Пределы с иррациональностями. Третья часть.

Раскрытие неопределенности \(\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\).

Пределы с корнями и неопределённостью вида \(\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\) встречаются в стандартных контрольных работах нечасто. Схема решения их проста: выбрать старшую степень \(\displaystyle{k}\) переменной \(\displaystyle{x}\) и разделить на \(\displaystyle{x^{k}}\) как числитель, так и знаменатель дроби.

Задача №1

Условие

Найти \(\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{9\cdot \sqrt[3]{5x^4-x^2+1}+7\cdot\sqrt[4]{x^3+8}}{11\cdot \sqrt[6]{x^8+3x^5-1}+4x-10}}\).

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида \(\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\). Обращу внимание на то, что \(\displaystyle{x}\) стремится именно к \(\displaystyle{+\infty}\). Если бы \(\displaystyle{x\to-\infty}\), то подкоренное выражение в записи \(\displaystyle{\sqrt[4]{x^3+8}}\) могло бы быть отрицательным.

Выберем наибольшую степень переменной \(\displaystyle{x}\). Корень \(\displaystyle{\sqrt[3]{5x^4-x^2+1}}\) даст нам две степени \(\displaystyle{x}\): \(\displaystyle{\frac{4}{3}}\) и \(\displaystyle{\frac{2}{3}}\). Корень \(\displaystyle{\sqrt[4]{x^3+8}}\) даст степень \(\displaystyle{\frac{3}{4}}\), а корень \(\displaystyle{\sqrt[6]{x^8+3x^4-1}}\) – степени \(\displaystyle{\frac{8}{6}=\frac{4}{3}}\) и \(\displaystyle{\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}\). Из чисел \(\displaystyle{\frac{4}{3}}\), \(\displaystyle{\frac{2}{3}}\) и \(\displaystyle{\frac{3}{4}}\) наибольшим будет \(\displaystyle{\frac{4}{3}}\). Разделим и числитель и знаменатель дроби на \(\displaystyle{x^{\frac{4}{3}}}\):

\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{9\cdot \sqrt[3]{5x^4-x^2+1}+7\cdot\sqrt[4]{x^3+8}}{11\cdot \sqrt[6]{x^8+3x^5-1}+4x-10} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to +\infty}\frac{9\cdot\frac{\sqrt[3]{5x^4-x^2+1}}{\sqrt[3]{x^4}}+7\cdot\frac{\sqrt[4]{x^3+8}}{\sqrt[3]{x^4}}}{11\cdot\frac{\sqrt[6]{x^8+3x^5-1}}{\sqrt[3]{x^4}}+4\cdot\frac{x}{\sqrt[3]{x^4}}-\frac{10}{\sqrt[3]{x^4}}} \]

Для наглядности поработаем отдельно с слагаемыми в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\sqrt[3]{5x^4-x^2+1}}{\sqrt[3]{x^4}}=\sqrt[3]{\frac{5x^4-x^2+1}{x^4}}=\sqrt[3]{\frac{5x^4}{x^4}-\frac{x^2}{x^4}+\frac{1}{x^4}}=\sqrt[3]{5-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}} \]

\[ \frac{\sqrt[4]{x^3+8}}{\sqrt[3]{x^4}}=\frac{\sqrt[4]{x^3+8}}{\sqrt[4]{x^{\frac{16}{3}}}}=\sqrt[4]{\frac{x^3}{x^{\frac{16}{3}}}+\frac{8}{x^{\frac{16}{3}}}}= \sqrt[4]{\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}+\frac{8}{x^{\frac{16}{3}}}} \]

\[ \frac{\sqrt[6]{x^8+3x^5-1}}{\sqrt[3]{x^4}}=\frac{\sqrt[6]{x^8+3x^5-1}}{\sqrt[6]{x^8}}=\sqrt[6]{\frac{x^8}{x^8}+\frac{3x^5}{x^8}-\frac{1}{x^8}}=\sqrt[6]{1+\frac{3}{x^3}-\frac{1}{x^8}} \]

Подведём итоги, записав все полученные выше результаты в исходный предел:

\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{9\cdot\frac{\sqrt[3]{5x^4-x^2+1}}{\sqrt[3]{x^4}}+7\cdot\frac{\sqrt[4]{x^3+8}}{\sqrt[3]{x^4}}}{11\cdot\frac{\sqrt[6]{x^8+3x^5-1}}{\sqrt[3]{x^4}}+4\cdot\frac{x}{\sqrt[3]{x^4}}-\frac{10}{\sqrt[3]{x^4}}} =\lim_{x\to +\infty}\frac{9\cdot\sqrt[3]{5-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}}+7\cdot\sqrt[4]{\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}+\frac{8}{x^{\frac{16}{3}}}}}{11\cdot\sqrt[6]{1+\frac{3}{x^3}-\frac{1}{x^8}}+4\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{10}{\sqrt[3]{x^4}}}=\\ =\frac{9\cdot\sqrt[3]{5-0+0}+7\cdot\sqrt[4]{0+0}}{11\cdot\sqrt[6]{1+0-0}+0-0}=\frac{9\cdot\sqrt[3]{5}}{11}. \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{9\cdot\sqrt[3]{5}}{11}}\).

Раскрытие неопределенности \(\displaystyle{\infty-\infty}\).

Метод решения задач с неопределённостью такого вида – домножение на сопряжённое выражение – был подробно рассмотрен в задачах первой части.

Задача №2

Условие

Пусть \(\displaystyle{f(x)=\sqrt{x^2+3x-1}-\sqrt{x^2+x+4}}\). Найти \(\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}f(x)}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)}\).

Решение

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2+3x-1}=+\infty}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2+x+4}=+\infty}\), то в каждом из двух рассматриваемых пределов (\(\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}f(x)}\) и \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)}\)) мы имеем дело с неопределённостью вида \(\displaystyle{\infty-\infty}\).

Будем выполнять преобразования, одинаковые для двух заданных пределов. Домножим и разделим на сопряженное выражение, т.е. на

\[\sqrt{x^2+3x-1}+\sqrt{x^2+x+4}\]

Преобразуя предел \(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)}\), получим:

\[ \lim_{x\to\infty}\left( \sqrt{x^2+3x-1}-\sqrt{x^2+x+4} \right) =\left[\infty-\infty\right]=\\ =\lim_{x\to\infty}\frac{\left( \sqrt{x^2+3x-1}-\sqrt{x^2+x+4} \right)\cdot \left( \sqrt{x^2+3x-1}+\sqrt{x^2+x+4} \right)}{\sqrt{x^2+3x-1}+\sqrt{x^2+x+4}}=\\ =\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x-1-(x^2+x+4)} {\sqrt{x^2+3x-1}+\sqrt{x^2+x+4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x-5} {\sqrt{x^2+3x-1}+\sqrt{x^2+x+4}} \]

Теперь неопределённость стала иной: \(\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\). Для раскрытия такой неопределённости нужно разделить числитель и знаменатель на \(\displaystyle{x}\), однако такая операция будет выполнена по-разному для случаев \(\displaystyle{x\to-\infty}\) и \(\displaystyle{x\to+\infty}\). Для ответа на вопрос, почему необходимо рассмотреть отдельно два случая, советую глянуть примечание ниже.

Зачем рассматривать отдельно \(\displaystyle{x\to-\infty}\) и \(\displaystyle{x\to+\infty}\)?

Представим, что мы разделили на \(\displaystyle{x}\). Тогда в знаменателе появится выражение \(\displaystyle{\frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{x}}\). Нам нужно внести \(\displaystyle{x}\) под корень, для чего имеется формула

\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\]

Чтобы применить данную формулу в нашем случае, придется учесть, что \(\displaystyle{\sqrt{x^2}=|x|}\). Если \(\displaystyle{x\ge{0}}\), то \(\displaystyle{x=|x|}\), посему при \(\displaystyle{x\to+\infty}\) получим:

\[ \frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{x} =\frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{|x|} =\frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{\sqrt{x^2}} =\sqrt{\frac{x^2+3x-1}{x^2}} =\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}} \]

Однако если \(\displaystyle{x\lt{0}}\), то \(\displaystyle{x=-|x|}\), поэтому для случая \(\displaystyle{x\to-\infty}\) будем иметь

\[ \frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{x} =\frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{-|x|} =\frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{-\sqrt{x^2}} =-\sqrt{\frac{x^2+3x-1}{x^2}} =-\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}} \]

Если \(\displaystyle{x\to-\infty}\), то:

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x-5}{\sqrt{x^2+3x-1}+\sqrt{x^2+x+4}}= \lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{2x}{x}-\frac{5}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+x+4}}{x}}=\\ =\lim_{x\to-\infty}\frac{2-\frac{5}{x}}{-\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}}= \frac{2-0}{-\sqrt{1+0-0}-\sqrt{1+0+0}}=\frac{2}{-2}=-1. \]

Если \(\displaystyle{x\to+\infty}\), то:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x-5}{\sqrt{x^2+3x-1}+\sqrt{x^2+x+4}}= \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2x}{x}-\frac{5}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+3x-1}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+x+4}}{x}}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{2-\frac{5}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}}= \frac{2-0}{\sqrt{1+0-0}+\sqrt{1+0+0}}=\frac{2}{2}=1. \]

Ответ:

\(\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1}\); \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)=1}\).

К слову, домножение на сопряжённое выражение – зачастую не столь уж удобный способ решения подобных пределов. Иногда бывает выгодно разбить предел на два или же применить замену переменной (см. задачу 1977). Кроме этого, дополнительные примеры на раскрытие рассматриваемой неопределённости имеются в задачах 1972, 1973, 1974, 1975, 1976, 1978, 1979.