Неопределенный интеграл. Начало.
В этой теме рассмотрим понятие неопределённого интеграла, а также разные подходы, которые применяются при введении данного понятия.
Задача №1
Условие
Найти все функции, производная от которых равна \(\displaystyle{\cos{x}}\).
Решение
Нам требуется найти все такие функции \(\displaystyle{F(x)}\), для которых верно равенство \(\displaystyle{F'(x)=\cos{x}}\). Функция, производная от которой равна \(\displaystyle{\cos{x}}\), именуется первообразной функцией для \(\displaystyle{\cos{x}}\). Предлог "для" зачастую опускают, говоря "первообразная функции" вместо "первообразная для функции". Вопрос, заданный в условии, означает, что нам нужно найти все первообразные функции для \(\displaystyle{\cos{x}}\).
На первый взгляд задача достаточно тривиальна. Откроем таблицу производных и воспользуемся формулой №9 из этой таблицы, согласно которой имеем \(\displaystyle{(\sin{x})'=\cos{x}}\).
Итак, одну первообразную мы уже нашли: это \(\displaystyle{\sin{x}}\). Возникает вопрос: производная только ли от \(\displaystyle{\sin{x}}\) равна \(\displaystyle{\cos{x}}\)? Иными словами, является ли функция \(\displaystyle{\sin{x}}\) единственной первообразной функцией для \(\displaystyle{\cos{x}}\)? Для ответа на этот вопрос найдем производную от \(\displaystyle{\sin{x}+4}\):
\[
(\sin{x}+4)'
=(\sin{x})'+(4)'
=\cos{x}+0
=\cos{x}
\]
Следовательно, есть ещё одна функция, производная которой равна \(\displaystyle{\cos{x}}\). Функция \(\displaystyle{\sin{x}+4}\) также является первообразной для \(\displaystyle{\cos{x}}\). Сколько же всего этих первообразных?
Здесь уместно вспомнить, что производная константы равна нулю: \(\displaystyle{C'=0}\). А это означает, что вместо \(\displaystyle{4}\) в выражение \(\displaystyle{\sin{x}+4}\) можно подставить любую константу. Например,
\[
\begin{aligned}
& (\sin{x}+5)'=(\sin{x})'+(5)'=\cos{x}+0=\cos{x};\\
& (\sin{x}+\sqrt{3})'=(\sin{x})'+(\sqrt{3})'=\cos{x}+0=\cos{x}.
\end{aligned}
\]
Можем сделать более общий вывод: производная произвольной функции вида \(\displaystyle{\sin{x}+C}\), где \(\displaystyle{C}\) – некая постоянная величина, равна \(\displaystyle{\cos{x}}\), т.е.
\[(\sin x+C)'=(\sin x)'+C'=\cos x+0=\cos x.\]
Указанное выше равенство справедливо при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\). Говоря иными словами, мы обосновали, что все функции вида \(\displaystyle{\sin{x}+C}\) являются первообразными функции \(\displaystyle{\cos{x}}\) при любом \(\displaystyle{x\in(-\infty;+\infty)}\).
Однако тут возникает вопрос. Означает ли это, что все первообразные функции \(\displaystyle{\cos{x}}\) имеют вид \(\displaystyle{\sin{x}+C}\)? Нет ли у функции \(\displaystyle{\cos{x}}\) каких-либо ещё первообразных, которые не подпадают под структуру \(\displaystyle{\sin{x}+C}\)?
Ответ на этот вопрос даёт теорема, согласно которой две произвольные первообразные отличаются на константу, т.е. если известна одна первообразная \(\displaystyle{F(x)}\), то этого достаточно, чтобы знать их все: любая первообразная имеет структуру \(\displaystyle{F(x)+C}\). Доказательство крайне несложно, рекомендую ознакомиться с ним, например, в книге "Курс дифференциального и интегрального исчисления" Фихтенгольца (том №2, пункт №263).
Перефразируя для нашей задачи: так как функция \(\displaystyle{\sin{x}}\) является первообразной функцией для \(\displaystyle{\cos{x}}\), то любая первообразная функция для \(\displaystyle{\cos{x}}\) имеет вид \(\displaystyle{\sin{x}+C}\).
Итак, ответ на вопрос задачи таков: все функции, производная от которых равна \(\displaystyle{\cos{x}}\), имеют структуру \(\displaystyle{\sin{x}+C}\), где \(\displaystyle{C}\) – произвольная константа.
Дадим теперь строгое определение первообразной функции.
Пусть функция \(\displaystyle{f(x)}\) определена на некотором конечном или бесконечном промежутке \(\displaystyle{E}\) (отрезке, интервале или полуинтервале). Если для каждого \(\displaystyle{x\in{E}}\) имеем \(\displaystyle{F'(x)=f(x)}\), то функцию \(\displaystyle{F(x)}\) называют первообразной функции \(\displaystyle{f(x)}\) на промежутке \(\displaystyle{E}\). Вместо словосочетания "первообразная функции" говорят также "первообразная для функции".
Из того, что на промежутке \(\displaystyle{E}\) существует производная функции \(\displaystyle{F(x)}\), следует, что функция \(\displaystyle{F(x)}\) непрерывна на \(\displaystyle{E}\) (см. теорему о связи непрерывности и дифференцируемости). Однако непрерывность функции самой \(\displaystyle{f(x)}\) вовсе не обязательна.
Стоит отметить, что для всякой непрерывной на \(\displaystyle{E}\) функции \(\displaystyle{f(x)}\) существует первообразная на этом промежутке, но обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. существование первообразной на промежутке \(\displaystyle{E}\) вовсе не означает непрерывности функции \(\displaystyle{f(x)}\) на этом промежутке. Пример функции \(\displaystyle{f(x)}\), определённой на \(\displaystyle{R}\), разрывной в точке \(\displaystyle{x=0}\), однако имеющей на \(\displaystyle{R}\) первообразную, я скрыл под примечание.
Пример разрывной функции, имеющей первообразную.
Рассмотрим две функции:
\[
\begin{aligned}
& f(x)=\left\{\begin{aligned}
& 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x},\;x\neq{0}\\
& 0,\;x=0.
\end{aligned}\right.\\
& F(x)=\left\{\begin{aligned}
& x^2\sin\frac{1}{x},\;x\neq{0}\\
& 0,\;x=0.
\end{aligned}\right.
\end{aligned}
\]
При любом значении \(\displaystyle{x\neq{0}}\) имеем:
\[
F'(x)
=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}
\]
В точке \(\displaystyle{x=0}\) получим такое значение производной \(\displaystyle{F'(0)}\):
\[
F'(0)
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{F(0+\Delta{x})-F(0)}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\left(\Delta{x}\cdot\sin\frac{1}{\Delta{x}}\right)
=0.
\]
Следовательно, при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\) имеем \(\displaystyle{F'(x)=f(x)}\). Функция \(\displaystyle{f(x)}\) определена при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\). Однако в точке \(\displaystyle{x=0}\) функция \(\displaystyle{f(x)}\) терпит разрыв второго рода. Чтобы показать это, рассмотрим две последовательности значений аргумента: \(\displaystyle{a_n=\frac{1}{2\pi{n}}}\) и \(\displaystyle{b_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi{n}}}\). При \(\displaystyle{n\to+\infty}\) имеем \(\displaystyle{a_n\to{0+0}}\), \(\displaystyle{b_n\to{0+0}}\).
\[
\begin{aligned}
& \lim_{n\to+\infty}f\left(a_n\right)
=\lim_{n\to+\infty}\left(2a_n\sin\frac{1}{a_n}-\cos{2\pi{n}}\right)=-1.\\
& \lim_{n\to+\infty}f\left(b_n\right)
=\lim_{n\to+\infty}\left(2b_n\sin\frac{1}{b_n}-\cos\left(\frac{\pi}{2}+2\pi{n}\right)\right)=0.
\end{aligned}
\]
Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}f\left(a_n\right)\neq\lim_{n\to+\infty}f\left(b_n\right)}\), то предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0+0}}f(x)}\) не существует, поэтому \(\displaystyle{f(x)}\) тепит в точке \(\displaystyle{x=0}\) разрыв второго рода. Таким образом, функция \(\displaystyle{f(x)}\) определена, но не непрерывна на \(\displaystyle{R}\), однако же имеет на \(\displaystyle{R}\) первообразную \(\displaystyle{F(x)}\).
Совокупность всех первообразных функции \(\displaystyle{f(x)}\) на промежутке \(\displaystyle{E}\) называется неопределённым интегралом от функции \(\displaystyle{f(x)}\) на промежутке \(\displaystyle{E}\) и обозначается \(\displaystyle{\int{f(x)dx}}\).
Символ \(\displaystyle{\int}\) называется знаком интеграла, функция \(\displaystyle{f(x)}\) – подынтегральной функцией, а запись \(\displaystyle{f(x)dx}\) подынтегральным выражением. Обратите внимание, что под интегралом пишут не производную первообразной функции, т.е. \(\displaystyle{f(x)}\), а её дифференциал, т.е. \(\displaystyle{f(x)dx}\). Такой вид записи сложился исторически.
Записанное выше определение – не единственное. Иные авторы приводят такую трактовку неопределённого интеграла:
Выражение \(\displaystyle{\int{f(x)}dx}\), именуемое неопределённым интегралом от функции \(\displaystyle{f(x)}\) на некоем промежутке \(\displaystyle{E}\), есть обозначение для любой первообразной функции \(\displaystyle{f(x)}\) на \(\displaystyle{E}\).
Из второго определения следует, что если \(\displaystyle{F(x)}\) – некая фиксированная первообразная функции \(\displaystyle{f(x)}\) на \(\displaystyle{E}\), то
\[
\int{f(x)}dx
=F(x)+C
\]
Мне более по душе первое определение, согласно которому интеграл является множеством первообразных. Всё множество первообразных функции \(\displaystyle{f(x)}\) можно записать как \(\displaystyle{\left\{\left.F(x)+C\right|C\in{R}\right\}}\). Или, сокращённо, \(\displaystyle{\left\{F(x)+C\right\}}\). Итак, согласно первому определению, получим:
\[
\int{f(x)dx}
=\left\{F(x)+C\right\}
\]
Обычно запись в виде множества опускают и пишут просто:
\[\int{f(x)dx}=F(x)+C\]
Как видите, оба определения приводят к идентичному выражению для неопределённого интеграла через первообразную, однако смысл этого выражения различен. В дальнейшем я буду опираться именно на первое определение.
Возвращаясь к результатам задачи №1, можем констатировать, что так как \(\displaystyle{\sin{x}}\) есть первообразная функции \(\displaystyle{\cos{x}}\), то согласно определению имеем \(\displaystyle{\int\cos{x}dx=\sin{x}+C}\). Здесь могут возникнуть пару вопросов, которые я сформулирую ниже.
Вопрос №1
Почему в качестве первообразной мы использовали именно функцию \(\displaystyle{F(x)=\sin{x}}\)? Да, мы убедились, что \(\displaystyle{F'(x)=\cos{x}}\), но ведь есть ещё и другие функции, производная от которых равна \(\displaystyle{\cos{x}}\). Например, рассмотрим \(\displaystyle{K(x)=\sin{x}+4}\). Для этой функции имеем: \(\displaystyle{K'(x)=\cos{x}}\), то есть функция \(\displaystyle{K(x)}\) тоже является первообразной функции \(\displaystyle{\cos{x}}\). Почему бы не использовать при записи результата именно \(\displaystyle{K(x)}\)? И результат тогда будет иным: \(\displaystyle{\int\cos{x}dx=\sin{x}+4+C}\).
Ответ на вопрос №1
Да, это можно сделать. И ответ, записанный с помощью \(\displaystyle{K(x)}\), будет совершенно правильным. В записи \(\displaystyle{\int{f(x)}dx=F(x)+C}\) функция \(\displaystyle{F(x)}\) является любой конкретной первообразной для функции \(\displaystyle{f(x)}\), а для функции \(\displaystyle{\cos{x}}\) первообразными являются обе упомянутые выше функции: \(\displaystyle{\sin{x}}\) и \(\displaystyle{\sin{x}+4}\). Это значит, что в равенство \(\displaystyle{\int{f(x)dx}=F(x)+C}\) мы имеем полное право подставить любую из функций: \(\displaystyle{\sin{x}}\), \(\displaystyle{\sin{x}+4}\), \(\displaystyle{\sin{x}-\sqrt{3}}\) и т.д. Просто выражение для интеграла будет более компактным, если взять первообразную \(\displaystyle{F(x)=\sin{x}}\).
Вопрос №2
Если \(\displaystyle{\int\cos{x}dx=\sin{x}+4+C}\) и \(\displaystyle{\int\cos{x}dx=\sin{x}+C}\) – верные равенства, то вычитая из первого равенства второе будем иметь:
\[
\int\cos{x}dx - \int\cos{x}dx
= \sin{x}+4+C - \left(\sin{x}+C\right);\;
0=4.
\]
Получили \(\displaystyle{0=4}\) – явное противоречие! Откуда оно возникло?
Ответ на вопрос №2
Учтите, что неопределённый интеграл – это множество функций. И равенство интегралов – это равенство множеств.
Внесём немного формализма. Пусть \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) – некие множества, элементами которых есть функции. Под суммой этих множеств будем понимать множество \(\displaystyle{A+B}\), состоящее из всевозможных сумм вида \(\displaystyle{a+b}\), где \(\displaystyle{a\in{A}}\), \(\displaystyle{b\in{B}}\). Соответственно, определим и разность \(\displaystyle{A-B}\) как множество, состоящее из всевозможных разностей вида \(\displaystyle{a-b}\).
Запишем \(\displaystyle{\int\cos{x}dx}\) в виде двух множеств:
\[
\begin{aligned}
& \int\cos{x}dx=\left\{\sin{x}+C_1\right\}\\
& \int\cos{x}dx=\left\{\sin{x}+4+C_2\right\}.
\end{aligned}
\]
Я специально обозначил интегральные константы как \(\displaystyle{C_1}\) и \(\displaystyle{C_2}\), чтобы подчеркнуть тот факт, что хоть каждая из них и пробегает множество всех действительных чисел, но меж собой они никак не связаны. Теперь запишем разность интегралов в виде разности множеств по правилу, описанному выше:
\[
\int\cos{x}dx-\int\cos{x}dx
=\left\{\sin{x}+4+C_2\right\}-\left\{\sin{x}+C_1\right\}=\\
=\left\{\sin{x}+4+C_2-\left(\sin{x}+C_1\right)\right\}
=\left\{4+C_2-C_1\right\}
\]
Так как константы \(\displaystyle{C_1}\) и \(\displaystyle{C_2}\) пробегают всё множество действительных чисел \(\displaystyle{R}\), то и выражение \(\displaystyle{4+C_2-C_1}\) будет принимать все значения из \(\displaystyle{R}\). Переобозначая \(\displaystyle{4+C_2-C_1}\) как \(\displaystyle{C}\), получим:
\[
\int\cos{x}dx-\int\cos{x}dx
=\left\{C\right\}
\]
Или, в более привычном виде, опуская фигурные скобки, будем иметь:
\[
\int\cos{x}dx-\int\cos{x}dx=C
\]
Итак, равенства с интегралами – это равенства с множествами. Это надо иметь в виду, иначе есть немалый риск получить "противоречия", аналогичные описанным в этом вопросе.
Подчеркну ещё раз, ибо это крайне важно: неопределенный интеграл – это множество. Равенство, в обеих частях которого имеются неопределённые интегралы, – это равенство между множествами. Эта трактовка находит своё отражение и в известных свойствах неопределённых интегралов. Для примера рассмотрим свойство вынесения константы за знак интеграла:
\[
\int{kf(x)}dx
=k\int{f(x)}dx
\]
Запись \(\displaystyle{k\int{f(x)}dx}\) означает умножение константы \(\displaystyle{k\neq{0}}\) на множество функций \(\displaystyle{\left\{F(x)+C\right\}}\), т.е. \(\displaystyle{\int{kf(x)}dx = \left\{k\left(F(x)+C\right)\right\}}\). А выражение \(\displaystyle{\int{kf(x)}dx}\) определяет множество функций, каждая из которых есть первообразная для функции \(\displaystyle{kf(x)}\). Равенство \(\displaystyle{\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)}dx}\) говорит о совпадении указанных выше множеств. Добавлю, что условие \(\displaystyle{k\neq{0}}\) тут существенно, т.е. обойтись без него нельзя.
Почему нельзя обойтись без условия \(\displaystyle{k\neq{0}}\)?
Можно апеллировать к доказательству этого свойства, однако давайте рассмотрим простой пример.
Пусть мы не станем исключать случай \(\displaystyle{k=0}\). Запишем один интеграл (в виде множества):
\[
\int{0}dx = \{C\}
\]
Данное равенство следует из того, что производная любой константы равна нулю, т.е. \(\displaystyle{\int{0}dx}\) – это, фактически, множество всех действительных чисел. Теперь сделаем некоторые преобразования:
\[
\int{0}dx
=\int{0\cdot{1}}dx
=0\cdot\int{1}dx
\]
Интеграл \(\displaystyle{\int{1}dx}\) есть множество функций \(\displaystyle{\left\{x+C\right\}}\), а выражение \(\displaystyle{0\cdot\int{1}dx}\) означает множество \(\displaystyle{\left\{0\cdot(x+C)\right\}}\). Фактически, мы получили множество из одного элемента, т.е. \(\displaystyle{0\cdot\int{1}dx = \{0\}}\).
Если вернуться к равенству \(\displaystyle{\int{0}dx=0\cdot\int{1}dx}\), то оно трансформируется в равенство множеств \(\displaystyle{\{C\} = \{0\}}\), т.е. множество всех действительных чисел равно множеству, состоящему из одного элемента! Это противоречие показывает существенность условия \(\displaystyle{k\neq{0}}\).
Отмечу, что в определении неопределённого интеграла говорится о множестве \(\displaystyle{E}\) (отрезке, интервале, полуинтервале), на котором функция \(\displaystyle{F(x)}\) является первообразной для \(\displaystyle{f(x)}\). Если вернуться к задаче №1, то учитываем, что равенство \(\displaystyle{\left(\sin{x}\right)'=\cos{x}}\) выполнено при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\), т.е. в этом случае можно принять \(\displaystyle{E=(-\infty;+\infty)}\). К слову, в качестве \(\displaystyle{E}\) в данном примере мы можем взять любой иной отрезок, интервал или полуинтервал, например, \(\displaystyle{E=(-5;8)}\), так как равенство \(\displaystyle{\left(\sin{x}\right)'=\cos{x}}\) будет на \(\displaystyle{E}\) истинным.
Обычно из всех промежутков, на которых функция \(\displaystyle{F(x)}\) является первообразной для \(\displaystyle{f(x)}\), выбирают "самый большой" промежуток \(\displaystyle{E}\), т.е. промежуток, обладающий дополнительным свойством: любой иной промежуток \(\displaystyle{X}\) является подмножеством \(\displaystyle{E}\).
Задача №2
Условие
Найти \(\displaystyle{\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx}\).
Решение
Для начала отметим, что подынтегральная функция \(\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}\) определена при \(\displaystyle{x\gt{0}}\).
Вновь, как и в задаче №1, откроем таблицу производных. Воспользуемся формулой №4: \(\displaystyle{\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}}\). Данное равенство верно при всех \(\displaystyle{x\gt{0}}\). Таким образом, функция \(\displaystyle{F(x)=\sqrt{x}}\) является первообразной функции \(\displaystyle{f(x)}\) на промежутке \(\displaystyle{E=(0;+\infty)}\). Это значит, что
\[\int\frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}+C\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{x}+C}\).
Задача №3
Условие
Найти \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x^2}}\).
Решение
Известно, что \(\displaystyle{\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}}\), т.е. функция \(\displaystyle{F(x)=-\frac{1}{x}}\) является первообразной функции \(\displaystyle{f(x)}\).
Однако тут стоит сделать существенное замечение: равенство \(\displaystyle{F'(x)=f(x)}\) выполнено лишь тогда, когда \(\displaystyle{x\neq{0}}\).
Это значит, что качестве промежутка \(\displaystyle{E}\), о котором идёт речь в определении первообразной, мы можем брать любой отрезок, интервал или полуинтервал, не включающий в себя точку \(\displaystyle{x=0}\). Для такого множества \(\displaystyle{E}\) получим:
\[
\int\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{x}+C}\).
Задача №4
Условие
Найти \(\displaystyle{\int{|x|}dx}\).
Решение
Подынтегральная функция \(\displaystyle{f(x)=|x|}\) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Запишем функцию \(\displaystyle{f(x)}\) в таком виде:
\[
f(x)
=\left\{\begin{aligned}
& -x;\;x\lt{0}\\
& 0;\;x=0\\
& x;\;x\gt{0}
\end{aligned}\right.
\]
Так как \(\displaystyle{\left(-\frac{x^2}{2}\right)'=-x}\) и \(\displaystyle{\left(\frac{x^2}{2}\right)'=x}\), то при \(\displaystyle{x\lt{0}}\) любая первобразная функция должна иметь вид \(\displaystyle{-\frac{x^2}{2}+k_1}\), а при \(\displaystyle{x\gt{0}}\), соответственно, \(\displaystyle{\frac{x^2}{2}+k_2}\). Точку \(\displaystyle{x=0}\) рассмотрим отдельно.
Первообразная функция должна быть непрерывной, поэтому её односторонние пределы в точке \(\displaystyle{x=0}\) должны быть равны между собой и равны значению первообразной функции в данной точке.
\[
\begin{aligned}
&\lim_{x\to{0-0}}\left(-\frac{x^2}{2}+k_1\right)=k_1;\\
&\lim_{x\to{0+0}}\left(\frac{x^2}{2}+k_2\right)=k_2.
\end{aligned}
\]
Равенство односторонних пределов означает, что \(\displaystyle{k_1=k_2=k}\), т.е. если первообразная существует, то она имеет такой вид:
\[
W(x)
=\left\{\begin{aligned}
& -\frac{x^2}{2}+k;\;x\lt{0}\\
& k;\;x=0\\
& \frac{x^2}{2}+k;\;x\gt{0}
\end{aligned}\right.
\]
Покажем, что при любом значении \(\displaystyle{k}\) функция \(\displaystyle{W(x)}\) будет первообразной функции \(\displaystyle{f(x)=|x|}\) на всей числовой прямой, т.е. на промежутке \(\displaystyle{E=(-\infty;+\infty)}\). Первообразная должна быть дифференцируемой на \(\displaystyle{E}\), причём в каждой точке \(\displaystyle{x\in{E}}\) должно выполняться условие \(\displaystyle{W'(x)=f(x)}\). При \(\displaystyle{x\lt{0}}\) и \(\displaystyle{x\gt{0}}\) указанное условие выполняется. Проверим, будут ли оно выполняться при \(\displaystyle{x=0}\), т.е. верно ли равенство \(\displaystyle{W'(0)=f(0)}\). С учётом того, что \(\displaystyle{f(0)=0}\), надо проверить, что \(\displaystyle{W'(0)=0}\). Найдём односторонние производные:
\[
\begin{aligned}
& W_{-}^{'}(0)=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\frac{W(0+\Delta{x})-W(0)}{\Delta{x}}=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\frac{-\frac{\left(\Delta{x}\right)^2}{2}}{\Delta{x}}=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\left(-\frac{\Delta{x}}{2}\right)=0;\\
& W_{+}^{'}(0)=\lim_{\Delta{x}\to{0+0}}\frac{W(0+\Delta{x})-W(0)}{\Delta{x}}=\lim_{\Delta{x}\to{0+0}}\frac{\frac{\left(\Delta{x}\right)^2}{2}}{\Delta{x}}=\lim_{\Delta{x}\to{0+0}}\frac{\Delta{x}}{2}=0.
\end{aligned}
\]
Так как \(\displaystyle{W_{-}^{'}(0)=W_{+}^{'}(0)=0}\), то функция \(\displaystyle{W(x)}\) дифференцируема в точке \(\displaystyle{x=0}\) при любом \(\displaystyle{k\in{R}}\), причём \(\displaystyle{W'(0)=0}\). Следовательно, всех \(\displaystyle{x\in{E}}\) равенство \(\displaystyle{W'(x)=f(x)}\) выполнено, т.е. функция \(\displaystyle{W(x)}\) является пеорвообразной функции \(\displaystyle{f(x)=|x|}\) на \(\displaystyle{E}\) при всех \(\displaystyle{k\in{R}}\). Дополняя условие \(\displaystyle{x\gt{0}}\) значением \(\displaystyle{x=0}\), можем записать функцию \(\displaystyle{W(x)}\) в более коротком виде:
\[
W(x)
=\left\{\begin{aligned}
& -\frac{x^2}{2}+k;\;x\lt{0}\\
& \frac{x^2}{2}+k;\;x\ge{0}
\end{aligned}\right.
\]
Приняв, например, \(\displaystyle{k=0}\), получим такую первообразную:
\[
F(x)
=\left\{\begin{aligned}
& -\frac{x^2}{2};\;x\lt{0}\\
& \frac{x^2}{2};\;x\ge{0}
\end{aligned}\right.
\]
С учётом функции знака \(\displaystyle{\sgn{x}=\left\{\begin{aligned}& -1;\;x\lt{0}\\&0;\;x=0\\&1;\;x\gt{0}\end{aligned}\right.}\) функцию \(\displaystyle{F(x)}\) можно записать в такой форме:
\[
F(x) = \sgn{x}\cdot\frac{x^2}{2}
\]
Так как \(\displaystyle{\int{f(x)}dx=F(x)+C}\), то получим:
\[
\int|x|dx=\sgn{x}\cdot\frac{x^2}{2}+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sgn{x}\cdot\frac{x^2}{2}+C}\).
Задача №5
Условие
Показать, что функция знака \(\displaystyle{\sgn{x}=\left\{\begin{aligned}& -1;\;x\lt{0}\\&0;\;x=0\\&1;\;x\gt{0}\end{aligned}\right.}\) не имеет первообразной на \(\displaystyle{E=(-10;10)}\).
Решение
Функция \(\displaystyle{\sgn{x}}\) определена при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\), в том числе, разумеется, и на интервале \(\displaystyle{E}\). Так как \(\displaystyle{(-x)'=-1}\) и \(\displaystyle{x'=1}\), то первообразная, если она, конечно, существует, должна при \(\displaystyle{x\lt{0}}\) иметь вид \(\displaystyle{-x+k_1}\), а при \(\displaystyle{x\gt{0}}\) иметь вид \(\displaystyle{x+k_2}\).
Определим значение первообразной в точке \(\displaystyle{x=0}\). Первообразная функция должна быть непрерывной, поэтому её односторонние пределы в точке \(\displaystyle{x=0}\) должны быть равны между собой и равны значению первообразной функции в данной точке.
\[
\begin{aligned}
&\lim_{x\to{0-0}}\left(-x+k_1\right)=k_1;\\
&\lim_{x\to{0+0}}\left(x+k_2\right)=k_2.
\end{aligned}
\]
Равенство односторонних пределов означает, что \(\displaystyle{k_1=k_2=k}\), т.е. первообразная должна иметь такой вид:
\[
T(x)
=\left\{\begin{aligned}
& -x+k;\;-10\lt{x}\lt{0}\\
& k;\;x=0\\
& x+k;\;0\lt{x}\lt{10}
\end{aligned}\right.
\]
Проверим, при каких значениях \(\displaystyle{k}\) будет выполнено равенство \(\displaystyle{T'(x)=\sgn{x}}\) при \(\displaystyle{x=0}\). Найдём односторонние производные:
\[
\begin{aligned}
& T_{-}^{'}(0)=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\frac{T(0+\Delta{x})-T(0)}{\Delta{x}}=\lim_{\Delta{x}\to{0-0}}\frac{-\Delta{x}}{\Delta{x}}=-1;\\
& T_{+}^{'}(0)=\lim_{\Delta{x}\to{0+0}}\frac{T(0+\Delta{x})-T(0)}{\Delta{x}}=\lim_{\Delta{x}\to{0+0}}\frac{\Delta{x}}{\Delta{x}}=1.
\end{aligned}
\]
Следовательно, каким бы ни было значение параметра \(\displaystyle{k}\), функция \(\displaystyle{T(x)}\) недифференцируема при \(\displaystyle{x=0}\). Это значит, что функция \(\displaystyle{\sgn{x}}\) не имеет первообразной на \(\displaystyle{E}\).
Отмечу, что для функции \(\displaystyle{\sgn{x}}\) на \(\displaystyle{E}\) существует так называемая обобщённая первообразная, однако её рассмотрение выходит за рамки данного материала.
Ответ:
Утверждение доказано.