Необходимый признак сходимости числового ряда. Вторая часть.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\left(\frac{2n+7}{2n+3}\right)^{9n+1}}\). Перед тем, как применять некий признак сходимости, немного порассуждаем. Так как \(\displaystyle{\frac{2n+7}{2n+3} \gt {1}}\), то \(\displaystyle{u_n \gt {1}}\). Следовательно, предел общего члена (если этот предел вообще существует) не меньше единицы. Значит, равенство \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\) невозможно, ряд будет расходиться.

По сути, мы уже знаем ответ на вопрос задачи. Т.е. мы знаем, что ряд расходится, – осталось лишь продемонстрировать это формально. Для нахождения предела общего члена ряда будем использовать второй замечательный предел:

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение

Общий член ряда имеет вид \(\displaystyle{u_n=(-1)^n a_n}\), где \(\displaystyle{a_n = \frac{17n^5+4\cos(n!)}{6n^5+2n^2-1}}\). Выясним, чему равен предел \(\displaystyle{a_n}\):

При нахождении предела мы использовали свойство, гласящее, что произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность. Так как \(\displaystyle{\frac{4}{n^5}\to{0}}\) и \(\displaystyle{\left|\cos(n!)\right|\le{1}}\), то \(\displaystyle{\frac{4}{n^5}\cdot\cos(n!)\to{0}}\).

Так как \(\displaystyle{a_n\to\frac{17}{6}}\), то \(\displaystyle{a_{2k}\to\frac{17}{6}}\) и \(\displaystyle{a_{2k-1}\to\frac{17}{6}}\). Это значит, что

Так как две разные подпоследовательности последовательности \(\displaystyle{\{u_n\}}\) имеют различные пределы, то последовательность \(\displaystyle{\{u_n\}}\) не имеет предела. Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n}\) не существует, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\sin{n}}\). Покажем, что предел общего члена ряда не равен нулю.

Пойдём методом от противного. Предположим, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sin{n}=0}\). Если предел некоей последовательности равен числу \(\displaystyle{a}\), то и предел любой её подпоследовательности также равен числу \(\displaystyle{a}\). Исходя из этого утверждения, можем записать, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sin (n+1)=0}\). Так как \(\displaystyle{\sin(n+1)=\sin{n}\cos{1}+\cos{n}\sin{1}}\) (см. тригонометрические формулы), то

Итак, если \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sin{n}=0}\), то и \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\cos{n}=0}\). Отсюда получаем:

Однако \(\displaystyle{\sin^2{n}+\cos^2{n}=1}\), поэтому \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(\sin^2{n}+\cos^2{n}\right)=1}\). Полученное противоречие говорит о том, что наше допущение о равенстве нулю предела общего члена ряда неверно. Т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0}\), поэтому ряд расходится.

Решение

Общий член ряда имеет вид: \(\displaystyle{u_n=\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}}\). Используем эквивалентные бесконечно малые, чтобы найти предел общего члена ряда:

Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0}\), то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.