешающим элементом станет единица, что означает отсутствие необходимости работать с дробями. После смены строк выполним обнуление требуемых элементов:

Обратите внимание на то, что для четвёртой и пятой строк выполнено равенство \(\displaystyle{r_5=\frac{2}{3}r_4}\). Это означает, что одну из данных строк можно убрать из матрицы. Если это соотношение между пятой и четвёртой строками осталось нами незамеченным, то можно заметить, что все элементы четвёртой строки делятся нацело на 3, а все элементы пятой строки делятся нацело на 2. После выполнения соответствующих преобразований четвёртая и пятая строки станут одинаковыми, поэтому одну из них можно будет удалить. Вот так:

Однако предположим, что мы не заметили ни выполнения равенства \(\displaystyle{r_5=\frac{2}{3}r_4}\), ни то, что элементы четвёртой и пятой строк нацело делятся на 2 и 3 соответственно. Тогда просто перейдём к следующему шагу алгоритма, и пятая строка станет нулевой. Вообще, лучше вычёркивать лишние строки по мере их появления, но сейчас, сугубо для демонстрационных целей, перейдём к четвёртому шагу без предварительного удаления строк.

Четвёртый шаг

На четвёртом шаге используем пятый столбец. Аналогично предыдущим шагам, получим:

Решение окончено. Посмотрим на столбцы, которые мы обрабатывали. Это первый, третий, четвёртый и пятый столбцы. Следовательно, переменные \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_3}\), \(\displaystyle{x_4}\) и \(\displaystyle{x_5}\) будут базисными, а переменная \(\displaystyle{x_2}\) – свободной. Ответ будет таким:

Запишем полное решение без пояснений. В этой записи я вычеркну повторяющиеся строки сразу, как только они появятся, т.е. не дожидаясь обнуления пятой строки. Как вы заметили, метод Гаусса – Жордана допускает определённые вариации процесса решения. Мы можем вычеркнуть повторяющиеся или пропорциональные строки сразу (оставив при этом одну из них), а можем не делать этого и удалить впоследствии нулевые строки. Мы можем работать с дробями, а можем произвести вспомогательные действия, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1. Мы можем выбирать разрешающие элементы произвольно, а можем спускаться по строкам или выбирать диагональные элементы. Остаётся неизменной лишь общая идея метода: обнуление всех элементов столбца, кроме одного.

Решение

Данную задачу я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее.

Напомню, что появление строки вида \(\displaystyle{\left(\begin{array} {cccc|c}0 & 0 &\ldots & 0 & x\end{array} \right)}\), где \(\displaystyle{x\neq{0}}\), на любом этапе метода Гаусса – Жордана означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)}\), относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: \(\displaystyle{0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2}\), откуда имеем \(\displaystyle{0=2}\). Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.

Впрочем, к этому же выводу можно прийти, сравнив ранги матрицы системы \(\displaystyle{A}\) и расширенной матрицы системы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\). Вычеркнем нулевую строку:

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}\neq\rang{A}}\), поэтому согласно теореме Кронекера – Капелли система несовместна.

Решение

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. \(\displaystyle{x_1=x_2=x_3=x_4=0}\). Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и получим ответ.

Обратите внимание на то, что \(\displaystyle{r_4=-r_3}\), т.е. можно удалить одну из строк \(\displaystyle{r_3}\) или \(\displaystyle{r_4}\). Впрочем, если бы мы не заметили, что \(\displaystyle{r_4=-r_3}\), то впоследствии четвёртая строка стала бы нулевой, и была бы удалена из матрицы. Убирая из матрицы строку \(\displaystyle{r_4}\) и продолжая преобразования, получим:

Сделаем вывод относительно совместности данной системы. Так как ранги расширенной матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) и матрицы системы \(\displaystyle{A}\) равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=\rang{A}=3\lt{4}}\), то согласно следствию из теоремы Кронекера – Капелли, данная система является неопределённой (имеет бесконечное количество решений). Решение системы будет таким: