Необходимый признак сходимости числового ряда. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Необходимый признак сходимости (или необходимое условие сходимости) числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю.

Необходимый признак сходимости

Если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится, то \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\).

Стоит обратить внимание, что равенство \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\) вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n\neq{0}}\), то ряд гарантированно расходится.

Для наглядности рассмотрим два ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\). Общий член первого ряда, т.е. \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n}}\), равно как и общий член второго ряда, т.е. \(\displaystyle{v_n=\frac{1}{n^2}}\), стремится к нулю, т.е.

\[ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0;\; \lim_{n\to\infty}v_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0. \]

Однако гармонический ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) расходится, а ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится.

Исходя из необходимого условия сходимости можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:

Достаточный признак расходимости

Если \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n\neq{0}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) расходится.

Подчеркну: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.

Задача №1

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}}\).

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}}\). Найдём предел общего члена ряда:

\[ \lim_{n\to\infty}u_n =\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{7}{n^2}}=\frac{3+0-0}{5+0} =\frac{3}{5} \]

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Предел отношения двух многочленов". Так как предел общего члена ряда не равен нулю, то необходимое условие сходимости не выполнено. Следовательно, ряд расходится.

Ответ:

ряд расходится.

Задача №2

Условие

Исследовать ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[3]{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}}\) на сходимость.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{\sqrt[3]{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}}\). Найдём предел общего члена ряда:

\[ \lim_{n\to\infty}u_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{\frac{4n^7}{n^7}+\frac{5n^3}{n^7}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9n^2}{n^{\frac{7}{3}}}-\frac{n}{n^{\frac{7}{3}}}+\frac{12}{n^{\frac{7}{3}}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{4+\frac{5}{n^4}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9}{n^\frac{1}{3}}-\frac{1}{n^\frac{4}{3}}+\frac{12}{n^\frac{7}{3}}} =\infty \]

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Пределы с иррациональностями. Третья часть". Так как предел общего члена ряда не равен нулю, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Ответ:

ряд расходится.

Задача №3

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)}\).

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=5^n\sin\frac{8}{3^n}}\). Найдём предел общего члена ряда:

\[ \lim_{n\to\infty}u_n =\lim_{n\to\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\left[\begin{aligned}&\frac{8}{3^n}\to 0;\\&\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}. \end{aligned}\right] =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}} =\lim_{n\to\infty}\left(8\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^n\right) =\infty \]

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n\neq {0}}\), то необходимое условие сходимости не выполнено. Следовательно, ряд расходится.

Ответ:

ряд расходится.

Задача №4

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}}\).

Решение

Общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{3^n}{n^2}}\). Вообще, вопрос со сходимостью этого ряда легко решается с помощью признака Д'Аламбера. Однако можно применить и необходимый признак сходимости.

Посмотрим повнимательнее на общий член ряда. В числителе расположено выражение \(\displaystyle{3^n}\), которое с возрастанием \(\displaystyle{n}\) увеличивается гораздо быстрее, нежели расположенный в знаменателе \(\displaystyle{n^2}\). Сравните сами: например, если \(\displaystyle{n=10}\), то \(\displaystyle{3^n=59049}\), а \(\displaystyle{n^2=100}\). И этот разрыв стремительно увеличивается с ростом \(\displaystyle{n}\).

Вполне логично предположить, что если \(\displaystyle{n\to\infty}\), то \(\displaystyle{u_n}\) не станет стремиться к нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено не будет. Осталось лишь проверить эту столь правдоподобную гипотезу и вычислить \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}}\).

Однако перед вычислением данного предела найдём вспомогательный предел функции \(\displaystyle{y=\frac{3^x}{x^2}}\) при \(\displaystyle{x\to +\infty}\), т.е. вычислим \(\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}}\). Применим дважды правило Лопиталя:

\[ \lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)'}{\left(x^2\right)'} =\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln {3}}{2x}=\\ =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{\ln {3}}{2}\cdot\frac{3^x}{x}\right) =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{\ln {3}}{2}\cdot\frac{\left(3^x\right)'}{\left(x\right)'}\right) =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{\ln {3}}{2}\cdot {3}^x\ln{3}\right) =\infty \]

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=\infty}\), то \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}=\infty}\). Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n\neq{0}}\), то заданный ряд расходится.

Ответ:

ряд расходится.