Высшая математика » Числовые ряды » Признаки сравнения числовых рядов » Признаки сравнения числовых рядов. Первая часть

Признаки сравнения числовых рядов. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда и свойства числовых рядов (в частности, нам понадобятся свойства №3 и №4). Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов".

Признаки сравнения применяются для исследования числовых рядов, члены которых неотрицательны, т.е. больше или равны нулю. Такие ряды называются положительными (в части литературы – неотрицательными или знакоположительными). Именно такие ряды мы и станем рассматривать в данной теме.

Первый признак сравнения (или первая теорема сравнения, или признак сравнения в форме неравенства) формулируется следующим образом:

Первый признак сравнения (в форме неравенства)

Пусть заданы два положительных ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\). Если начиная с некоторого номера \(n_0\) выполнено неравенство \(u_n≤ v_n\), то:

если ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) расходится, то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\) будет расходящимся.
если ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\) сходится, то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) будет сходящимся.

Упрощённо говоря, если ряд с меньшими членами не имеет суммы (расходится), то и ряд с бо́льшими членами тоже будет расходиться. И это логично, ибо если исходная сумма была бесконечно большой, то после увеличения слагаемых она такой и останется.

Ну, и если ряд с бо́льшими членами имеет сумму (сходится), то и ряд с меньшими членами тоже будет сходиться.

Признак сравнения можно сформулировать также и в иной форме: в форме предела. Обычно говорят, что это второй признак сравнения (или вторая теорема сравнения). Иногда его называют предельным признаком сравнения или признаком сравнения в предельной форме. Формулировка его такова:

Второй признак сравнения (в форме предела)

Пусть заданы два положительных ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\). Если при условии \(v_n\neq 0\) существует предел

\[\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=K,\]

где \(0 \lt K \lt \infty\), то ряды \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\) сходятся либо расходятся одновременно.

Заметьте, что для применения признаков сравнения нам нужно иметь некий ряд, сходимость которого известна заранее. Чаще всего в роли ряда для сравнения выступает обобщённый гармонический ряд

\[ \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} \end{equation} \]

Если \(\alpha > 1\), то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}\) сходится, а если \(\alpha ≤ 1\), то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}\) расходится. Например, ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^5}\) сходится, так как \(5 > 1\), а ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[7]{n^4}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{7}}}\) расходится, так как \(\frac{4}{7}≤ 1\).

Особо стоит обратить внимание на случай \(\alpha=1\), т.е. ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\). Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится.

Кроме того, частенько для сравнения используется ряд такого вида:

\[ \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^n \end{equation} \]

Этот ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с первым членом \(b_1=a\) и знаменателем \(q\). Этот ряд сходится если \(|q| \lt 1\) и расходится если \(|q| \ge 1\). Например, ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4\cdot 3^n}{5^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)\) подпадает под вид ряда (2). Этот ряд сходится, так как \(\left| \frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5} \lt 1\).

Чаще всего в стандартных примерах признаки сравнения применяются, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, \(u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\) (см. задачу №1). Или же вместо многочленов (или вместе с ними) могут присутствовать корни от многочленов (см. задачу №3). Для рядов такого вида приходится выбирать между необходимым признаком сходимости и признаками сравнения. Иногда общий член ряда может содержать не только многочлен, а и некий "отвлекающий элемент", который не влияет на сходимость (см. вторую часть этой темы). Иногда, чтобы увидеть ряд для сравнения, приходится использовать эквивалентные бесконечно малые функции (см. задачи в третьей части).

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в теме "Пределы с иррациональностями", а также "Предел отношения двух многочленов".

Задача №1

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\).

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\). Так как при \(n≥ 1\) имеем \(9n+7 > 0\) и \(2n^3+5n^2-4 > 0\), то \(u_n > 0\). Следовательно, наш ряд является положительным. Кстати сказать, для положительного ряда достаточно выполнения условия \(u_n≥ 0\). Однако для нашего ряда мы можем записать более точно: \(u_n > 0\).

Для начала неплохо бы проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найти \(\lim_{n\to\infty}u_n\). Вдруг нам повезёт и окажется, что \(\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0\)? Тогда ряд будет расходиться, и решение на этом закончится. При нахождении предела будем использовать метод, описанный в теме "Предел отношения двух многочленов". В процессе решения разделим числитель и знаменатель на \(n^3\):

\[ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}=\left|\frac{\infty}{\infty} \right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9}{n^2}+\frac{7}{n^3}}{2+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}}=\frac{0+0}{2+0-0}=0. \]

Так как \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\), то никакого вывода про сходимость нашего ряда мы сделать не в состоянии. Ряд может как сходиться, так и расходиться. Попробуем применить признаки сравнения.

Для того, чтобы эти признаки использовать, нам понадобится ряд, с которым станем сравнивать. Чтобы выбрать ряд для сравнения, поисследуем поведение общего члена заданного нам ряда при \(n\to\infty\). Это можно сделать с помощью несколько неформальных рассуждений. Так как эти рассуждения, возможно, будут интересны не всем читателям, то я скрою их под примечание.

Как выбрать ряд для сравнения?

Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие соображения. Давайте посмотрим на общий член ряда повнимательнее. Сначала обратимся, например, к знаменателю. В знаменателе общего члена ряда расположены степени \(n^3\), \(n^2\) и число -4. Номер \(n\) всё увеличивается, стремясь в бесконечность. Вопрос: какой элемент (\(n^3\) или \(n^2\)) с возрастанием номера \(n\) будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно \(n^3\). Например, когда \(n=100\), то \(n^2=10\,000\), а \(n^3=1\,000\,000\). И этот разрыв между значениями \(n^2\) и \(n^3\) будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые знаменателя, кроме тех, что содержат \(n^3\), мы мысленно отбросим. В числителе также проведем подобную процедуру "отбрасывания", оставив лишь \(9n\) (число 7 в числителе явно не сыграет никакой роли по сравнению с \(9n\)). Таким образом дробь \(\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\) после всех отбрасываний станет такой: \(\frac{9n}{2n^3}=\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{n^2}\). Иными словами, если \(n\to\infty\), то общий член ряда будет крайне мало отличаться от выражения \(\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{n^2}\).

Множитель \(\frac{9}{2}\) можно также отбросить, ибо он не влияет на сходимость. И останется после такой "очистки" лишь \(\frac{1}{n^2}\). А что мы можем сказать про ряд с общим членом \(v_n=\frac{1}{n^2}\)? Это обобщенный гармонический ряд. В знаменателе общего члена этого ряда степень \(n\) равна 2, поэтому так как \(2 > 1\), то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходится.

Вот с этим сходящимся рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) мы и станем сравнивать заданный нам ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\). По сути, мы уже неформально решили задачу: наш ряд будет сходиться. Осталось лишь показать это строгими рассуждениями.

Рассмотрим, как решить нашу задачу с помощью как первого, так и второго признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Итак, общий член ряда таков: \(u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\). Неформальными рассуждениями (скрытыми выше под примечание) мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству \(\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}≤ v_n\), при этом ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\) сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.

Станем увеличивать дробь \(\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\). Наша цель: привести данную дробь к виду \(\frac{1}{n^2}\). Почему именно к этому виду? Для ответа на данный вопрос прошу раскрыть примечание выше.

Чтобы увеличить некую дробь, есть два пути: увеличить числитель или уменьшить знаменатель. Согласитесь, что так как \(n≥ 1\), то \(9n+7 ≥ 9n+7n=16n\). Следовательно, если мы в числителе вместо \(9n+7\) разместим выражение \(16n\), то увеличим рассматриваемую дробь:

\[ \frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}≤\frac{16n}{2n^3+5n^2-4}. \]

Пойдём далее и поработаем со знаменателем. Чтобы увеличить дробь, знаменатель нужно уменьшить. Например, можно рассудить так: мы знаем, что \(n≥ 1\). Тогда \(5n^2-4 > 0\). Значит, если мы отбросим в знаменателе выражение \(5n^2-4\), то знаменатель уменьшится. Следовательно, наша дробь увеличится. Продолжим предыдущее неравенство:

\[ \frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}≤\frac{16n}{2n^3+5n^2-4} \lt \frac{16n}{2n^3}=8\cdot\frac{1}{n^2}. \]

Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходится, то будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(8\cdot\frac{1}{n^2}\right)\) (см. пункт №4 в разделе про свойства числовых рядов). Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(8\cdot\frac{1}{n^2}\right)\) сходится и \(\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4} \lt 8\cdot\frac{1}{n^2}\), то согласно первому признаку сравнения (пункт №2) ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\) сходится.

Решение с помощью второго признака сравнения

Если в предыдущем пункте мы занимались самодеятельностью, выбирая и отбрасывая некие "куски" в формуле общего члена ряда, то решение с помощью предельного признака сравнения полностью алгоритмично. В примечании выше мы уже выяснили, что сравнивать наш ряд нужно с сходящимся рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\). Итак, общий член нашего ряда \(u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\). Общий член ряда, с которым мы сравниваем: \(v_n=\frac{1}{n^2}\). Второй признак сравнения работает с пределом \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}\). Кстати сказать, нам совершенно всё равно, какой общий член располагать в числителе, а какой – в знаменателе. Главное, чтобы выражение в знаменателе не равнялось нулю. Например, так как \(v_n\neq 0\), то этот общий член вполне можно расположить в знаменателе:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\cdot(9n+7)}{2n^3+5n^2-4}=\lim_{n\to\infty}\frac{9n^3+7n^2}{2n^3+5n^2-4}=\left|\frac{\infty}{\infty} \right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9n^3}{n^3}+\frac{7n^2}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3}+\frac{5n^2}{n^3}-\frac{4}{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{9+\frac{7}{n}}{2+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}}=\frac{9+0}{2+0-0}=\frac{9}{2}. \]

Так как \(0 \lt \frac{9}{2} \lt \infty\), то ряды \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}\).

В общем случае, конечно, выбирают один признак сравнения, а не оба сразу :) При решении примеров на этой странице я буду использовать оба способа – для наглядности.

Ответ:

Ряд сходится.

Задача №2

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}\).

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}\). Общий член \(u_n \gt 0\), т.е. наш ряд является положительным.

Как и в предыдущем примере, попробуем проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найдём \(\lim_{n\to\infty}u_n\). При нахождении предела будем использовать метод, описанный в теме "Предел отношения двух многочленов". В ходе решения разделим и числитель и знаменатель на \(n^4\):

\[ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{n}+\frac{2}{n^3}+\frac{9}{n^4}}{\left(3+\frac{5}{n}\right)^2}=\frac{0+0+0}{(3+0)^2}=0. \]

Выясним, с каким же рядом нужно сравнивать заданный в условии ряд. Попробуем отбросить "лишние" элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примере №1. Останется у нас такая дробь: \(\frac{4n^3}{n^2\cdot (3n)^2}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{n}\). Вот с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) мы и станем сравнивать заданный ряд. Гармонический ряд расходится, поэтому и наш ряд будет расходиться. Нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями, проведенными выше, мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Для этого случая применяется первый пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству \(v_n≤ \frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}\), при этом ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\) расходится. Тогда и заданный нам ряд будет расходиться.

Станем уменьшать дробь \(\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}\). Наша цель: привести данную дробь к виду \(\frac{1}{n}\).

Чтобы уменьшить некую дробь, есть два пути: уменьшить числитель или увеличить знаменатель. Так как \(n≥ 1\), то \(2n+9 > 0\). Поэтому если мы отбросим в числителе \(2n+9\), то уменьшим числитель, тем самым уменьшив рассматриваемую дробь:

\[ \frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2} > \frac{4n^3}{n^2(3n+5)^2} \]

Поработаем с знаменателем. Если мы его увеличим, то дробь уменьшится. Так как \(n≥ 1\), то \(3n+5≤ 3n+5n=8n\). Итак, если мы вместо \(3n+5\) запишем \(8n\), то знаменатель увеличится:

\[ \frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2} > \frac{4n^3}{n^2(3n+5)^2}≥ \frac{4n^3}{n^2(8n)^2}=\frac{4n^3}{64n^4}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}. \]

Дальнейшие рассуждения стандартны: так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, то будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}\right)\). Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}\right)\) расходится и \(\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2} > \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}\), то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}\) будет расходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Ранее мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\). Сравним заданный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}\) с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), используя второй признак сравнения. Данный признак работает с пределом \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}\). Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\left(4n^3+2n+9\right)}{n^2(3n+5)^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n(3n+5)^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4n^3}{n^3}+\frac{2n}{n^3}+\frac{9}{n^3}}{\frac{n(3n+5)^2}{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{4+\frac{2}{n^2}+\frac{9}{n^3}}{\left(3+\frac{5}{n}\right)^2}=\frac{4+0+0}{(3+0)^2}=\frac{4}{9}. \]

Так как \(0 \lt \frac{4}{9} \lt \infty\), то ряды \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}\).

Ответ:

Ряд расходится.

Задача №3

Условие

Исследовать ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}\) на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}\). Сразу обращаем внимание, что \(u_n > 0\), т.е. наш ряд положительный. Точно так же, как и в предыдущих примерах, можно проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка лишь покажет, что \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\). Т.е. ничего определённого про сходимость ряда сказать нельзя и нужно использовать иные критерии.

Для проверки сходимости заданного ряда с помощью признаков сравнения для начала составим ряд, с которым станем сравнивать. Попробуем отбросить "лишние" элементы числителя и знаменателя точно так же, как это было сделано в примерах №1 и №2. Останется у нас такая дробь:

\[\frac{5n^2}{\sqrt[3]{7n^{10}}}=\frac{5}{\sqrt[3]{7}}\cdot\frac{n^2}{n^{\frac{10}{3}}}=\frac{5}{\sqrt[3]{7}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{10}{3}-2}}= \frac{5}{\sqrt[3]{7}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}.\]

Вот с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\) мы и станем сравнивать заданный ряд. Так как \(\frac{4}{3} > 1\), то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\) сходится. Следовательно, и наш ряд будет сходиться, нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд сходится. Для этого случая применяется второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству \(\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}≤ v_n\) и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\) сходится. Тогда и заданный нам ряд будет сходиться.

Станем увеличивать дробь \(\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}\). Наша цель: привести данную дробь к виду \(\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\).

Чтобы увеличить данную дробь, для начала увеличим числитель. Если мы отбросим число (-3), то числитель станет больше. А значит и сама дробь увеличится:

\[ \frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \lt \frac{5n^2}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \]

Поработаем с знаменателем. Если мы его уменьшим, то дробь увеличится. Так как \(n≥ 1\), то \(7n^{10}-4≥ 7n^{10}-4n^{10}=3n^{10}\). Итак, если мы вместо \(7n^{10}-4\) запишем \(3n^{10}\), то знаменатель уменьшится, а дробь увеличится:

\[ \frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \lt \frac{5n^2}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \le \frac{5n^2}{\sqrt[3]{3n^{10}+2n^3}} \]

Теперь сделаем так: выкинем из знаменателя слагаемое \(2n^3\). Тем самым мы уменьшим знаменатель, а саму дробь увеличим:

\[ \frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \lt \frac{5n^2}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \le \frac{5n^2}{\sqrt[3]{3n^{10}+2n^3}} \lt \frac{5n^2}{\sqrt[3]{3n^{10}}} = \frac{5}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}. \]

Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\) сходится, то будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\right)\). Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\right)\) сходится и \(\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \lt \frac{5}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\), то согласно первому признаку сравнения (пункт №2) ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}\) будет сходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с сходящимся рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\). Сравним заданный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}\) с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\), используя второй признак сравнения . Данный признак работает с пределом \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}\). Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}}{\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{5n^{\frac{10}{3}}-3n^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=\left|\text{делим числитель и знаменатель на }n^{\frac{10}{3}}\right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n^{\frac{10}{3}}}{n^{\frac{10}{3}}}-\frac{3n^{\frac{4}{3}}}{n^{\frac{10}{3}}}}{\sqrt[3]{\frac{7n^{10}}{n^{10}}+\frac{2n^3}{n^{10}}-\frac{4}{n^{10}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{5-\frac{3}{n^2}}{\sqrt[3]{7+\frac{2}{n^7}-\frac{4}{n^{10}}}}= \frac{5-0}{\sqrt[3]{7+0-0}}=\frac{5}{\sqrt[3]{7}}. \]

Для вычисления предела был использован метод, изложенный в теме "Пределы с иррациональностями". Так как \(0 \lt \frac{5}{\sqrt[3]{7}} \lt \infty\), то ряды \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\) сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\) сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}\).

Ответ:

Ряд сходится.

Задача №4

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)\).

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\). Здесь сразу можно заметить, что так как \(\sqrt{2n+3}> \sqrt{2n-1}\), то \(u_n > 0\), т.е. наш ряд положительный. Можно при желании проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка ничего не даст (предел \(\lim_{n\to\infty}u_n\) вычисляется по аналогии с примером №8 на этой странице), так как \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\). Перейдём к применению признаков сравнения.

Перед тем, как применять некие признаки сравнения, выражение общего члена ряда лучше немного преобразовать. Тут поможет домножение на сопряжённое выражение, т.е. на \(\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}\). Естественно, что если мы домножаем на некое выражение, то на него же обязаны и разделить. При упрощении нам поможет формула \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Итак:

\[ u_n=\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}=\frac{\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)\cdot \left(\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}\right)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}=\\ =\frac{\left(\sqrt{2n+3}\right)^2-\left(\sqrt{2n-1}\right)^2}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}=\frac{2n+3-(2n-1)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}= \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}. \]

Теперь наш ряд имеет вид \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}\). Применяя рассуждения, аналогичные проведённым в предыдущих примерах, получим, что сравнивать наш ряд надо с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\). Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\) расходится, так как степень \(\frac{1}{2}≤ 1\). Значит, будет расходиться и наш ряд, осталось лишь показать это формально.

Решение с помощью первого признака сравнения

Неформальными рассуждениями выше мы пришли к выводу, что наш ряд расходится. Станем уменьшать дробь \(\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}\). Так как \(\sqrt{2n+3}> \sqrt{2n-1}\), то записав выражение \(\sqrt{2n+3}\) вместо \(\sqrt{2n-1}\) мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

\[ \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} > \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+3}}=\frac{4}{2\sqrt{2n+3}}=\frac{2}{\sqrt{2n+3}}. \]

Увеличим знаменатель ещё раз. Так как \(2n+3 \lt 2n+7n=9n\), то заменяя выражение в знаменателе на \(\sqrt{9n}\) мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

\[ \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} >\frac{2}{\sqrt{2n+3}} > \frac{2}{\sqrt{9n}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}. \]

Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\) расходится, то будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\). Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) расходится и \(\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} >\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\), то согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}\) будет расходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\). Сравним заданный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}\) с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\), используя второй признак сравнения. Оба общих члена сравниваемых рядов не равны нулю, поэтому в знаменателе можем размещать общий член любого ряда:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}=\left|\frac{\infty}{\infty} \right|=\left|\text{делим числитель и знаменатель на }\sqrt{n}\right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{4}{\sqrt{2+\frac{3}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n}}}=\frac{4}{\sqrt{2+0}+\sqrt{2-0}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}. \]

Так как \(0 \lt \sqrt{2} \lt \infty\), то ряды \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\) сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\) расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}\).

Ответ:

Ряд расходится.

Часть №1

Часть №2

Часть №3