Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала). Вторая часть.

Продолжим решение задач на интегрирование подстановкой, начатое в первой части. Конечно, охватить все случаи подстановок не представляется возможным, посему рассмотрим лишь некоторые из них.

Задача №1

Условие

Найти \(\displaystyle{\int \frac{dx}{x(4\ln{3x}+7)^3}}\).

Решение

Такого интеграла в таблице интегралов точно нет. Рассмотрим \(\displaystyle{d(4\ln{3x}+7)}\):

\[ d(4\ln{3x}+7) =(4\ln{3x}+7)'dx =4\cdot\frac{1}{3x}\cdot{3}dx =\frac{4}{x}dx \]

Из полученного равенства имеем \(\displaystyle{\frac{1}{x}dx=\frac{1}{4}d(4\ln{3x}+7)}\). Используем полученный результат для нахождения заданного интеграла:

\[ \int \frac{dx}{x(4\ln{3x}+7)^3} =\int(4\ln{3x}+7)^{-3}\cdot\frac{1}{x}dx =\frac{1}{4}\int(4\ln{3x}+7)^{-3}d(4\ln{3x}+7) =-\frac{1}{8(4\ln{3x}+7)^2}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{1}{8(4\ln{3x}+7)^2}+C}\).

Полагаю, здесь может возникнуть вопрос о том, как же мы догадались, что под дифференциал нужно вносить именно \(\displaystyle{4\ln{3x}+7}\)? Почему не пошли каким-то иным путём или не стали вносить иную функцию?

Ответ тут прост, но неутешителен. Дело в том, что такая догадка возникает, исходя из опыта нахождения неопределённых интегралов. После того, как у вас появится некоторый опыт (хотя бы 20-30 самостоятельно решённых интегралов), вы тоже сможете заметить нужную подстановку. Для компьютера есть алгоритм Риша, а для человека есть только один способ – нарешать как можно больше примеров, чтобы начать "видеть" подобные подстановки.

Задача №2

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{e^{\frac{x}{2}}dx}{e^x+49}}\).

Решение

Подгоним данный интеграл под одну из табличных формул.

\[ d \left(e^{\frac{x}{2}}\right) =\left(e^{\frac{x}{2}} \right)'dx =e^{\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}dx =\frac{1}{2}\cdot{e}^{\frac{x}{2}}dx \]

Из полученного равенства имеем \(\displaystyle{e^{\frac{x}{2}}dx=2\cdot d \left( e^{\frac{x}{2}} \right)}\). Вернёмся к интегралу:

\[ \int\frac{e^{\frac{x}{2}}dx}{e^x+49} =2\cdot\int\frac{d\left(e^{\frac{x}{2}}\right)}{\left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2+49} =\frac{2}{7}\arctg\frac{e^{\frac{x}{2}}}{7}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{2}{7}\arctg\frac{e^{\frac{x}{2}}}{7}+C}\).

Задача №3

Условие

Найти \(\displaystyle{\int x\sqrt[4]{9x^2+5}\,dx}\).

Решение

Внесём под дифференциал выражение \(\displaystyle{9x^2+5}\). Так как \(\displaystyle{d(9x^2+5)=18xdx}\), то \(\displaystyle{xdx=\frac{1}{18}\cdot d(9x^2+5)}\):

\[ \int x\sqrt[4]{9x^2+5}\,dx =\frac{1}{18}\cdot\int \sqrt[4]{9x^2+5}\,d(9x^2+5)=\\ =\frac{1}{18}\cdot\int \left(9x^2+5\right)^{\frac{1}{4}}d(9x^2+5) =\frac{2}{45}\cdot(9x^2+5)^{\frac{5}{4}}+C =\frac{2}{45}\cdot \sqrt[4]{(9x^2+5)^5}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{2}{45}\cdot \sqrt[4]{(9x^2+5)^5}+C}\).

Задача №4

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{\sqrt{3+5\ctg{x}}}{\sin^2{x}}dx}\).

Решение

Внесём под дифференциал выражение \(\displaystyle{3+5\ctg{x}}\). Так как \(\displaystyle{d(3+5\ctg{x})=-\frac{5}{\sin ^2x}dx}\), то \(\displaystyle{\frac{dx}{\sin^2{x}}=-\frac{1}{5}\cdot d(3+5\ctg{x})}\).

\[ \int\frac{\sqrt{3+5\ctg{x}}}{\sin^2{x}}dx =-\frac{1}{5}\cdot\int\sqrt{3+5\ctg{x}}\, d(3+5\ctg{x})=\\ =-\frac{1}{5}\cdot\int\left(3+5\ctg{x}\right)^{\frac{1}{2}}\, d(3+5\ctg{x}) =-\frac{2}{15}\cdot\left(3+5\ctg{x}\right)^{\frac{3}{2}}+C =-\frac{2\sqrt{\left(3+5\ctg{x}\right)^3}}{15}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{2\sqrt{\left(3+5\ctg{x}\right)^3}}{15}+C}\).

Задача №5

Условие

Найти интегралы:

\(\displaystyle{\int\frac{\sin^4x}{\cos^2x}dx}\)
\(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sin{x}\cos{x}}}\)
\(\displaystyle{\int\frac{dx}{1+\cos{x}}}\)
\(\displaystyle{\int\frac{dx}{1+\cos^2{x}}}\)

Решение

Для интегралов от тригонометрических функций есть специальные замены, но нередко можно обойтись и без них.

Пункт №1

Разложим заданный интеграл на сумму интегралов. Так как \(\displaystyle{\sin^2{x}=1-\cos^2{x}}\), то получим

\[ \frac{\sin^4{x}}{\cos^2{x}} =\frac{\left(1-\cos^2{x}\right)^2}{\cos^2{x}} =\frac{1-2\cos^2{x}+\cos^4{x}}{\cos^2{x}} =\frac{1}{\cos^2{x}}-\frac{2\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\frac{\cos^4{x}}{\cos^2{x}} =\frac{1}{\cos^2{x}}-2+\cos^2{x}. \]

Таким образом мы приблизили интеграл к табличным. Осталось лишь учесть, что \(\displaystyle{\cos^2{x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{2x}}\):

\[ \frac{1}{\cos^2{x}}-2+\cos^2{x} =\frac{1}{\cos^2{x}}-2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{2x} =-\frac{3}{2}+\frac{1}{\cos^2{x}}+\frac{1}{2}\cos{2x} \]

Возвращаясь к заданному интегралу, получим:

\[ \int\frac{\sin^4{x}}{\cos^2{x}}dx =\int\left(-\frac{3}{2}+\frac{1}{\cos^2{x}}+\frac{1}{2}\cos{2x}\right)dx=\\ =-\frac{3}{2}\cdot\int{dx}+\int\frac{dx}{\cos^2{x}}+\frac{1}{4}\int\cos{2x}\,d(2x) =-\frac{3}{2}\cdot{x}+\tg{x}+\frac{1}{4}\cdot\sin{2x}+C =-\frac{3x}{2}+\tg{x}+\frac{\sin{2x}}{4}+C \]

Пункт №2

\[ \int\frac{dx}{\sin{x}\cos{x}} =\int\frac{\frac{dx}{\cos^{x}}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} =\int\frac{d(\tg{x})}{\tg{x}} =\ln\left|\tg{x}\right|+C \]

Пункт №3

Этот интеграл можно решить по-разному. Рассмотрим два варианта решения.

\[ \int\frac{dx}{1+\cos{x}} =\int\frac{dx}{2\cos^2\frac{x}{2}} =\int\frac{d\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^2\frac{x}{2}} =\tg\frac{x}{2}+C \]

\[ \int\frac{dx}{1+\cos{x}} =\int\frac{1-\cos{x}}{\left(1+\cos{x}\right)\left(1-\cos{x}\right)}dx=\\ =\int\frac{1-\cos{x}}{1-\cos^2{x}}dx =\int\frac{1-\cos{x}}{\sin^2{x}}dx =\int\frac{dx}{\sin^2{x}} - \int\frac{d(\sin{x})}{\sin^2{x}} =-\ctg{x}+\frac{1}{\sin{x}}+C \]

Пункт №4

\[ \int\frac{dx}{1+\cos^2{x}} =\int\frac{\frac{dx}{\cos^2{x}}}{\frac{1}{\cos^2{x}}+1} =\int\frac{d(\tg{x})}{2+\tg^2{x}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg\frac{\tg{x}}{\sqrt{2}}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{3x}{2}+\tg{x}+\frac{\sin{2x}}{4}+C}\)
\(\displaystyle{\ln\left|\tg{x}\right|+C}\)
\(\displaystyle{\tg\frac{x}{2}+C}\)
\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg\frac{\tg{x}}{\sqrt{2}}+C}\)

Решим задачу №1779 из сборника задач Бермана. В этой задаче интеграл сначала нужно разбить на два, а затем уже применять внесение под знак дифференциала.

Задача №6

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{2x-\sqrt{\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^2}} dx}\).

Решение

\[ \int\frac{2x-\sqrt{\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^2}}dx =\int\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int\frac{\sqrt{\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\ =-\int\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^2\right)-\int(\arcsin{x})^{\frac{1}{2}}d(\arcsin{x})=\\ =-\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}-\frac{(\arcsin{x})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C =-2\sqrt{1-x^2}-\frac{2\sqrt{\arcsin^3{x}}}{3}+C. \]

Ответ:

\(\displaystyle{-2\sqrt{1-x^2}-\frac{2\sqrt{\arcsin^3{x}}}{3}+C}\).

Задача №7

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x\cdot\sin{x}+\cos{x}}{x^{2}+\cos^2{x}}dx}\).

Решение

\[ \int\frac{x\cdot\sin{x}+\cos{x}}{x^{2}+\cos^2{x}}dx =\int\frac{\frac{x\cdot\sin{x}+\cos{x}}{\cos^2{x}}}{1+\left(\frac{x}{\cos{x}}\right)^{2}} dx =\int\frac{d\left(\frac{x}{\cos{x}}\right)}{1+(\frac{x}{\cos{x}})^{2}} =\arctg\frac{x}{\cos{x}}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\arctg\frac{x}{\cos{x}}+C}\).

Задача №8

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{1-x^7}{\left(1+x^7\right)\cdot{x}}dx}\).

Решение

Интегралы от рациональных дробей интегрируются по готовому алгоритму. Однако в некоторых случаях можно обойтись без применения громоздких преобразований, которые предполагает применение алгоритма:

\[ \int\frac{1-x^7}{\left(1+x^7\right)\cdot{x}}dx =\int\frac{1+x^7-2x^7}{\left(1+x^7\right)\cdot{x}}dx =\int\frac{1+x^7}{\left(1+x^7\right)\cdot{x}}dx - \int\frac{2x^7}{\left(1+x^7\right)\cdot{x}}dx=\\ =\int\frac{dx}{x}-2\cdot\int\frac{x^6dx}{1+x^7} =\int\frac{dx}{x}-\frac{2}{7}\int\frac{d\left(1+x^7\right)}{1+x^7} =\ln|x|-\frac{2}{7}\cdot\ln\left|1+x^7\right|+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\ln|x|-\frac{2}{7}\cdot\ln\left|1+x^7\right|+C}\).

Задача №9

Условие

Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx}\).

Решение

Имеем интеграл от рациональной дроби, для нахождения которого есть стандартный алгоритм. Согласно этому алгоритму, сперва нужно разложить подынтегральную функцию на простейшие дроби. В данном случае это разложение будет таким:

\[ \frac{x^2-1}{x^4+1} =\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1} \]

Затем, найдя неизвестные пераметры в числителях, нужно проинтегрировать каждую дробь. Решение будет громоздким, однако в данном случае можно поступить по-иному:

\[ \int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx =\int\frac{x^2-1}{x^2\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}dx =\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx=\\ =\int\frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2} =\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}}{x+\frac{1}{x}+\sqrt{2}} \right|+C =\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}+C \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}+C}\).

Дополнительные примеры интегралов, найти которые можно подстановкой, есть в решебнике: 1264, 1271, 1274, 1279, 1282, 1288, 1294, 1304, 1334, 1335, 1360, 1364, 1374, 1387.