Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение

Это вводный пример, в котором поясняются базовые действия, лежащие в основе метода Гаусса. Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой обобщённый метод сложения.

Для начала избавимся от переменной \(\displaystyle{x_1}\) во втором уравнении. Для этого из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на \(\displaystyle{3}\):

Фразу "из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на \(\displaystyle{3}\)" запишем короче: \(\displaystyle{II-3\cdot{I}}\). Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:

Домножив обе части второго уравнения \(\displaystyle{-7x_2=-21}\) на \(\displaystyle{-\frac{1}{7}}\), имеем \(\displaystyle{x_2=3}\). При этом система примет такой вид:

Переменная \(\displaystyle{x_2}\) найдена. Осталось определить значение переменной \(\displaystyle{x_1}\). Для этой цели преобразуем первое уравнение, убрав из него переменную \(\displaystyle{x_2}\). Вычтем из первого уравнения второе уравнение, предварительно умноженное на 2 (т.е. выполним действие \(\displaystyle{I-2\cdot{II}}\)). Первое уравнение станет таким:

Итак, \(\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} & x_1=5;\\& x_2=3.\end{aligned}\right.}\)

Ответ найден. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:

Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишем расширенную матрицу заданной системы: \(\displaystyle{\left(\begin{array} {cc|c} 1 & 2 & 11\\ 3 & -1& 12 \end{array} \right)}\). Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:

Отсюда имеем: \(\displaystyle{x_1=5}\), \(\displaystyle{x_2=3}\). Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Например, вторая строка матрицы \(\displaystyle{\left( \begin{array} {cc|c} 1 & 2 & 11\\ 0 & -7 & -21 \end{array} \right)}\) соответствует уравнению \(\displaystyle{0\cdot x_1-7\cdot x_2=-21}\), т.е. \(\displaystyle{-7x_2=-21}\).

Решение

Запишем расширенную матрицу данной системы: \(\displaystyle{\widetilde{A}=\left( \begin{array} {ccc|c} 2 & 10 & -3 & 38\\ -3 & -24& 5 & -86 \\ 1 & 3& -5& 27 \end{array} \right)}\). Напомню, что слева от черты расположена матрица системы: \(\displaystyle{\left( \begin{array} {ccc} 2 & 10 &-3 \\ -3 &-24 &5 \\ 1 & 3 &-5\end{array} \right)}\). Перейдём к прямому ходу метода Гаусса. Прямой ход метода Гаусса имеет своей целью приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду. Есть ли решения у системы (система совместна) или же решений нет (система несовместна) выяснится именно на этом этапе решения.

Прямой ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является первый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента первой строки \(\displaystyle{k=1}\). Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках (это числа -3 и 1) имеют номера 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть \(\displaystyle{k_{\min}=\min(1;1)=1}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(\displaystyle{k_{\min}}\). Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк.

В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является 1 или -1. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число 2. Чтобы заменить "неудобное" число единицей, можно попробовать поменять местами текущую строку с одной из нижележащих строк. В данном случае целесообразно поменять местами первую и третью строки:

От перемены мест строк номера \(\displaystyle{k}\) и \(\displaystyle{k_{\min}}\) не изменились. Ведущим элементом первой строки стала единица (этот элемент выделен красным цветом). Нам по-прежнему нужно обнулить ведущие элементы второй и третьей строк (эти элементы выделены зелёным и синим цветами).

Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:

Запись \(\displaystyle{r_2+3r_1}\) означает, что к элементам второй строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на три. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

Действие \(\displaystyle{r_3-2r_1}\) выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых строк не возникло, вычёркивать нечего. Обратите внимание, что все элементы третьей строки нацело делятся на -5. Чтобы упростить дальнейшие расчёты, домножим третью строку на \(\displaystyle{-\frac{1}{5}}\) перед тем, как переходить ко второму шагу. Это не обязательное действие, т.е. можно, в принципе, обойтись и без него, но я предпочитаю упрощать решение по мере возможности.

Второй шаг

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является второй элемент (число 3), т.е. номер ведущего элемента второй строки \(\displaystyle{k=2}\). Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью строку. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 2 (этот элемент равен 4), т.е. \(\displaystyle{k_{\min}=2}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то производим обнуление ведущего элемента третьей строки. Операции со строками, которые выполняются при этом, аналогичны тем действиям, которые осуществлялись на первом шаге:

Матрица приведена к ступенчатому виду. Прямой ход метода Гаусса закончен.

Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}=3}\), \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=3}\). Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен количеству неизвестных (\(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=\rang{A}=3}\)), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является определённой (т.е. имеет единственное решение).

Найдём решение СЛАУ, используя обратный ход метода Гаусса. Замечу, что некоторые авторы комбинируют способы записи метода Гаусса, осуществляя прямой ход в форме матричной записи, а обратный ход – записывая уравнения. Мне эта комбинация разных форм записи представляется бессмыслицей, ибо матричная форма записи вполне удобна и наглядна.

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в процессе выполнения прямого хода. Матрица до черты является квадратной, поэтому никаких столбцов переносить за черту не нужно. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной.

Первый шаг

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен \(\displaystyle{\frac{13}{3}}\). Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на \(\displaystyle{\frac{3}{13}}\):

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой (эти элементы -5 и 2 выделены синим цветом):

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

Второй шаг

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей:

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой (этот элемент выделен синим цветом):

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Ответ таков: \(\displaystyle{x_1=-2}\), \(\displaystyle{x_2=3}\), \(\displaystyle{x_3=-4}\). Если пропустить все пояснения, то решение будет записано так:

Решение

Расширенная матрица данной системы будет такой:

Прямой ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является третий элемент (число 12), т.е. номер ведущего элемента первой строки \(\displaystyle{k=3}\). Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Все ведущие элементы в этих строках (числа -2, -1, -4) имеют номер 1. Наименьшим из этих номеров есть \(\displaystyle{k_{\min}=1}\). Так как \(\displaystyle{k\gt{k_{\min}}}\), то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(\displaystyle{k_{\min}}\), т.е. с второй, третьей или четвёртой. Чтобы не работать с дробями я выберу третью строку. Поменяем местами первую и третью строки:

В новой матрице номер ведущего элемента первой строки \(\displaystyle{k=1}\). Наименьший из номеров ведущих элементов строк, расположенных под первой строкой, таков: \(\displaystyle{k_{\min}=\min(1;3;1)=1}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то необходимо выполнить обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(\displaystyle{k_{\min}}\), т.е. нужно обнулить ведущие элементы второй и четвёртой строк:

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло, удалять нечего.

Обратите внимание, что все элементы четвёртой строки нацело делятся на 3. Чтобы упростить расчёты, умножим четвёртую строку на \(\displaystyle{\frac{1}{3}}\):

Второй шаг

На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является третий элемент (число -3), т.е. номер ведущего элемента второй строки \(\displaystyle{k=3}\). Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью и четвёртую строки. Ведущий элемент третьей строки (он равен 12) имеет номер 3, а ведущий элемент четвёртой строки (он равен -2) имеет номер 4, поэтому \(\displaystyle{k_{\min}=\min(3;4)=3}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:

Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло. В принципе, несложно заметить, что \(\displaystyle{r_4=-r_3}\), т.е. одну из строк \(\displaystyle{r_3}\) или \(\displaystyle{r_4}\) можно удалить, тем самым сразу приведя матрицу к ступенчатому виду. Однако допустим, что мы этого не заметили, и формально выполним ещё один шаг метода Гаусса.

Третий шаг

На третьем шаге прямого хода метода Гаусса используется третья строка. В третьей строке полученной матрицы ведущим является четвёртый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента третьей строки \(\displaystyle{k=4}\). Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой, т.е. на четвёртую строку. Ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому \(\displaystyle{k_{\min}=4}\). Так как \(\displaystyle{k=k_{\min}}\), то производим обнуление ведущего элемента четвёртой строки:

Появилась нулевая строка, удалим её из матрицы, получив при этом такой результат:

Итак, мы получили ступенчатую матрицу. Прямой ход метода Гаусса завершён. Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. \(\displaystyle{\rang{A}=3}\), \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=3}\). Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, но меньше количества переменных (\(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=\rang{A}=3\lt{5}}\)), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Обратный ход метода Гаусса

Проанализируем результат, который мы получили в ходе выполнения прямого хода. Матрица до черты является прямоугольной. Оставим до черты те столбцы матрицы системы, которые содержат ведущие элементы строк матрицы. Это столбцы, соответствующие переменным \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_3}\) и \(\displaystyle{x_4}\) (данные столбцы выделены зелёным цветом). Остальные столбцы, соответствующие переменным \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_5}\) (они выделены синим цветом), перенесём за черту. Знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные.

Наша цель – привести матрицу до черты к единичной. С этой целью начнём выполнять преобразования обратного хода метода Гаусса.

Первый шаг

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен 2. Сделаем этот элемент единицей:

Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.

Второй шаг

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен -3. Сделаем этот элемент единицей:

Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

Второй шаг обратного хода окончен. Переходим к третьему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге обратного хода мы работаем с первой строкой. Диагональный элемент в первой строке равен -1. Сделаем данный элемент единицей:

Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Чтобы записать ответ, вспомним, что мы переносили за черту столбцы, соответствующие переменным \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_5}\). Эти переменные будут свободными, а переменные \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_3}\) и \(\displaystyle{x_5}\) – базовыми.

Полное решение без пояснений таково:

Решение

Данную задачу я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее. Расширенная матрица системы:

Прямой ход метода Гаусса

Вспоминаем, что появление строки вида \(\displaystyle{\left(\begin{array} {cccc|c}0 & 0 &\ldots & 0 & x\end{array} \right)}\), где \(\displaystyle{x\neq{0}}\), на любом шаге метода Гаусса означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. \(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)}\), относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: \(\displaystyle{0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2}\), откуда имеем \(\displaystyle{0=2}\). Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.

Впрочем, к этому же выводу можно прийти, записав ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы. Вычеркнем нулевую строку:

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём. Ранги не равны между собой, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Решение

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. \(\displaystyle{x_1=x_2=x_3=x_4=0}\). Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса

Пару слов по поводу полученного после первого шага результата. Нам надо переходить ко второму шагу, т.е. использовать вторую строку. При этом номер ведущего элемента во второй строке равен \(\displaystyle{k=2}\), а номера ведущих элементов нижележащих строк равны 3, откуда \(\displaystyle{k_{\min}=\min(3;3)=3}\). Так как \(\displaystyle{k\lt{k_{\min}}}\), то просто переходим к следующему (третьему) шагу алгоритма, на котором станем использовать третью строку.

Итак, ранги расширенной матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) и матрицы системы \(\displaystyle{A}\) равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=\rang{A}=3\lt{4}}\). Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Переносим столбец, соответствующий свободной переменной \(\displaystyle{x_4}\), за черту и продолжаем решение методом Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

Вспоминая, что столбец за чертой соответствует переменной \(\displaystyle{x_4}\), записываем ответ.