Решение
Расширенная матрица данной системы будет такой:
\[
\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
-4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1
\end{array} \right)
\]
Прямой ход метода Гаусса
Первый шаг
На первом шаге мы работаем с первой строкой расширенной матрицы системы. В первой строке этой матрицы ведущим является третий элемент (число 12), т.е. номер ведущего элемента первой строки \(k=3\). Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Все ведущие элементы в этих строках имеют номер 1. Наименьшим из этих номеров есть \(k_{\min}=1\). Так как \(k\gt{k_{\min}}\), то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(k_{\min}\), т.е. с второй, третьей или четвёртой. Чтобы не работать с дробями я выберу третью строку. Поэтому поменяем местами первую и третью строки:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
-4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1
\end{array} \right)
\overset{r_1\leftrightarrow{r_3}}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
-2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1
\end{array} \right)
\]
В новой матрице \(k=1\), \(k_{\min}=1\). Так как \(k=k_{\min}\), то необходимо выполнить обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен \(k_{\min}\), т.е. нужно обнулить ведущие элементы второй и четвёртой строк:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
-2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-2r_1 \\\phantom{0} \\ r_4-4r_1 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15
\end{array} \right)
\]
Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло, вычёркивать нечего.
Обратите внимание, что все элементы четвёртой строки нацело делятся на 3. Чтобы упростить расчёты, умножим четвёртую строку на \(\frac{1}{3}\):
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\\phantom{0} \\ 1/3\cdot{r_4} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\]
Второй шаг
На втором шаге прямого хода метода Гаусса используется вторая строка. Во второй строке полученной матрицы ведущим является третий элемент (число -3), т.е. номер ведущего элемента второй строки \(k=3\). Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой, т.е. на третью и четвёртую строки. Ведущий элемент третьей строки имеет номер 3 (этот элемент равен 12), а ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому \(k_{\min}=3\). Так как \(k=k_{\min}\), то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_3+4r_2 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\]
Матрица пока не приведена к ступенчатому виду, поэтому будем продолжать прямой ход метода Гаусса. Нулевых или одинаковых строк не возникло. В принципе, несложно заметить, что \(r_4=-r_3\), т.е. одну из строк \(r_3\) или \(r_4\) можно вычеркнуть, тем самым сразу приведя матрицу к ступенчатому виду. Однако допустим, что мы этого не заметили, и формально выполним ещё один шаг метода Гаусса. Разумеется, четвёртая строка станет нулевой, и её можно будет вычеркнуть.
Третий шаг
На третьем шаге прямого хода метода Гаусса используется третья строка. В третьей строке полученной матрицы ведущим является четвёртый элемент (число 2), т.е. номер ведущего элемента третьей строки \(k=4\). Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой, т.е. четвёртую строку. Ведущий элемент четвёртой строки имеет номер 4 (этот элемент равен -2), поэтому \(k_{\min}=4\). Так как \(k=k_{\min}\), то производим обнуление ведущего элемента четвёртой строки:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_4+r_3 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)
\]
Появилась нулевая строка, удалим её из матрицы, получив при этом такой результат:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5
\end{array} \right)
\]
Итак, мы получили ступенчатую матрицу, прямой ход метода Гаусса завершён. Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса, можем записать ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы, т.е. \(\rang{A}=3\), \(\rang\widetilde{A}=3\). Так как ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, но меньше количества переменных (\(\rang\widetilde{A}=\rang{A}=3\lt{5}\)), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная СЛАУ является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).
Обратный ход метода Гаусса
Проанализируем результат, который мы получили в ходе выполнения прямого хода. Матрица до черты является прямоугольной, поэтому оставим до черты те столбцы матрицы системы, которые содержат ведущие элементы строк матрицы. Это столбцы, соответствующие переменным \(x_1\), \(x_3\) и \(x_4\) (данные столбцы выделены зелёным цветом). Остальные столбцы, соответствующие переменным \(x_2\) и \(x_5\) (они выделены синим цветом), перенесём за черту. Знаки элементов в переносимых столбцах при этом изменятся на противоположные.
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
\normgreen{-1} & \normblue{2} & \normgreen{3} & \normgreen{0} & \normblue{1} & -4\\
\normgreen{0} & \normblue{0} & \normgreen{-3} & \normgreen{5} & \normblue{-2} & 1\\
\normgreen{0} & \normblue{0} & \normgreen{0} & \normgreen{2} & \normblue{-3} & -5
\end{array} \right)
\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3
\end{array} \right)
\]
Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов?
Давайте обратимся к расширенной матрице, которую мы получили после прямого хода метода Гаусса.
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5
\end{array} \right)
\]
Второй и пятый столбцы этой матрицы содержат коэффициенты при переменных \(x_2\) и \(x_5\). Перенос за черту данных столбцов соответствует переносу переменных \(x_2\) и \(x_5\) в правые части уравнений. Разумеется, при переносе слагаемых из одной части равенства в иную, у них меняется знак на противоположный.
Например, первая строка соответствует уравнению \(-x_1+2x_2+3x_3+x_5=-4\). Перенося переменные \(x_2\) и \(x_5\) в правую часть уравнения, будем иметь: \(-x_1+3x_3=-4-2x_2-x_5\). Если вновь записать коэффициенты этого уравнения в виде строки, мы и получим первую строку новой матрицы с перенесёнными за черту столбцами: \((-1;\;3;\;0;\;-4;\;-2;\;-1)\).
Наша цель – привести матрицу до черты к единичной. С этой целью начнём выполнять преобразования обратного хода метода Гаусса.
Первый шаг
На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен 2. Сделаем этот элемент единицей:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\1/2\cdot{r_3}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\]
Используя третью строку обнулим элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2-5r_3 \\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\]
Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен.
Второй шаг
На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен -3. Сделаем этот элемент единицей:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\-1/3\cdot{r_2}\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\]
Используя вторую строку обнулим элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-3r_2\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\
0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\]
Второй шаг обратного хода окончен. Переходим к третьему шагу.
Третий шаг
На третьем шаге обратного хода мы работаем с первой строкой. Диагональный элемент в первой строке равен -1. Сделаем данный элемент единицей:
\[
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\
0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\\
0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\]
Матрица до черты стала единичной, решение окончено. Чтобы записать ответ, вспомним, что мы переносили за черту столбцы, соответствующие переменным \(x_2\) и \(x_5\). Эти переменные называют свободными, а переменные \(x_1\), \(x_3\) и \(x_5\) – базовыми. Ответ будет таким:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1=-\frac{19}{2}+2x_2+\frac{13}{2}x_5;\\
& x_3=-\frac{9}{2}+\frac{11}{6}x_5;\\
& x_4=-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x_5;\\
& x_2\in{R};\;x_5\in{R}.
\end{aligned}\right.
\]
Полное решение без пояснений таково:
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
-4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1
\end{array} \right)
\overset{r_1\leftrightarrow{r_3}}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
-2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
-4 & 8 & 12 & -6 & 13 & -1
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-2r_1 \\\phantom{0} \\ r_4-4r_1 \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & 0 & -6 & 9 & 15
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\\phantom{0} \\ 1/3\cdot{r_4} \end{array}
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_3+4r_2 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\
0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_4+r_3 \end{array} \rightarrow
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right) \rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 2 & 3 & 0 & 1 & -4\\
0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5
\end{array} \right) \rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 2 & -5 & 0 & 3
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\1/2\cdot{r_3}\end{array}\rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 5 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2-5r_3 \\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & -3 & 0 & 27/2 & 0 & -11/2\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} \phantom{0}\\-1/3\cdot{r_2}\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 3 & 0 & -4 &-2 &-1\\
0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} r_1-3r_2\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & 19/2 &-2 &-13/2\\
0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow
\]
\[
\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -19/2 &2 &13/2\\
0 & 1 & 0 & -9/2 & 0 & 11/6\\
0 & 0 & 1 & -5/2 & 0 & 3/2
\end{array} \right)
\]