Признаки сравнения числовых рядов. Первая часть.

Признаки сравнения применяются для исследования на сходимость числовых рядов, члены которых неотрицательны, т.е. больше или равны нулю. Такие ряды называются положительными (в части литературы – неотрицательными или знакоположительными). Именно такие ряды мы и станем рассматривать в данной теме.

Первый признак сравнения (или первая теорема сравнения, или признак сравнения в форме неравенства) формулируется следующим образом:

Первый признак сравнения (в форме неравенства)

Пусть заданы два положительных ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\). Если начиная с некоторого номера \(\displaystyle{n_0}\) выполнено неравенство \(\displaystyle{u_n \le {v_n}}\), то:

если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) расходится, то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\) будет расходящимся.
если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\) сходится, то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) будет сходящимся.

Признак сравнения можно сформулировать также и в иной форме: с помощью предела. Обычно говорят, что это второй признак сравнения (или вторая теорема сравнения). Иногда его называют предельным признаком сравнения или признаком сравнения в предельной форме. Формулировка его такова:

Второй признак сравнения (в форме предела)

Пусть заданы два положительных ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\). Если при условии \(\displaystyle{v_n\neq{0}}\) существует предел

\[\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=K,\]

где \(\displaystyle{0 \lt {K} \lt \infty}\), то ряды \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\) сходятся либо расходятся одновременно.

Для применения признаков сравнения нам нужно иметь некий ряд, сходимость которого известна заранее. Чаще всего в роли ряда для сравнения выступает обобщённый гармонический ряд

\[ \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \end{equation} \]

Если \(\displaystyle{\alpha \gt {1}}\), то ряд (1) сходится, а если \(\displaystyle{\alpha \le {1}}\), то ряд (1) расходится. Например, ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^5}}\) сходится, так как \(\displaystyle{5 \gt {1}}\), а ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[7]{n^4}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{7}}}}\) расходится, так как \(\displaystyle{\frac{4}{7}\le {1}}\).

Особо стоит обратить внимание на случай \(\displaystyle{\alpha=1}\), т.е. ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\). Этот ряд называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится.

Кроме того, для сравнения используется ряд такого вида:

\[ \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a{q^n} \end{equation} \]

Этот ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с знаменателем \(\displaystyle{q}\). Ряд сходится, если \(\displaystyle{|q| \lt {1}}\) и расходится, если \(\displaystyle{|q| \ge {1}}\). Например, ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4\cdot {3}^n}{5^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}\) подпадает под вид ряда (2). Этот ряд сходится, так как \(\displaystyle{\left|\frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5} \lt {1}}\).

Чаще всего в стандартных примерах признаки сравнения применяются, если общий член ряда представлен дробью, в числителе и знаменателе присутствуют некие многочлены, вкупе с которыми могут наличествовать корни из многочленов. Для рядов такого вида приходится выбирать между необходимым признаком сходимости и признаками сравнения.

Задача №1

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}}\).

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}}\). При \(\displaystyle{n \ge {1}}\) имеем \(\displaystyle{9n+7 \gt {0}}\) и \(\displaystyle{2n^3+5n^2-4 \gt {0}}\), поэтому \(\displaystyle{u_n \gt {0}}\). Следовательно, ряд является положительным. Кстати сказать, для положительного ряда достаточно выполнения условия \(\displaystyle{u_n \ge {0}}\). Однако для нашего ряда мы можем записать более точно: \(\displaystyle{u_n \gt {0}}\).

Для начала неплохо бы проверить выполнение необходимого условия сходимости, т.е. найти \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n}\):

\[ \lim_{n\to\infty}u_n =\lim_{n\to\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9}{n^2}+\frac{7}{n^3}}{2+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}}=\frac{0+0}{2+0-0}=0 \]

Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\), то никакого вывода про сходимость нашего ряда мы сделать не в состоянии: ряд может как сходиться, так и расходиться. Отмечу, что проверка выполнения необходимого условия сходимости не является обязательной. Обычно она делается делается устно, причём лишь в тех случаях, когда предел общего члена ряда найти относительно легко.

Применим признаки сравнения. Выберем ряд, с которым станем сравнивать. При \(\displaystyle{n\to\infty}\) имеем

\[ 9n+7\sim{9n}; \; 2n^3+5n^2-4\sim{2n^3}. \]

Отсюда получаем

\[ u_n\sim\frac{9n}{2n^3} =\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{n^2} \]

Из вышеизложенного делаем вывод, что сравнивать нужно с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\). Этот ряд сходится, так как степень \(\displaystyle{2\gt{1}}\).

Решение с помощью первого признака сравнения

Применим второй пункт первого признака сравнения. Нам нужно показать, что общий член нашего ряда удовлетворяет неравенству \(\displaystyle{u_n \le {v_n}}\), при этом ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\) сходится.

Станем увеличивать дробь \(\displaystyle{\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}}\). Наша цель: привести данную дробь к виду \(\displaystyle{k\cdot\frac{1}{n^2}}\). Чтобы увеличить некую дробь, есть два пути: увеличить числитель или уменьшить знаменатель. Так как при \(\displaystyle{n \ge {1}}\) имеем \(\displaystyle{9n+7 \le {9n+7n}=16n}\), то

\[ \frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4} \le\frac{16n}{2n^3+5n^2-4} \]

Пойдём далее и поработаем со знаменателем. Чтобы увеличить дробь, знаменатель нужно уменьшить. Так как \(\displaystyle{5n^2-4 \gt {0}}\), то \(\displaystyle{2n^3+5n^2-4\gt{2n^3}\gt{n^3}}\). Продолжим предыдущее неравенство:

\[ \frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4} \le\frac{16n}{2n^3+5n^2-4} \lt \frac{16n}{n^3}=16\cdot\frac{1}{n^2} \]

Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится, то будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(16\cdot\frac{1}{n^2}\right)}\) (см. пункт №4 в разделе про свойства числовых рядов). Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(16\cdot\frac{1}{n^2}\right)}\) сходится и \(\displaystyle{\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4} \lt {16}\cdot\frac{1}{n^2}}\), то согласно первому признаку сравнения (пункт №2) ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится.

Решение с помощью второго признака сравнения

Сравнивать заданный ряд нужно с сходящимся рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\). Общий член ряда, с которым мы сравниваем: \(\displaystyle{v_n=\frac{1}{n^2}}\). Второй признак сравнения работает с пределом \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}}\). Кстати сказать, нам совершенно всё равно, какой общий член располагать в числителе, а какой – в знаменателе. Главное, чтобы выражение в знаменателе не равнялось нулю. Например, так как \(\displaystyle{v_n\neq {0}}\), то этот общий член вполне можно расположить в знаменателе:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}}{\frac{1}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\cdot(9n+7)}{2n^3+5n^2-4} =\left[\frac{\infty}{\infty} \right]=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9n}{n}+\frac{7}{n}}{\frac{2n^3}{n^3}+\frac{5n^2}{n^3}-\frac{4}{n^3}} =\lim_{n\to\infty}\frac{9+\frac{7}{n}}{2+\frac{5}{n}-\frac{4}{n^3}} =\frac{9+0}{2+0-0} =\frac{9}{2} \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt \frac{9}{2} \lt \infty}\), то сравниваемые ряды сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\) сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

В общем случае, конечно, выбирают один признак сравнения, а не оба сразу. При решении примеров на этой странице я буду использовать оба способа – для наглядности.

Ответ:

ряд сходится.

Задача №2

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}}\).

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}}\). Так как \(\displaystyle{u_n \gt 0}\), то ряд является положительным.

Как и в предыдущем примере, проверим выполнение необходимого условия сходимости:

\[ \lim_{n\to\infty}u_n =\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{n}+\frac{2}{n^3}+\frac{9}{n^4}}{\left(3+\frac{5}{n}\right)^2} =\frac{0+0+0}{(3+0)^2}=0 \]

Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\), то никакого вывода про сходимость нашего ряда мы сделать не в состоянии, – ряд может как сходиться, так и расходиться.

Попробуем применить признаки сравнения. Выясним, с каким рядом нужно сравнивать заданный в условии ряд. Учтём, что

\[ 4n^3+2n+9\sim{4n^3}; \; n^2(3n+5)^2\sim{9n^4}. \]

\[ u_n\sim\frac{4n^3}{9n^4} =\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{n} \]

Сравнивать станем с гармоническим рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\). Напомню, что гармонический ряд расходится.

Решение с помощью первого признака сравнения

Станем уменьшать дробь \(\displaystyle{\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}}\). Наша цель: привести данную дробь к виду \(\displaystyle{k\cdot\frac{1}{n}}\).

Чтобы уменьшить некую дробь, есть два пути: уменьшить числитель или увеличить знаменатель. Так как \(\displaystyle{n \ge {1}}\), то \(\displaystyle{2n+9 \gt {0}}\). Поэтому если мы отбросим в числителе \(\displaystyle{2n+9}\), то уменьшим числитель, тем самым уменьшив рассматриваемую дробь:

\[ \frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2} \gt \frac{4n^3}{n^2(3n+5)^2} \]

Поработаем с знаменателем. Если мы его увеличим, то дробь уменьшится. Так как \(\displaystyle{3n+5\le {3n+5n}=8n}\), то

\[ \frac{4n^3}{n^2(3n+5)^2} \ge \frac{4n^3}{n^2(8n)^2} = \frac{4n^3}{64n^4} = \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n} \]

Так как гармонический ряд расходится, то будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{n}\right)}\). Следовательно, согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) будет расходящимся.

Решение с помощью второго признака сравнения

Ранее мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\). Используя второй признак сравнения, получим:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n\left(4n^3+2n+9\right)}{n^2(3n+5)^2} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4n^3}{n^3}+\frac{2n}{n^3}+\frac{9}{n^3}}{\frac{n(3n+5)^2}{n^3}} =\lim_{n\to\infty}\frac{4+\frac{2}{n^2}+\frac{9}{n^3}}{\left(3+\frac{5}{n}\right)^2} =\frac{4+0+0}{(3+0)^2} =\frac{4}{9} \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt \frac{4}{9} \lt \infty}\), то ряды \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) сходятся либо расходятся одновременно. Так как гармонический ряд расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

Ответ:

ряд расходится.

Задача №3

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}}\) на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}}\). Сразу обращаем внимание, что \(\displaystyle{u_n > 0}\), т.е. наш ряд положительный. Точно так же, как и в предыдущих примерах, можно проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка лишь покажет, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\). Ничего определённого про сходимость ряда сказать пока что нельзя.

Для проверки сходимости заданного ряда с помощью признаков сравнения для начала выясним, с каким рядом сравнивать. При \(\displaystyle{n\to\infty}\) имеем:

\[ 5n^2-3\sim{5n^2}; \; \sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}\sim\sqrt[3]{7n^{10}}=\sqrt[3]{7}\cdot{n^{\frac{10}{3}}}. \]

\[ u_n\sim\frac{5n^2}{\sqrt[3]{7}\cdot{n^{\frac{10}{3}}}} =\frac{5}{\sqrt[3]{7}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}} \]

Станем сравнивать с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}\). Так как \(\displaystyle{\frac{4}{3} \gt {1}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}\) сходится. Следовательно, и наш ряд будет сходиться, нам осталось лишь показать это формально с помощью признаков сравнения.

Решение с помощью первого признака сравнения

Станем увеличивать дробь \(\displaystyle{\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}}\). Наша цель: привести данную дробь к виду \(\displaystyle{k\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}\).

Чтобы увеличить данную дробь, для начала увеличим числитель. Если мы отбросим число (-3), то числитель станет больше. А значит и сама дробь увеличится:

\[ \frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \lt \frac{5n^2}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \]

Поработаем с знаменателем. Если мы его уменьшим, то дробь увеличится. Так как \(\displaystyle{n\ge {1}}\), то \(\displaystyle{7n^{10}-4 \ge {7}n^{10}-4n^{10}=3n^{10}}\).

\[ \frac{5n^2}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} \le \frac{5n^2}{\sqrt[3]{3n^{10}+2n^3}} \]

Теперь выкинем из знаменателя слагаемое \(\displaystyle{2n^3}\). Тем самым мы уменьшим знаменатель, а саму дробь увеличим:

\[ \frac{5n^2}{\sqrt[3]{3n^{10}+2n^3}} \lt \frac{5n^2}{\sqrt[3]{3n^{10}}} = \frac{5}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}} \]

Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}\) сходится, то будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}\right)}\). Значит, согласно первому признаку сравнения (пункт №2) ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) будет сходиться.

Решение с помощью второго признака сравнения

Мы уже выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с сходящимся рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}\):

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}}{\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5n^{\frac{10}{3}}-3n^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n^{\frac{10}{3}}}{n^{\frac{10}{3}}}-\frac{3n^{\frac{4}{3}}}{n^{\frac{10}{3}}}}{\sqrt[3]{\frac{7n^{10}}{n^{10}}+\frac{2n^3}{n^{10}}-\frac{4}{n^{10}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{5-\frac{3}{n^2}}{\sqrt[3]{7+\frac{2}{n^7}-\frac{4}{n^{10}}}}= \frac{5-0}{\sqrt[3]{7+0-0}}=\frac{5}{\sqrt[3]{7}}. \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt \frac{5}{\sqrt[3]{7}} \lt \infty}\) и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}}\) сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

Ответ:

ряд сходится.

Задача №4

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)}\).

Решение

Общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}}\). Здесь сразу можно заметить, что так как \(\displaystyle{\sqrt{2n+3} \gt \sqrt{2n-1}}\), то \(\displaystyle{u_n \gt {0}}\), т.е. наш ряд положительный. Можно при желании проверить выполнение необходимого условия сходимости, однако эта проверка ничего не даст (предел \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n}\) вычисляется по аналогии с задачей №9 на этой странице), так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\). Перейдём к применению признаков сравнения.

Перед тем, как применять некие признаки сравнения, выражение общего члена ряда лучше немного преобразовать. Тут поможет домножение на сопряжённое выражение:

\[ u_n =\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1} =\frac{\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)\cdot \left(\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}\right)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} =\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} \]

Применяя рассуждения, аналогичные проведённым в предыдущих задачах, получим \(\displaystyle{u_n\sim\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}}\), т.е. сравнивать надо с рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\). Ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}\) расходится, так как степень \(\displaystyle{\frac{1}{2} \le {1}}\). Значит, будет расходиться и наш ряд, осталось лишь показать это формально.

Решение с помощью первого признака сравнения

Так как \(\displaystyle{\sqrt{2n+3} \gt \sqrt{2n-1}}\), то записав выражение \(\displaystyle{\sqrt{2n+3}}\) вместо \(\displaystyle{\sqrt{2n-1}}\) мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

\[ \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} \gt \frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+3}} =\frac{4}{2\sqrt{2n+3}}=\frac{2}{\sqrt{2n+3}} \]

Увеличим знаменатель ещё раз. Так как \(\displaystyle{2n+3 \lt 2n+7n=9n}\), то заменяя выражение в знаменателе на \(\displaystyle{\sqrt{9n}}\) мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

\[ \frac{2}{\sqrt{2n+3}} \gt \frac{2}{\sqrt{9n}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}} \]

Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\) расходится, то будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}\). Согласно первому признаку сравнения (пункт №1) ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) расходится.

Решение с помощью второго признака сравнения

Ранее мы выяснили, что сравнивать заданный ряд нужно с расходящимся рядом \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\):

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}} =\left[\frac{\infty}{\infty} \right]=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{4}{\sqrt{2+\frac{3}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n}}} =\frac{4}{\sqrt{2+0}+\sqrt{2-0}} =\frac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2} \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt \sqrt{2} \lt \infty}\), то сравниваемые ряды сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\) расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\).

Ответ:

ряд расходится.